沪教版（上海）高一数学辅导讲义（四种命题形式 充分条件与必要条件（二））教师版（Word版有答案）

学员编号：
年
级：
高一
课时数：3学员姓名：
辅导科目：
数学
学科教师:
课
题
四种命题形式
充分条件与必要条件
授课日期及时段
教学目的
理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题，否命题，逆否命题理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，能在简单的问题情境中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。
教学内容
【知识梳理】　
1.什么是命题？命题的四种形式？四种命题的关系？如何写命题的否定形式？
2.什么是推出关系？
3.如何通过证明逆否命题来证明一个命题的真假？
4.什么是充分条件？什么是必要条件？什么是充要条件？
5.如何从子集的角度来理解推出关系？
6.如何从子集的角度来理解充分条件与必要条件？1、判断真假的语句称为命题，通常用陈述句表述。命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；2、四种命题：原命题，否命题，逆命题，逆否命题，记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。3．
4.在写命题的否定形式时，既要否定条件，又要否定结论。5.推出关系是数学证明中最重要的逻辑关系，表示如果这件事成立，则可推出这件事也成立。推出关系具有传递性。如果两个命题，A,B，且
，则称A,B为等价命题。6.一个命题和它的逆否命题等价，二者同真同假，所以当直接证明原命题的真假有困难时，可以转化为判断其逆否命题。7．子集与推出关系指集合的包含关系与集合性质的推出关系，例如若。【典型例题分析】例1、
判读命题：“若a与b的积不是有理数，则a,b至少有一个不是有理数”的真假，并说明理由。说明：本题主要考察命题的证明（间接证明的方法），原命题与其逆否命题的等价关系。
证明：假设可设，则ab=
，与条件矛盾，所以a,b至少有一个不是有理数
注意：“至少有一个不是”的否定是“都是”，本题不用直接证明而是证明逆否命题，其原因是：“不是有理数”不如“是有理数”容易用数学语言表达，“是有理数”即“可写成分数形式”变式练习：
1.若实数a,b,c,d满足a+b=1,c+d=1,ac+bd>1,求证a,b,c,d必有一个负数。证明：设a,b,c,d都大于等于0，a+b=1,c+d=1得（a+c）(b+d)=1,故ac+bd+ad+bc=1,
又ac+bd>1，得ad+bc<0，这与a,b,c,d都大于等于0矛盾，所以a,b,c,d必有一个负数。
2.已知两个关于x的一元二次方程，中至少有一个方程有实数根，求实数a组成的集合。解：假设两个方程都没有实数根，则有
解得：
即所以符合题意的实数a组成的集合是例2、求“方程的两根均大于5“的一个充要条件。说明：本题考察充分、必要性的判定和证明。解：由方程两个均大于5知：，所以是方程两根均大于5的充要条件。注意：一般我们解题时所求的条件指的都是充要条件，本题若改为“求使方程的两根均大于5的a的取值范围。”那么所得到的结论与本题的结论是一致的。变式练习：
1、已知函数试写出“f(x)>0对任意都成立”的一个充分不必要条件。证明：充分非必要条件：。因为时，满足对任意都成立，而对任意都成立，可推出：或，即。事实上，是函数对任意都成立都成立的充要条件。必要性已证，充分性证明：当时，对任意都成立都成立（已证）当
时，，又由知对任意都成立。综上，时，函数对任意成立。2、（1）是否存在实数p，使得“4x+p<0”是“”的充分非必要条件？如果存在，求出p的取值范围。
（2）是否存在实数p，使得“4x+p<0”是“”的必要非充分条件？如果存在，求出p的取值范围。
证明：（1）题中“4x+p<0”是“”的充分非必要条件说明4x+p<0，即4x+p<0的解集A是解集B的子集（）,且的解集不是4x+p<0解集的子集，所以当，即时，但对一切实数p，B都不会是A的子集。（2）条件要求，没有实数p满足此条件，故p不存在。
例3、(1)
已知集合,集合N=｛,则是的________________条件
(2)已知条件p:|x+1|>2,条件q:5x-6>
,则q是p的______________________条件。说明：本题从子集的角度去判定充分条件与必要条件。解：对集合M,N进行化简，因为=,
N=｛=
，所以(N是M的真子集)，于是“”是“”的必要非充分条件。注意：“A是B的真子集”等价于“的充分非必要条件”变式练习：1.
（1）已知判断
（2）
（3）
（4）写出解：（1）充分非必要条件（2）（3）充要条件（4）例4、已知,判断：（1）（2）说明：本题借助几何轨迹判定两个点集之间的包含关系。解：（1）记A=｛（x,y）|｝,记B=｛(x,y)|
｝,易知集合A对应坐标平面上第一象限内的所以点，至于集合B,
说明点（x,y)不在第三象限，即集合B也对应坐标平面上第一象限内的所有点，故A=B,于是，说明：对于点集A、B，如果,则A对应的图形的一部分，如果A=B，则A对应的图形与B对应的图形重合，如果A与B互不包含，则A对应的图形不全在B对应的图形上，同时B对应的图形不全在A对应的图形上。变式练习：1．（1）已知集合集合,则的____________________条件。（既非充分也非必要条件）
（2）已知集合p:-1(1)
(充要条件)
(2)
（充分非必要条件）分析：记A={(x,y)|(x,y)使得成立}，记B=｛(x,y)|(x,y)使得成立｝，借助集合A,B在坐标平面上的几何轨迹可直观地判定这两个集合之间的子集关系，进而可判定之间的条件关系。例5、
已知条件,若q是p的充分非必要条件，求实数a,b的值。分析：记P={x|x使得p成立},Q={x|x使得q成立}，分析依题意知，Q是P的真子集，据此可以求出参数p,q的值。解：记P={x|
},Q={x|
}，依题意，q是p的充分非必要条件，故Q是P的非空真子集，由此可知，Q=｛1｝或｛2｝，相应于或变式练习：已知关于x的方程：,求是的方程（1）（2）的根都是整数的充要条件分析：可求使得方程（1）和方程（2）的根都是整数的必要条件，然后检验其充分性，这也是处理问题的一般性方法。解：设方程的根都是整数，则为整数，故,考虑到，于是只剩下m=1为可能，这就表明m=1是方程（1）和方程（2）的根都是整数的必要条件，另一方面，当m=1时，方程（2）的根都是整数的必要条件，另一方面，当m=1时，方程（2）的两根为-1和5，这就表明，m=1是方程（1）和方程（2）的根都是整数的充分条件，综上，所求充要条件为m=1
【课堂小练】1.命题“棱形的对角线互相垂直且平分”的否命题是（
）
(A)棱形的对角线不互相垂直，也不互相平分
(B)棱形的对角线不互相垂直，或不互相平分
(C)如果一个四边形不是棱形，则它的对角线互相垂直，但不互相平分
(D)如果一个四边形不是棱形，则它的对角线互相垂直，或不互相平分2.如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的（
）A.否命题必是真命题
B.否命题鄙视假命题C.原命题必是假命题
D.逆否命题必是真命题解析：一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假相同，答案为A。3.设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C．充要条件
D.既不充分也不必要条件解析：如果m,n均为偶数，则m+n一定是是偶数；反正，如果m=1,n=3,
m+n=4是偶数,但此时m,n均不是偶数，所以“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的充分不必要条件
。4.设集合A,B是全集U的两个子集，则(A是B的真子集)是的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C．充要条件
D.既不充分也不必要条件解析：画出韦恩图，很容易看出来。答案为A5、用推出符号把两件事联系起来：（1）：_________
：（2）：ab=0_________：a=0或b=0（3）：四边形ABCD是平行四边形__________：四边形ABCD是矩形（4）：__________：方程有实数解6．“”是“”的___________________________条件。7．写出命题“若都是奇数，则是偶数”的逆否命题：_______________________________________8.写出的一个充分不必要条件_________________9、已知：a,b,求证：若a-b不是偶数，则a,b不全为奇数。证明：假设a,b全是奇数，则设a=2m+1,b=2n+1,
,那么:a-b=(2m+1)-(2n+1)=2(m-n),因为，那么(m-n)
,那么a-b是偶数，与a-b不是偶数矛盾，所以假设不成立
,那么a
,b不全为零。10、若试写出的一个充分非必要条件，并说明理由。答案：答案不唯一，如11、.求关于x的方程解：当a=0时，满足条件
当时，若方程两根一正一负，则若方程两根均为负，则综上：12.将下列命题改成“若p则q”的形式，写出逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假。　（1）负数的平方是正数；　（2）四条边相等的四边形是正方形。13.设是方程的两个实根，试分析：a>2且b>1是两根均大于1的什么条件？14、.已知命题p:方程在[-1,1]上有解；命题q:只有一个数学x满足不等式,若不等式p和q中至少有一个是假命题，求a的取值范围。15.设，若是的充分非必要条件，求a的取值范围。,16．判断“”是“对于任意，使一次不等式恒成立”的什么条件，并说明理由。【课堂总结】思考回顾：
如何写一个命题的否定形式？要注意的问题是什么？如何用逆否命题来证明原命题的真假？理解什么是充分不必要条件，什么是必要不充分条件，什么是充要条件，既不充分也不必要条件。如何从子集的角度来理解推出关系，如何从子集的角度来理解充分条件与必要条件。【课后练习】
1、判断命题“两个奇数的平方差是8的倍数”的真假，并给出证明。真命题证明：设任意的两个奇数为、，
则若m与n同为奇数或偶数，则(m-n)为偶数所以是8的倍数若m与n为一奇数一偶数，则（m+n+1）为偶数所以是8的倍数综上可知：是8的倍数，所以命题为真命题2、
命题甲：；命题乙：，试判断命题甲与命题乙的推出关系。证明：当，有，故命题甲命题乙；但当a=c,b=d时，有成立，而x可取一切实数，故命题甲不能推出命题乙
3、
求证：二次方程有一根为1的充要条件是a+b+c=0。证明：（1）充分性
若将代入方程得
所以的一个根。
（2）必要性
若的一个根，则
即若，求证：a、b、c中至少有两个不相等。证明：假设a、b、c都相等，则=0
与已知条件矛盾，所以假设不成立，即a、b、c中至少有两个不相等。已知方程若方程至少有一个实数根，求实数a的范围；方程的两根能否都比-2小？若能，求出a的范围，若不能，请说明理由。解：（1）（2）不能已知a、b、c都为实数，求证;的充要条件是。证明：
的充要条件已知，求的充要条件。答案：因为A=B,那么A,B集合中的元素一一对应相等首先A,B中都有元素1，那么只要毕竟另外两个元素即可。则，解得：或将上式分别代入集合A,B，发现当q=1时，B中元素全部为1，不满足集合的互异性，所以
互否
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
互否
互逆
互逆
逆
逆
否
否
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