沪教版（上海）高一数学辅导讲义（四种命题形式 充分条件与必要条件（一））教师版（Word版有答案）

学员编号：
年
级：
高一
课时数：3学员姓名：
辅导科目：数学
学科教师:
课
题
四种命题形式
充分条件与必要条件
授课日期及时段
教学目的
理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题，否命题，逆否命题理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，能在简单的问题情境中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。
教学内容
【知识梳理】　如何定义命题？四种命题形式是哪四种？四种命题之间有哪些相互关系？什么是等价关系？若,则A是B的
充分
条件，B是A的
必要
条件，
若，则A与B互为充要条件怎样定义子集与推出关系？子集和推出关系的本质是什么？1、判断真假的语句称为命题，通常用陈述句表述。命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；2、四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。3、
4、如果两个命题，A,B，且
，则称A,B为等价命题。5、子集与推出关系指集合的包含关系与集合性质的推出关系，例如若。6、推出关系具有传递性，即
【典型例题分析】例1、判断下列命题的真假，并给出证明。两个三角形两边一对角对应相等，则两个三角形全等。如果一元二次方程那么这个方程有两个不相等的实数根。如果集合A,B,C满足如果集合A,B,C,如果解析：（1）假命题，举反例；（2）真命题，证明：所以方程有两个不相等的实数根。（3）假命题。举反例：(4)真命题，证明：是任何集合的子集，则,若设任意变式练习：判断下列命题的真假，并说明理由。某个整数不是偶数，则这个数不能被4整除。若合数一定是偶数解析：真，假，假，真例2、写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断真假。（1）（2）已知.解析：点拨：若命题改写不方便，，可先将命题改写成三段式:大前提，条件，结论，一般情况下，四种命题形式的大前提是一致的，然后将条件改写成“如果……那么……”原命题是真命题，逆命题：假命题
否命题：，假命题
逆否命题：，真命题注意：在做否定的时候，“或”改成“且”，“且”改成“或”。原命题是真命题，逆命题：
真命题
否命题：
，真命题
逆否命题：，真命题注意：在否定的时候注意部分否定和全部否定。变式练习：写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断真假。若一个整数的末位是0，则这个整数可以被5整除。等腰三角形的底角相等。解析：
（1）逆命题：若一个整数可以被5整除，则这个整数的末位是0。
假命题
否命题：若一个整数的末位不是0，则这个整数不可以被5整除。
假命题
逆否命题：若一个整数不可以被5整除，则这个整数的末位不是0。真命题（2）逆命题：两个内角相等的三角性是等腰三角形
真命题
否命题：同一个三角形，若两边不相等则对应的两个角不相等。
真命题
你否命题：任意两个内角不相等的三角形不是等腰三角形
真命题注：判断命题的真假，常常考察数学基础知识，只有数学基础知识扎实的情况下才能解决此类问题。例3、用“充分”“必要”填空（1）“两个角是直角”是“两个角互补”的
条件；（2）“m=3”是“”的
条件；（3）“x>1”是“”的
条件；（4）“k>0”是“y=kx+b过第一象限”的
条件。解析：（1）充分（2）充分（3）充分（4）充分例4、对于任意实数a,b,c，在下列命题中，真命题是
（
）A“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B“ac=bc”是“a=b”的必要条件C“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D“ac=bc”是“a=b”的充分条件解析:用“”来连接，再判断正确与否。变式练习：1.“”是“的（　　　）A．必要不充分条件
　　B．充分不必要条件C．充分必要条件
　　　　
D．既不充分也不必要条件
2.
设集合，，那么“”是“”的（
）A．充分而不必要条件
　
　　　B．必要而不充分条件C．充分必要条件　
　　
　D．既不充分也不必要条件例5、关于x的方程kx+b=0的解集为R的充要条件是
解析:
,例6、试证一元二次方程有两个人相异实根的充要条件是a与c异号。解析：证明充要条件的时候一定要注意证明的两个方向，“充分性”“必要性”例7、（1）写出的一个充分不必要条件
（2）写出x>-1的必要条件解析：(1)x<-4
(2)x>-2(答案不唯一)例8、用反证法证明：已知a与b均为有理数，且和都是无理数，证明+也是无理数。
证明：假设+是有理数，则（+）（）=ab由a>0,
b>0
则+>0
即+0∴
∵a,bQ
且+Q∴Q
即（）Q这样（+）+（）=2Q从而
Q
（矛盾）
∴+是无理数。注：用反证法证明题目的步骤是：1、假设结论的对里面成立；
2、利用假设和已知推出矛盾；
3、假设不成立，原命题成立。【课堂小练】1、写出命题“如果两个三角形全等，那么他们的面积相等”的逆命题，否命题，逆否命题,并判断它们的真假2、“△ABC中，若∠C=90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为
(
)
A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角
B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角
C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角
D．以上都不对3、给出以下四个命题：①“若x＋y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若，则有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．其中真命题是
(
)
A．①②
B．②③
C．①③
D．③④4、已知p是q的必要条件，r是q的充分条件，p是r的充分条件，那么q是p的（
）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件5、已知命题满足，问是什么关系。6、命题“若ab=0，则a，b中至少有一个为零”的逆否命题是
．7、若一个数不是负数，则它的平方不是正数．”和这个命题真值相同的命题为
(
)
A．“若一个数是负数，则它的平方是正数．”
B．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数．”
C．“若一个数的平方是正数，则它是负数．”
D．“若一个数不是负数，则它的平方是非负数．”
8、用“充分、必要、充要”填空：
①p或q为真命题是p且q为真命题的______条件．
②非p为假命题是p或q为真命题的______条件．
③A：|x－2
|<3，
B：x2－4x－15<0，
则A是B的_____条件；9、设集合A=
{x|x2+x－6=0}，B={x|mx+1=
0}，则B是A的真子集的一个充分不必要的条件是___
____．10、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是
（
）
A、所给命题为假
B、它的逆否命题为真C、它的逆命题为真
D、它的否命题为真11、若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件。12、求直l：ax-y+b=0经过两直线l1：2x-2y-3=0和l2：3x-5y+1=0交点的充要条件。13、求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0.14、分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．②当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0．15、（1）
“”是““的_____________条件;（2）a,bR,“”是“ab=0”的_____________条件;（3）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的______________条件。16、已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的（
）A．充分但不必要条件
　　B．必要但不充分条件C．充要条件
　　　
D．既不充分也不必要条件17、
p是q的充要条件的是
（
）
A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解18、设A、B、C三个集合，为使A(B∪C)，条件AB是（
）A．充分条件
　　　B．必要条件C．充要条件
　　　D．既不充分也不必要条件19、
给出下列各组条件：(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1．其中p是q的充要条件的有
（
）A．1组
B．2组C．3组
D．4组20、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是（
）
A、所给命题为假
B、它的逆否命题为真
C、它的逆命题为真
D、它的否命题为真21、“α≠β”是cosα≠cosβ”的（
）A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
22、已知p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的（
）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C.充要条件
D、既不充分又不必要条件【课堂总结】思考回顾：本节课主要讲了哪些知识点：如何写一个命题的其他几个命题形式？在改写的过程中有哪些注意事项？如何判断充分必要条件？在判断过程中有什么好的办法？【课后练习】1、判断下列命题的真假：
1．(x2)(x+3)=0是(x2)2+(y+3)2=0的充要条件。
解：是假命题。反例；若x=2,
y3
2．x2=4x+5是
x的必要条件。
解：是假命题。{x|
x2=4x+5}={1,5}
{x|
x}={0,5}
3．内错角相等是两直线平行的充分条件。
解：是真命题。
4．ab<0是
|a+b|<|ab|
的必要而不充分条件。
解：是假命题。|ab|>|a+b|≥0
(ab)2>(a+b)2
a22ab+b2>
a2+2ab+b2
4ab<0
ab<0
∴(ab<0是
|a+b|<|ab|
的充要条件)2、已知关于x的方程
(1a)x2+(a+2)x4=0
aR
求：1)
方程有两个正根的充要条件；2)
方程至少有一个正根的充要条件。
解：1)
方程(1a)x2+(a+2)x4=0有两个实根的充要条件是：即：
即：
a≥10或a≤2且a1
设此时方程两根为x1，x2
∴有两正根的充要条件是：
1即为所求。
2)
从1)知1当a=1时,
方程化为
3x4=0有一个正根x=
方程有一正、一负根的充要条件是：
a<1
综上：方程(1a)x2+(a+2)x4=0至少有一正根的充要条件是a≤2或a≥10。3、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是__
m≤1____4、关于X的二次方程+（a-1）x+a-2=0的一个根比1大，另一个根比1小的充要条件是（
）（A）
-1(b)
a<-1或a>1（C）
-2(d)
a<-2或a>1略解（一）设函数y=f(x)=
+(
a-1)x+(a-2)由函数图象易知：方程+(
a-1)x+a-2=0的一个根比1大，一个根比1小
f(1)<0
1+(
a-1)+a-2<0-2故选（C）5、已知p：方程有两个不等的负实根；q：方程无实根.若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围.解：由已知p，q中有且仅有一为真，一为假，，若p假q真，则
若p真q假，则综上所述：.6、有下列四个命题：①命题“若xy=1”,
则“x,y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若有实根”的逆否命题；④命题“若，则”的逆否命题。其中是真命题的是________（填上你认为正确的命题的序号）。①、②、7、，命题.试寻求使得都是真命题的的集合.解：设，依题意，求使得都是真命题的的集合即是求集合，∵∴若时，则有，而，所以，
即当时使都是真命题的；当时易得使都是真命题的；若，则有，此时使得都是真命题的．
互否
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
互否
互逆
互逆
逆
逆
否
否
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