人教版八年级上册数学：13.3.1 等腰三角形10道典型题 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
本专题考察的知识点
1.等腰三角形的性质与应用
2.等边三角形的性质与应用
3.含30°直角三角形的性质
4.分类讨论的思想方法在等腰三角形中的应用
例1.
已知等腰三角形的一个角是70°,求其余两角．
思路分析：已知等腰三角形的一个角是70°,那么这个70°的角可能为等腰三角形的底角或为等腰三角形的顶角；由三角形内角和定理易求出其余两角．
70°、40°或55°、55°
；
引申：
已知等腰三角形的一个角是110°，求其余两角．
答案:其余两角为35°、35°．
归纳：等腰三角形的顶角可以是锐角、直角和钝角；
底角只能是锐角．所以，看到等腰三角形中的一个角的度数时，要注意判断这个角可能是顶角还是底角，是否需要分类讨论．
例2.如图：△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，若∠BDC=120°，求∠DBC的度数.
思路分析：由BD平分∠ABC，易知∠1=∠2，
则设∠1=∠2
=x，由AB=AC可得∠C=∠1+∠2=2x,在△DBC中由三角形内角和定理可列出x的方程，求出x．
例3.
在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求∠A的度数.
思路分析:
由题设中的等边关系(AB=AC，BD=BC=AD),可以推出角的等量或倍数关系,在利用方程思想,可求出图中各角的度数.
1
解：设∠1=x,∵BD=BC=AD
,
∴∠1=∠2,∠3=∠C,
∵∠3
=∠C=∠1+∠2=2x,
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x,
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°,
即5x=180°,∴∠A=x=36°.
例4.
证明：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等.
提示：
本题为文字命题，解题时应分为以下
三个步骤：
（1）根据题意作图；
（2）写出已知，
（3）进行求证．
例5.如图：在三角形ABC中，AB=AC,
BD⊥AC于D，求证：∠DBC=
∠A．
思路分析：由等腰三角形“三线合一”可联想到作底边的高，可推出1/2∠BAC=∠EAC,
由BD⊥AC，AE为高可知∠EAC和∠DBC都与∠C互余，推出∠DBC=∠EAC=1/2∠BAC.
E
E
证明：过点A作AE⊥BC于点E,
又∵AB=AC,
∴∠EAC
=1/2∠BAC,
∵BD⊥AC，AE为高可知,
∴∠EAC和∠DBC都与∠C互余,
∴∠DBC=∠EAC=1/2∠A
课间休息十分钟……
例6.在△ABC中，AB=AC，D是
CA延长线上一点,DF⊥BC于F，
交AB于E，求证：AE=AD.
思路分析：由等腰三角形“三线合一”可联想到作底边的高AM，可推出∠1=∠2,由DF⊥AC，AM⊥BC可知DF∥AM，从而∠3=∠4，证出结论．
M
1
3
4
2
3
4
1
2
证明：过点A作AM⊥BC于M，
∵AB=AC,
∴∠1=∠2,
∵DF⊥AC，AM⊥BC,
∴DF∥AM，
∴∠3=∠1，
∠2=∠4
∴∠3=∠4
,
∴AD=AE．
例7．如图，△ABC是正三角形，D、E、F分别是AB、BC、CA上的点，且AD＝BE＝CF，试说明△DEF是等边三角形．
思路分析：利用等边三角形的性质可推出，边、角的等量关系，从而易证三角形全等。进而说明△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC是正三角形，∴AB=BC=CA,∠A=∠B=∠C=60°,
又∵AD＝BE＝CF，
∴BD=EC=AF,
∴△ADF≌△BED≌△CFE,
∴DE=EF=DF
∴△DEF是等边三角形．
例8．如图，△ABD、
△AEC都是等边三角形，求证：
△AFG是等边三角形．
思路分析：利用等边三角形的性质可推出，边、角的等量关系，从而易证三角形全等，进而说明△AFG是等边三角形．
证明：∵△ABD
和△AED是正三角形，
∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,
∴
∠CAD=∠BAD+∠CAB=60°+∠CAB,
∠BAE=∠CAE+∠CAB=60°+∠CAB,
∴
∠CAD=∠BAE,
△ADC≌△BAE,
∴
∠ADF=∠GBA．
又∵AD=AB,
∠FAG=180°-∠BAD-∠CAE=60°,
∠FAG=∠DAF=60°,
∴△ADF≌△BAG,
∴AF=AG,
又∵∠FAG=60°,
∴△DEF是等边三角形．
例9.
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
提示：本题为文字命题，首先应根据题意作图；写出已知，求证．
已知：∠CAE为△ABC的外角，∠1=∠2，
AD∥BC.求证：AB=AC
A
B
C
D
E
1
2
思路分析：欲证AB=AC
可
先证∠B=∠C,又∠1=∠2，所以应设法寻求∠B、∠C
与∠1、∠2的关系，又由
AD∥BC易得结论.
证明：
∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，
同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，
内错角相等）．
∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等边对等角）．
A
B
C
D
E
1
2
例10．已知：△ABC中，∠ABC=3∠C,
∠1=∠2,BE⊥AE.
求证：AC-AB=2BE.
思路分析：延长BE与AC交于点F,构造全等三角形∴△ABE≌△AFE,则2BE=BF,AC-AB=CF,我们只要判定△FBC为等腰三角形即可．
F
证明：延长BE与AC交于点F,
∵BE⊥AE.
∴∠AEB=∠AEF=90°
,
∵∠1=∠2,AE=AE,
∴△ABE≌△AFE,
∴2BE=BF,AB=AF,
∴AC-AB=AC-AF=FC,
∴∠ABF=∠AFB=∠FBC+∠C．
∵∠ABC=3∠C,
∴∠ABF+∠FBC=3∠C,
∴∠FBC+∠C+∠FBC=3∠C,
∴∠FBC=∠C,
∴BF=FC,
∴AC-AB=2BE.