人教版数学九年级上册 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2 k 的图象和性质 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
22.1
二次函数
二次函数y=a(x-h)2+k
的图象和性质
1
说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,和增减变化情况:
回忆一下
1)y=ax2
2)y=ax2+k
3)y=a(x-h)2
将抛物线y=ax?沿y轴方向平移k个单位,得抛物线
y
=ax?+k
上+下--
将抛物线y=ax?沿x轴方向平移h个单位,得抛物线
y=a(x-h)2
左+右--
3
请说出二次函数y=2(x-3)2与抛物线
y=2x2
+3
如何由y=2x2
平移而来
2
请说出二次函数y=ax?+k与y=ax?的平移关系。
y=a(x-h)2与y=ax?的平移关系
拋物线y=2x2向右平移3个单位得拋物线y=2(x-3)2
拋物线y=2x2向上平移3个单位得拋物线y=2x2
+3
y=ax2
y=a(x-h)2
y=ax2+k
y=ax2
k>0
k<0
上移
下移
左加
右减
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。
顶点x轴上
顶点y轴上
问题不在坐标轴上的二次函数又如何呢？
探究
画出函数
的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴、
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
…
…
解:
先列表
画图
再描点画图.
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=－1
…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
解:
先列表
再描点、连线
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
讨论
抛物线
的开口方向、对称轴、顶点?
(2)抛物线
　　　　　　　　　　　　　　
　　
有什么关系?
可以看出,抛物线
的开口向下,
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1,
－1).
向左平移1个单位
向下平移1个单位
向左平移1个单位
向下平移1个单位
平移方法1:
平移方法2:
二次函数图像平移
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
x=－1
归纳
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x
－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
向左(右)平移|h|个单位
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2
y=a(x－h)2
y=a(x－h)2+k
y=ax2
y=a(x－h)2+k
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2+k
向左(右)平移|h|个单位
平移方法:
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时,
开口向上;
当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
（h，k）
直线x=h
直线x=h
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
向上
向下
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧,
y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
练习
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
(
1
,
－2)
向下
向下
(
3
,
7)
(
2
,
－6
)
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3,
5)
y=－3(x－1)2－2
y
=
4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下列表格:
2.请回答抛物线y
=
4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?
3.抛物线y
=－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移得到吗?
例题
C(3,0)
B(1，3)
例.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
A
x
O
y
1
2
3
1
2
3
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)
∴
0=a(3－1)2＋3
解得:
因此抛物线的解析式为:
y=a(x－1)2＋3
(0≤x≤3)
当x=0时,y=2.25
答:水管长应为2.25m.
3
4
a=－
y=
(x－1)2＋3
(0≤x≤3)
3
4
－
练习
y=
?2（x+3）2-2
画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最值各是什么及增减性如何？。
y=
2（x-3）2+3
y=
?2（x-2）2-1
y=
3（x+1）2+1
y
=
ax2
y
=
ax2
+
k
y
=
a(x
-
h
)2
y
=
a(
x
-
h
)2
+
k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
结论:
一般地，抛物线
y
=
a(x-h)2+k与y
=
ax2形状相同，位置不同。
各种形式的二次函数的关系
如何平移：
牛刀小试
1.对称轴是直线x=-2的抛物线是(
)
A.
B.
C.
D.
C
2.抛物线
的顶点坐标是(
)
C
A.
B.
C.
D.
3.
抛物线
的对称轴
.
直线x=n-m
在平面直角坐标系中，如果抛物线
不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是
.
若二次函数
经过平移变换后顶点坐标为(-2,3)
,则平移后的函数解析式为
.
灵活变通
（1）与抛物线y=2x2的形状相同,且顶点是(-2,3)
的抛物线是________
（2）顶点是(2,-3)
,且过(-1,2)的抛物线是______
（3)将抛物线y=-2(x-3)2+2关于y轴对称后的抛物线是______
（4)将抛物线y=-2(x-3)2+2关于x轴对称后的抛物线是______
二次函数y=a(x-m)2+2m,无论m为何实数,图象的顶点必在(
)上
A)直线y=-2x上
B)x轴上
C)y轴上
D)直线y=2x上
对于抛物线y=a(x-3)2+b其中a>0,b
为常数,点(
,y1)
点(
,y2)试比较y1,y2,的大小
能力提升
抛物线
如何平移得到
?
求下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴及最值
(1)
(2)
思考
抛物线
如何平移得到
?
其中
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
（h，k）
直线x=h
直线x=h
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
向上
向下
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧,
y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的
相同，
不同
y=ax2
y=a(x-h)2+k
形状
位置
左加右减
上正下负
小结
y
=
ax2
y
=
ax2
+
k
y
=
a(x
–
h
)2
y
=
a(
x
–
h
)2
+
k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移