人教版九年级上册 数学 课件 24.1.4圆周角(共32张PPT)

(共32张PPT)
圆周角
如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。
圆周角
究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的解就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。
（顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）
探究：有关圆周角的度数
1．
探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？
２．９０°的圆周角所对的弦是否是直径？
线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B）,那么，∠ACB
就是直径AB
所对的圆周角.想想看，∠ACB
会是怎么样的角？为什么呢？
证明：
因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC
都是等腰三角形，所以
∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.
又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，
所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°.
因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°，
结论：
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.
●O
●O
●O
A
B
C
A
B
C
A
B
C
圆周角和圆心角的关系
如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?
注意：圆心与圆周角的位置关系.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB，
●O
A
B
C
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
即
∠ABC
=
∠AOC.
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
过点B作直径BD.由1可得:
●O
∴
∠ABC
=
∠AOC.
A
B
C
D
∠ABD
=
∠AOD,∠CBD
=
∠COD,
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
●O
D
A
B
C
过点B作直径BD.由1可得:
∴
∠ABC
=
∠AOC.
∠ABD
=
∠AOD,∠CBD
=
∠COD,
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
半圆（或直径）所对的圆周角是直角;
90°的圆周角所对的弦是直径．
推论：
·
B
C1
O
C2
C3
例1
如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
解：∵AB是直径，
∴
∠ACB=
∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD.
2.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
·
A
B
C
O
求证：
△ABC
为直角三角形.
证明：
CO=
AB,
以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，
∴AO=BO=CO.
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
∴∠ACB=
×180°=
90°.
已知：△ABC
中，CO为AB边上的中线，
且CO=
AB
∴
△ABC
为直角三角形.
1.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使
AD=AB，如果∠ADB=35°
，
求∠BOC的度数。
⌒
⌒
2、如图，在⊙O中，BC=2DE，
∠BOC=84°，
求∠A的度数。
∠BOC
=140°
∠A=21°
4、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_
_；
3.
如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D
为半圆上的两点，∠COD=50°，则
∠CAD=______；
20°
50°
小结
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
半圆（或直径）所对的圆周角是直角;
90°的圆周角所对的弦是直径．
推论：
·
B
C1
O
C2
C3
圆周角
如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。
圆周角
究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的解就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。
（顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）
探究：有关圆周角的度数
1．
探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？
２．９０°的圆周角所对的弦是否是直径？
线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B）,那么，∠ACB
就是直径AB
所对的圆周角.想想看，∠ACB
会是怎么样的角？为什么呢？
证明：
因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC
都是等腰三角形，所以
∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.
又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，
所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°.
因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°，
结论：
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.
●O
●O
●O
A
B
C
A
B
C
A
B
C
圆周角和圆心角的关系
如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?
注意：圆心与圆周角的位置关系.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB，
●O
A
B
C
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
即
∠ABC
=
∠AOC.
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
过点B作直径BD.由1可得:
●O
∴
∠ABC
=
∠AOC.
A
B
C
D
∠ABD
=
∠AOD,∠CBD
=
∠COD,
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
●O
D
A
B
C
过点B作直径BD.由1可得:
∴
∠ABC
=
∠AOC.
∠ABD
=
∠AOD,∠CBD
=
∠COD,
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
半圆（或直径）所对的圆周角是直角;
90°的圆周角所对的弦是直径．
推论：
·
B
C1
O
C2
C3
例1
如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
解：∵AB是直径，
∴
∠ACB=
∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD.
2.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
·
A
B
C
O
求证：
△ABC
为直角三角形.
证明：
CO=
AB,
以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，
∴AO=BO=CO.
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
∴∠ACB=
×180°=
90°.
已知：△ABC
中，CO为AB边上的中线，
且CO=
AB
∴
△ABC
为直角三角形.
1.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使
AD=AB，如果∠ADB=35°
，
求∠BOC的度数。
⌒
⌒
2、如图，在⊙O中，BC=2DE，
∠BOC=84°，
求∠A的度数。
∠BOC
=140°
∠A=21°
4、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_
_；
3.
如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D
为半圆上的两点，∠COD=50°，则
∠CAD=______；
20°
50°
小结
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
半圆（或直径）所对的圆周角是直角;
90°的圆周角所对的弦是直径．
推论：
·
B
C1
O
C2
C3