因数和倍数的意义
知识梳理
教学重、难点
作业完成情况
典题探究
例1．一个数的倍数一定比这个数大．
．（判断对错）
例2．因为3×5=15，所以3和5是因数．
．
例3．a、b、c、d是不同的质数．甲数=cba?，乙数=dcba，则
A．甲是乙的倍数
B．乙是甲的倍数
C．甲是乙的因数
D．乙是甲的因数．
例4．a和b都是自然数，5a=b，所以b是a的倍数，a是b的
．
例5．甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数，那么甲数是丙数的
．
例6．一个数的约数的个数是有限的．
（判断对错）
演练方阵
A档（巩固专练）
一．选择题（共17小题）
1．（长沙县模拟）a是自然数，且a÷b=3，那么a（ ）b的倍数．
A．
一定是
B．
一定不是
C．
不一定是
D．
不能确定
2．（重庆）2×3×6=36，2、3、6这三个数都是36的（ ）
A．
倍数
B．
质因数
C．
公约数
D．
约数
3．（德阳模拟）1、3、7都是21的（ ）
A．
质因数
B．
公约数
C．
奇数
D．
约数
4．（泗县模拟）已知a能整除23，那么a是（ ）
A．
46
B．
23
C．
1和23
5．（武山县）a，b和c是三个非零自然数，在a=b×c中，能够成立的说法是（ ）
A．
b和c是互质数
B．
b和c都是a的质因数
C．
b和c都是a的约数
D．
b一定是的倍数
6．（新泰市）1、3、5都是15的（ ）
A．
公因数
B．
因数
C．
奇数
7．（湛河区）a、b和c是三个自然数，在a=b×c中，不一定成立的是（ ）
A．
a一定是b的倍数
B．
a一定能被b整除
C．
a一定是b和c的最小公倍数
D．
b一定是a的约数
8．（定兴县）一个数既是12的约数，又是12的倍数，这个数是（ ）
A．
3
B．
12
C．
24
9．（静宁县）一个合数至少有（ ）个约数．
A．
1
B．
2
C．
3
10．在60=12×5中，12和5是60的（ ）
A．
倍数
B．
偶数
C．
质数
D．
因数
11．一个自然数可以写成两个不同质数相乘的积，这个数的约数共有（ ）个．
A．
2
B．
3
C．
4
12．如果a÷b=12，那么（ ）
A．
b一定是a的约数
B．
b可能是a的约数
C．
a可能整除b
D．
b一定是a的倍数
13．甲数×3=乙数，（甲、乙是非0自然数），乙数是甲数的（ ）
A．
倍数
B．
因数
C．
自然数
14．如果“24→2”表示2是24的因数，下面各图中正确表示各数关系的是（ ）
A．
B．
C．
15．一个合数的因数有（ ）个．
A．
2
B．
3
C．
至少3
D．
无数
16．下面各组数中，哪一组的第二个数是第一个数的倍数．（ ）
A．
36和9
B．
210和70
C．
0.2和100
D．
30和60
17．用a表示一个非0自然数，a2必定是（ ）
A．
奇数
B．
质数
C．
合数
D．
约数的个数为奇数
二．填空题（共10小题）
18．（萝岗区）24是倍数，6是因数．
．（判断对错）
19．（巴中）一个数的因数都比这个数的倍数小．
．（判断对错）
20．（黔西县）一个数最大的约数，就是它的最小倍数．
．（判断对错）
21．（道里区模拟）因为7×8=56，所以56是倍数，7和8是因数．
．（判断对错）
23．（射洪县）甲数能被乙数整除，乙数一定是甲乙两数的最大公约数．
．（判断对错）
24．（西峡县）37是37的倍数，37是37的约数．
（判断对错）
25．（新田县模拟）一个数既是35的倍数，又是35的因数，这个数是
．在自然数中，既不是质数也不是合数的数是
．
26．（泗县模拟）24和8，
是
的约数；
是
的倍数．
27．（铁山港区模拟）1是所有自然数的约数．
．
三．解答题（共3小题）
28．因为4×5=20，所以4和5都是因数，20是倍数．
．
B档（提升精练）
一．选择题（共5小题）
1．下面各组数中，哪一组的第二个数是第一个数的倍数．（ ）
A．
36和9
B．
210和70
C．
0.2和100
D．
30和60
2．有一个数，它既是30的倍数又是30的因数，这个数是（ ）
A．
3
B．
15
C．
30
D．
60
3．6是“30”和“42”的（ ）
A．
因数
B．
倍数
C．
公因数
D．
公倍数
4．属于因数和倍数关系的等式是（ ）
A．
2×0.25=0.5
B．
2×25=50
C．
2×0=0
5．如果△是○的25倍，下面的算式中正确的是（ ）
A．
△×25=O
B．
○×25=A
C．
○+△=25
D．
○﹣25=△
二．填空题（共25小题）
6．一个数的倍数的个数是
，其中最小的是
．
7．一个数越大，它的因数就越多．
．（判断对错）
8．18的因数有6个，18的倍数有无数个．
．（判断对错）
9．12是8的
倍．
10．如果t能被s整除，那么t是s的倍数．
．
11．一个数各个数位上的数字加起来的和是9的倍数，那么这个数也是
的倍数．
如果要让□729成为3的倍数，那么□里可以填
．
12．一个数和既是8的倍数，又是40的因数，这个数最大可能是
，最小可能是
．
13．一个非零自然数的因数一定小于它的倍数．
．（判断对错）
14．甲数除以乙数，商是15，那么甲数一定是乙数的倍数．
．
15．一个数的因数中只有1和它本身，这个数一定是质数．
．（判断对错）
16．偶数的因数一定比奇数的因数多．
．
17．27的因数有
，这些因数中，
既是奇数，又是合数．一个两位数是5的倍数，各个数位上数字的和是8，这个两位数是
或
．
18．（泗县模拟）任何自然数都有2个因数．
．（判断对错）
19．70正好是3.5的倍数．
．
20．一个数的因数不一定比它的倍数小．
．（判断对错）
21．因为5×9=45，或者45÷9=5，可以看出
和
都是
的因数；
是
和
的倍数．
22．任何整数，必定都有两个约数．
．
（判断对错）
23．17有
个因数，17是
数；24的全部因数有
，所以24
是
数．（填质或合）
24．在算式4×19=76中
是
和
的倍数
和
是
的因数．
25．认真思考，对号入座
（1）在26、12和13这三个数中，
是
的倍数，
是
的因数，
和
是互质数．
（2）一个数，千位上是最小的质数，百位上是最小的奇数，个位是最小的合数，其余数位上的数字是0，这个数写作
．
26．10、10和5这两个数，5是10的
数，10是5的
数．
11、1021至少加上一个整数
，就能被3整除．
C档（跨越导练）
一．选择题（共5小题）
1．（静宁县）一个合数至少有（ ）个约数．
A．
1
B．
2
C．
3
2．下列说法正确的是（ ）
A．
因为4÷2=2，所以4是倍数，2是因数
B．
一个正整数没有最大的倍数
C．
偶数都是合数，奇数都是素数
D．
两个整数的积一定是这两个数的最小公倍数
3．数m能被数n整除，m是n的（ ）
A．
倍数
B．
约数
C．
公倍数
D．
公约数
4．下面各组数中，第一个数是第二个数的倍数的数是（ ）
A．
18和8
B．
51和17
C．
65和15
D．
3和69
5．a、b、c、d是不同的质数．甲数=a×b×c，乙数=a×b×c×d，则（ ）
A．
甲是乙的倍数
B．
乙是甲的倍数
C．
甲是乙的因数
D．
乙是甲的因数
二．填空题（共13小题）
6．我们只在
（零除外）的范围内研究倍数和因数．
7．0532﹣A
B
C
D
E
F
G
H
提示：A﹣﹣5的最小倍数；
B﹣﹣最小的自然数；
C﹣﹣5的最大因数；
D﹣﹣它既是4的倍数，又是4的因数；
E﹣﹣它的所有因数是1，2，3，6；
F﹣﹣它的所有因数是1，3；
G﹣﹣它只有一个因数；
H﹣﹣它的2倍是4．
这个号码就是
．
8．在等式24=4×6=2×2×2×3中，4和6是24的
，2和3是24的
A．素数
B．合数
C．因数
D．素因数．
9．谁说得对？对的在□里打“√”．
10．在11÷5，10÷3，42÷14中，
能被
整除，
叫做
的因数，
叫做
的倍数．
11．在1，2，5，12中，
是
的倍数，
是
的因数，素数有
．合数有
，奇数有
，偶数有
．
12．在3、1.5、12、0.9、21中，
（1）
和
是
的倍数．
（2）
是
和
的因数．
13．a、b、c、d是不同的质数．甲数=cba?，乙数=dcba，则
A．甲是乙的倍数
B．乙是甲的倍数
C．甲是乙的因数
D．乙是甲的因数．
14．在26、12和13这三个数中，
是
的倍数，
是
的因数，
和
是互质数．
15．10、10和5这两个数，5是10的
数，10是5的
数．
11、1021至少加上一个整数
，就能被3整除．
16．a、b、c
是三个不同的自然数，在a÷b=c中，
A．c一定是a和b的倍数
B．a一定是c和b的倍数
C．c和b一定是a的因数．
17．一个数的最大因数是36，这个数是
．
18．认真思考，对号入座
（1）在26、12和13这三个数中，
是
的倍数，
是
的因数，
和
是互质数．
（2）一个数，千位上是最小的质数，百位上是最小的奇数，个位是最小的合数，其余数位上的数字是0，这个数写作
．
三．解答题（共12小题）
19．如果3→12表示3是12的因数，请你用→表示下图中其它各数间的关系．
20．一个数的最大因数和最小倍数相加等于62，这个数是多少？
21．将下面各组题中左右两边的问题与结果相对应的，用线连起来：
22．写出自己所在班级学生的总人数、女生人数、男生人数各是多少．并分别写出它们的因数．
23．（1）一个数是18的倍数，又是18的因数，这个数是多少？
（2）一个数既是48的因数，又是8的倍数，这个数可能是多少？
（3）一个数既是48的因数，又是8的倍数，同时还是3的倍数？这个数是多少？
24．下面的说法分别错在什么地方？请订正．
（1）15是倍数，3是约数．
（2）因为105=3×5×7，所以3，5和7都是质因数．
（3）能被2除尽的数叫偶数．
（4）互质数是没有公约数的数．
（5）求15、30、20的最小公倍数．
〔15，30，20〕=15×2×10=300．
25．图中12→4表示12是4的倍数，用“→”表示下面两组数之间的关系．
26．猜猜我是谁？
27．你能照样子说一说生活中的倍数吗？
28．猜电话号码ABCDEFG．
提示：A﹣﹣8的最小倍数
B﹣﹣最小的自然数
C﹣﹣5的最大因数
D﹣﹣既是4的倍数，又是4的因数
E﹣﹣所有因数是1，2，3，6
F﹣﹣比最小的质数大5
G﹣﹣只有一个因数
这个电话号码就是
．
29．小狗和小猫
小狗和小猫要比赛谁跳得快，小狗对小猫说：“我比你跳得远，我一跳就是三米远，你跳一次只有两米．”小猫不服气地说：“我动作快，你跳两次的时间，我可能跳三次．”
兔子听到他们的争论就说：“用不着争论，你们俩比一比，就知道谁快谁慢了．来，我给你们当裁判．”兔子选了两棵树，树的距离是99米．
30．如果“3→15”表示3是15的因数．请你用“→”表示下图中各数之间的关系．
成长足迹
课后检测
学习（课程）顾问签字：
负责人签字：
教学主管签字：
主管签字时间：
耐心
细心
责任心因数和倍数的意义
答案
知识梳理
教学重、难点
作业完成情况
典题探究
例1．一个数的倍数一定比这个数大． 错误 ．（判断对错）
分析：
我们知道，一个数的最小倍数和最大因数都是它本身．
解答：
解：一个数的最小倍数和最大因数都是它本身，因此，答案错误故答案为：错误
点评：
解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行解答．
例2．因为3×5=15，所以3和5是因数． 错误 ．
分析：
根据因数和倍数的意义，因数和倍数是相互依存的两个概念，因数离开倍数就不成立，倍数离开因数也不成立．由此解答．
解答：
解：3×5=15，3和5是15的因数，15是3和5的倍数；因为3×5=15，所以3和5是因数．这种说法是错误的．故答案为：错误．
点评：
此题主要考查因数和倍数的意义，明确因数和倍数是相互依存的两个概念．不能单独地说某个数是因数，某个数是倍数．
例3．a、b、c、d是不同的质数．甲数=cba?，乙数=dcba，则 B、D
A．甲是乙的倍数
B．乙是甲的倍数
C．甲是乙的因数
D．乙是甲的因数．
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据题意，得乙数÷甲数=dcba÷cba=d≠1，所以乙是甲的倍数，甲是乙的因数．
解答：
解：根据题意，得乙数÷甲数=dcba÷cba=d≠1，所以乙是甲的倍数，甲是乙的因数．故答案为：B、D．
点评：
此题主要考查了学生对因数、倍数定义的理解以及判断一个数是另一个数的因数、倍数的方法．
例4．a和b都是自然数，5a=b，所以b是a的倍数，a是b的因 因数 ．
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
根据因数和倍数的意义进行解答即可．
解答：
解：因为a和b都是自然数，5a=b，所以b是a的倍数，a是b的因数；故答案为：因数．
点评：
解答此题的关键：理解和掌握因数和倍数的意义．
例5．甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数，那么甲数是丙数的 倍数 ．
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
设甲、乙、丙分别为A、B、C．根据因数和倍数的意义可得A=xB；B=yC；故A=（xy）C，所以甲数是丙数的倍数．
解答：
解：设甲、乙、丙分别为A、B、C．因为甲数是乙数的倍数，则有A=xB；丙数是乙数的因数，则有B=yC；故
A=（xy）C，所以甲数是丙数的倍数．故答案为：倍数．
点评：
考查了因数和倍数的意义，本题的关键是由甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数，得到甲数和丙数之间的关系．
例6．一个数的约数的个数是有限的． √ （判断对错）
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
一个数的约数最小是1，最大是它本身，约数的个数是有限的，由此解答即可．
解答：
解：一个数的约数的个数是有限的．因为约数最小是1，最大是它本身．故答案为：√．
点评：
此题考查约数的意义，一个数的约数的个数是有限的．
演练方阵
A档（巩固专练）
一．选择题（共17小题）
1．（长沙县模拟）a是自然数，且a÷b=3，那么a（ ）b的倍数．
A．
一定是
B．
一定不是
C．
不一定是
D．
不能确定
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
由此题可知，a是自然数，且a÷b=3，b不一定是自然数，当b为自然数时，a一定是b的倍数，当b为非自然数时，a就不是b的倍数，如1÷=3，就不能说1是的倍数，由此可判断此题．
解答：
解：a是自然数，且a÷b=3，b不一定是自然数，当b为自然数时，a一定是b的倍数，当b为非自然数时，a就不是b的倍数，如1÷=3，就不能说1是的倍数；故选：C．
点评：
此题是考察因数和倍数的意义，不要忽略了在研究因数和倍数时，我们所说的数是非0的自然数这一点．
2．（重庆）2×3×6=36，2、3、6这三个数都是36的（ ）
A．
倍数
B．
质因数
C．
公约数
D．
约数
考点：
因数和倍数的意义；因数、公因数和最大公因数．
分析：
因为2×3×6=36，说明2、3和6是36的因数，只有2和3是质数，所以2和3是36的质因数，但6不是质数，是合数，由此选出答案即可．
解答：
解：因为2×3×6=36，所以2、3、6是36的因数（约数）；故选：D．
点评：
此题主要考查质因数与因数的区别：是一个数的因数，如果都是质数，这样的数就是这个数的质因数，注意一个数的因数可以有1．
3．（德阳模拟）1、3、7都是21的（ ）
A．
质因数
B．
公约数
C．
奇数
D．
约数
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
1既不是质数也不是合数，所以排除了A是质因数的答案；公约数是两个以上的数才有公约数，一个数没有公约数，排除了B是公约数的答案；在数学上没有几个数叫做一个数的奇数的说法，排除了C答案；根据约数的意义，1，3，7都是21的约数，据此解答．
解答：
解：A：1既不是质数也不是合数，所以1不是21的质因数；B：21是一个数，所以不能说1、3、7都是21的公约数；C：在数学上没有几个数叫做一个数的奇数的说法；D：1，3，7都是21的约数；故选：D．
点评：
本题主要考查质因数、约数、公约数、奇数的意义．
4．（泗县模拟）已知a能整除23，那么a是（ ）
A．
46
B．
23
C．
1和23
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
（1）整除的意义：整数a除以整数b（b≠0），得到的商是整数，而没有余数，就说整数a
能被整数b整除，也可以说整数b能整除整数a，据此概念进行判断并选择即可．（2）也可以直接找23的因数，23的因数有1和23，就说明整数23能被整数1和23整除，也可以说整数1和23能整除整数23，由此进行判断并选择．
解答：
解：23的因数有：1和23，说明整数23能被整数1和23整除，也可以说整数1和23能整除整数23，故选：C．
点评：
此题考查整除的概念：必须是整数除以不为0的整数，商是整数而没有余数．
5．（武山县）a，b和c是三个非零自然数，在a=b×c中，能够成立的说法是（ ）
A．
b和c是互质数
B．
b和c都是a的质因数
C．
b和c都是a的约数
D．
b一定是的倍数
考点：
因数和倍数的意义；合数与质数．
专题：
压轴题．
分析：
根据因数和倍数的关系：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．
解答：
解：根据因数和倍数的关系，因为a=b×c，所以a是b、c的倍数，b、c是a的约数（因数）；故选：C．
点评：
此题考查了因数和倍数的意义，应注意基础知识的积累．
6．（新泰市）1、3、5都是15的（ ）
A．
公因数
B．
因数
C．
奇数
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
根据因数与倍数的意义，15的因数有：1、3、5、15，由此可知，1、3、5都是15的因数；15只是一个数它没有公因数；1、3、5是奇数，但不能说是15的奇数，在数学上没有几个数叫做一个数的奇数的说法．
解答：
解：根据因数与倍数的意义，1、3、5、都是15的因数；故选：B．
点评：
本题主要考查公因数、因数、奇数的意义．
7．（湛河区）a、b和c是三个自然数，在a=b×c中，不一定成立的是（ ）
A．
a一定是b的倍数
B．
a一定能被b整除
C．
a一定是b和c的最小公倍数
D．
b一定是a的约数
考点：
因数和倍数的意义；公倍数和最小公倍数．
专题：
压轴题．
分析：
逐项进行分析，选出不一定成立的一项即可．
解答：
解：A、因为a=b×c，所以a一定是b的倍数，正确；B、因为a=b×c，所以a÷b=c，a一定能被b整除，正确；C、a=b×c，a一定是b和c的最小公倍数，不成立；D、a=b×c，所以a÷b=c，b一定是a的约数．故选：C．
点评：
此题主要考查整除、约数、倍数、最小公倍数的意义，用它们来解决问题．
8．（定兴县）一个数既是12的约数，又是12的倍数，这个数是（ ）
A．
3
B．
12
C．
24
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
一个数是12的约数，这个数最小是1，最大是12；又是12的倍数，这个数最小是12，据此两点即可得答案．
解答：
解：因为：一个数是12的约数，可知这个数最小是1，最大是12；又是12的倍数，可知这个数最小是12．所以：．这个数是12．故选B．
点评：
此题主要考查了因数和倍数的意义及其求法．
9．（静宁县）一个合数至少有（ ）个约数．
A．
1
B．
2
C．
3
考点：
因数和倍数的意义；合数与质数．
分析：
根据合数的概念即可解答．
解答：
解：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；由此一个合数至少有3个约数．答：一个合数至少有3个约数．故选C．
点评：
此题考查的目的是理解和掌握合数的概念和内涵，据此解决有关的问题．
10．在60=12×5中，12和5是60的（ ）
A．
倍数
B．
偶数
C．
质数
D．
因数
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
由于60=12×5，即60÷12=5，根据因数和倍数的意义可知12和5是60的因数．
解答：
解：因为60=12×5，即60÷12=5，所以12和5是60的因数．故选：D．
点评：
考查了因数和倍数的意义，在除法里，A÷B=C，这里的A、B、C都必须是整数（B不能为0），A就是B和C的倍数，B和C就是A的因数．
11．一个自然数可以写成两个不同质数相乘的积，这个数的约数共有（ ）个．
A．
2
B．
3
C．
4
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
采用特殊值法，如：21=3×7；21的约数有1、3、7、21共4个．
解答：
解：采用特殊值法，如：21=3×7；21的约数有1、3、7、21共4个．再如：35=5×7；35的约数有1、5、7、35共4个．这个数的约数有1、两个质数的乘积、两个质数共4个．故答案为：C．
点评：
特殊值法、排除法、代入法等都是解决选择题的有效方法．
12．如果a÷b=12，那么（ ）
A．
b一定是a的约数
B．
b可能是a的约数
C．
a可能整除b
D．
b一定是a的倍数
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
因为a÷b=12，所以a一定是b的倍数，但a、b不一定都是整数，如：18÷1.5=12，b就不是a的约数，当a、b都是整数时，b就一定是a的约数；进而得出结论．
解答：
解：由分析得：当a、b都是整数时，b就一定是a的约数；当a、b不是整数时，b就不是a的约数；故选：B．
点评：
解答此题应结合题意，根据约数的意义进行分析即可．
13．甲数×3=乙数，（甲、乙是非0自然数），乙数是甲数的（ ）
A．
倍数
B．
因数
C．
自然数
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此解答即可．
解答：
解：甲数×3=乙数，所以乙数÷甲数=3，即甲数是乙数的因数，乙数是甲数的倍数；故选：A．
点评：
此题考查了因数和倍数的意义．
14．如果“24→2”表示2是24的因数，下面各图中正确表示各数关系的是（ ）
A．
B．
C．
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
根据因数和倍数的意义，并结合题意，解答即可．
解答：
解：24→2表示2是24的因数，因为本题中2是24的因数，所以可以用24→2表示，2是48的因数，可以用48→2表示，24是48的因数，可以用48→24表示，结合答案，只有B符合；故选：B．
点评：
此题应根据因数和倍数的意义进行分析、解答．
15．一个合数的因数有（ ）个．
A．
2
B．
3
C．
至少3
D．
无数
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
根据合数的意义直接作答，合数是指除了1和它本身之外，还有别的因数，这样的数就是合数．
解答：
解：除了1和它本身之外，还有别的因数，这样的数就是合数，所以一个合数的因数至少有3个．故选：C．
点评：
此题考查对合数意义的理解，一个合数的因数至少有3个．
16．下面各组数中，哪一组的第二个数是第一个数的倍数．（ ）
A．
36和9
B．
210和70
C．
0.2和100
D．
30和60
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
依据因数和倍数的意义，看每个选项中，第二个数是第一个数的因数，还是倍数，进行解答即可．
解答：
解：A，9是36的因数；B，70是210的因数；C，因为0.2是小数，所以不存在因数和倍数的关系；D，60是30的倍数；故选：D．
点评：
解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行分析、解答即可．
17．用a表示一个非0自然数，a2必定是（ ）
A．
奇数
B．
质数
C．
合数
D．
约数的个数为奇数
考点：
因数和倍数的意义；奇数与偶数的初步认识；合数与质数．
分析：
首先要明确奇数、偶数、质数、合数的意义：自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数；除了1和它本身外，还含有其它因数的数是合数；再确定当a≠0时，a2必定是什么数，可以举几个例子进一步验证，如12=1，约数只有1一个；22=4，约数有1、2、4三个；32=9，约数有1、3、9三个；42=16，约数有1、2、4、8、16五个；…；据此判断即可．
解答：
解：由分析知：当a表示一个非0自然数，a2必定是约数的个数为奇数；故选：D．
点评：
解答此题要明确奇数、偶数、质数、合数的意义以及平方的计算方法，然后通过举例进行验证，进而得出结论．
二．填空题（共10小题）
18．（萝岗区）24是倍数，6是因数． 错误 ．（判断对错）
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
约数与倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数（也叫因数）．约数与倍数是相互依存的，据此解答．
解答：
解：24÷6=4，只能说24是6的倍数，6是24的因数，所以24是倍数，6是因数的说法是错误的；故答案为：错误．
点评：
本题主要考查因数与倍数的意义，注意约数与倍数是相互依存的．
19．（巴中）一个数的因数都比这个数的倍数小． 错误 ．（判断对错）
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
一个数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．如：5的最小倍数是5，最大因数也是5．由此即可解答．
解答：
解：因为一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数，所以此题干不正确；故答案为：错误．
点评：
此题重点是考察因数和倍数的意义，要知道一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．
20．（黔西县）一个数最大的约数，就是它的最小倍数． 正确 ．（判断对错）
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
根据“一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数最小的倍数是它本身”进而得出结论．
解答：
解：因为：一个数最大的因数是它本身，一个数最小的倍数也是它本身；所以一个数最大的约数，就是它的最小倍数；故答案为：正确．
点评：
解答此题应明确：一个数最大的因数是它本身，一个数最小的倍数也是它本身．
21．（道里区模拟）因为7×8=56，所以56是倍数，7和8是因数． 错误 ．（判断对错）
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
因数和倍数是相互依存的，离开了因数也就无所谓倍数，离开了倍数也就无所谓因数，应当说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数，本题应当说56是7和8的倍数，7和8是56的因数．
解答：
解：因为7×8=56，所以56是倍数，7和8是因数．错误；正确的说法是：56是7和8的倍数，7和8是56的因数；故答案为：错误
点评：
本题是考查因数与倍数的意义．要记住，因数和倍数是相互依存的．
22．（蓬溪县模拟）一个数的最大约数与最小倍数的积是这个数的平方． 正确 ．
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
根据“一个数最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身”，进而进行判断即可．
解答：
解：因为一个数最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身，所以一个数的最大约数与最小倍数的积是这个数的平方；故答案为：正确．
点评：
解答此题应根据因数和倍数的意义进行解答即可．
23．（射洪县）甲数能被乙数整除，乙数一定是甲乙两数的最大公约数． 正确 ．（判断对错）
考点：
因数和倍数的意义；求几个数的最大公因数的方法．
分析：
甲数能被乙数整除，说明甲数是乙数的整数倍，求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；由此解答问题即可．
解答：
解：由题意得，甲÷乙=整数（0除外），可知甲数是乙数的倍数，所以甲和乙的最大公约数是乙；故答案为：正确．
点评：
此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数．
24．（西峡县）37是37的倍数，37是37的约数． 正确 （判断对错）
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
因为一个数的最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；可以得出：37是37的倍数，37是37的约数；进而得出结论．
解答：
解：根据一个数最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身；可以得出：37是37的倍数，37是37的约数；故答案为：正确．
点评：
解答此题应明确：一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数．
25．（新田县模拟）一个数既是35的倍数，又是35的因数，这个数是 35 ．在自然数中，既不是质数也不是合数的数是 1 ．
考点：
因数和倍数的意义；合数与质数．
专题：
数的整除．
分析：
（1）根据一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身；进行解答；（2）根据约数的个数把除0外的自然数分为三类：只有一个约数的是1；只有两个约数的叫做质数，有3个或3个以上约数的叫做合数，所以1既不是质数也不是合数，据此解答．
解答：
解：一个数既是35的倍数，又是35的因数，这个数是35．在自然数中，既不是质数也不是合数的数是1；故答案为：35，1．
点评：
此题考查了因数和倍数的意义、质数和合数的意义，应注意基础知识的理解和运用．
26．（泗县模拟）24和8， 8 是 24 的约数； 24 是 8 的倍数．
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
因为3×8=24，所以24是8的倍数，24÷8=3，所以8是24的约数，进而得出答案．
解答：
解：由分析知：8是24约数；24是8的倍数；故答案为：8，，24，24，8．
点评：
此题应根据倍数和因数的意义进行分析、解答．
27．（铁山港区模拟）1是所有自然数的约数． 正确 ．
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
因为任何自然数都能被1整除，所以任何自然数都是1的倍数，1是任何自然数的因数；由此判断即可．
解答：
解：由分析知：l是所有自然数的约数；故答案为：正确．
点评：
解答此题应根据因数和倍数的意义进行解答．
三．解答题（共3小题）
28．因为4×5=20，所以4和5都是因数，20是倍数． 错误 ．
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
因为4×5=20，所以说4和5都是20的因数，20是4和5的倍数；不能说成4和5都是因数，20是倍数；约数和倍数是相互依存的，是两个数之间的关系．
解答：
解：4×5=20，只能说4和5都是20的因数，20是4和5的倍数；不能说4和5都是因数，20是倍数．故判断为：错误．
点评：
此题考查倍数与约数的意义，倍数和约数是两个数之间的关系．
B档（提升精练）
一．选择题（共5小题）
1．下面各组数中，哪一组的第二个数是第一个数的倍数．（ ）
A．
36和9
B．
210和70
C．
0.2和100
D．
30和60
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
依据因数和倍数的意义，看每个选项中，第二个数是第一个数的因数，还是倍数，进行解答即可．
解答：
解：A，9是36的因数；B，70是210的因数；C，因为0.2是小数，所以不存在因数和倍数的关系；D，60是30的倍数；故选：D．
点评：
解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行分析、解答即可．
2．有一个数，它既是30的倍数又是30的因数，这个数是（ ）
A．
3
B．
15
C．
30
D．
60
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
由题意知：30的最小倍数是30×1=30，最大约数是30，因为最大约数和最小倍数相等，故这个数为30；
解答：
解：有一个数，它既是30的倍数又是30的因数，这个数就是30本身；故选：C．
点评：
此题应结合倍数和因数的意义进行解答，即可得出结论．
3．6是“30”和“42”的（ ）
A．
因数
B．
倍数
C．
公因数
D．
公倍数
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；两个数公有的因数，叫做它们的公因数；据此进行解答即可．
解答：
解：因为30÷6=5，所以6是30的因数；因为42÷6=7，所以6是42的因数；所以6是42和30的公因数；故选：C．
点评：
明确因数和倍数的意义和公因数的含义，是解答此题的关键．
4．属于因数和倍数关系的等式是（ ）
A．
2×0.25=0.5
B．
2×25=50
C．
2×0=0
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（为了方便，我们在研究因数和倍数时，所说的数一般指不是零的自然数）；由此进行选择即可．
解答：
解：根据因数和倍数的意义可知：属于因数和倍数关系的等式是2×25=50；故选：B．
点评：
此题考查了因数和倍数的意义．
5．如果△是○的25倍，下面的算式中正确的是（ ）
A．
△×25=O
B．
○×25=A
C．
○+△=25
D．
○﹣25=△
考点：
因数和倍数的意义；乘与除的互逆关系．
专题：
数的整除．
分析：
根据题意，如果△是○的25倍，即△÷○=25，再根据除法算式中各部分之间的关系，○×25=△．据此解答．
解答：
解：由分析得：△÷○=25，所以，○×25=△．故选：B．
点评：
此题主要根据根据除法算式中各部分之间的关系解决问题．
二．填空题（共25小题）
6．一个数的倍数的个数是 无限的 ，其中最小的是 它本身 ．
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘以自然数1，2，3，4，5…，所得积就是这个数的倍数，因为自然数的个数是无限的，所以一个数倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，据此解答．
解答：
解：一个数倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身；故答案为：无限的；它本身．
点评：
本题主要考查倍数的意义，注意一个数倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是他本身．
7．一个数越大，它的因数就越多． 错误 ．（判断对错）
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
根据“质数的因数只有两个：它本身和1；而合数：至少有3个因数”进而判断即可．
解答：
解：质数不管有多大，都只有1和自身共2个因数，如：101只有1个101两个因数；而合数不管有多小，至少有3个因数，如：4有1、2和4共三个因数；故答案为：错误．
点评：
此题应根据质数和合数的含义进行分析、解答．
8．18的因数有6个，18的倍数有无数个． 正确 ．（判断对错）
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，列举出18的所有因数；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；据此判断即可．
解答：
解：由分析知，18的因数有：1、2、3、6、9、18，共6个；18的倍数有：18、36、54、…，无数个；故答案为：正确．
点评：
此题考查了找一个数的因数和倍数的方法，应熟练掌握其方法，并能灵活运用．
9．12是8的 1.5 倍．
考点：
因数和倍数的意义；整数的除法及应用．
分析：
根据求一个数是另一个数的几倍，用除法解答即可．
解答：
解：12÷8=1.5；答：12是8的1.5倍．故答案为：1.5
点评：
此题属于求一个数是另一个数的几倍，用除法解答．
10．如果t能被s整除，那么t是s的倍数． 正确 ．
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进而判断即可．
解答：
解：根据因数和倍数的意义可知：如果t能被s整除，那么t是s的倍数；故答案为：正确．
点评：
此题考查了因数和倍数的意义．
11．一个数各个数位上的数字加起来的和是9的倍数，那么这个数也是 9 的倍数．
如果要让□729成为3的倍数，那么□里可以填 3、6、9 ．
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
（1）设这个三位数是abc，a+b+c是9的倍数，则100a+10b+c=99a+9b+（a+b+c），99a，9b，（a+b+c）三个数字都能被9整除，所以他们的和，也就是100a+10b+c能被9整除，所以一定是9的倍数；（2）根据能被3整除的数的特征：该数各个数位上数的和能被3整除；进行分析即可．
解答：
解：（1）设这个三位数是abc，a+b+c是9的倍数，则100a+10b+c=99a+9b+（a+b+c），99a，9b，（a+b+c）三个数字都能被9整除，所以他们的和，一定是9的倍数；（2）因为7+2+9=18，一个数的最高位不能是0，所以排除0；18+3=21，18+6=24，18+9=27，21、24、27都能被3整除，所以□可以填：3、6、9；故答案为：9，3、6、9．
点评：
此题考查了能被9和3整除的数的特征，应注意灵活运用．
12．一个数和既是8的倍数，又是40的因数，这个数最大可能是 40 ，最小可能是 8 ．
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
根据“一个数的最大的因数是它本身”可得：这个数最大是40，；根据“一个数最小的倍数是它本身”可得：这个数最小是8．
解答：
解：由分析知：一个数和既是8的倍数，又是40的因数，这个数最大可能是40，最小可能是8；故答案为：40，8．
点评：
解答此题根据因数和倍数的意义进行解答．
13．一个非零自然数的因数一定小于它的倍数． 错误 ．（判断对错）
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
根据“一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的因数的个数是有限的”进行判断即可．
解答：
解：一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身；即一个非0自然数的最大因数等于它的最小倍数；故答案为：错误．
点评：
解答此题应明确：一个非0自然数的最大因数等于它的最小倍数．
14．甲数除以乙数，商是15，那么甲数一定是乙数的倍数． × ．
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
在整数范围内，甲数÷乙数=15，我们说甲数是乙数的倍数；如果是小数，则不能．
解答：
解：由分析知：只能说在整数范围内，甲数是乙数的15倍，即甲数是乙数的倍数；如果甲数、乙数是小数，如4.5÷0.3=15，则不能说甲数是乙数的倍数；故答案为：×．
点评：
解答此题应因数和倍数的意义进行分析．
15．一个数的因数中只有1和它本身，这个数一定是质数． 正确 ．（判断对错）
考点：
因数和倍数的意义；合数与质数．
分析：
根据质数的意义可知，一个数的因数中只有1和它本身，这个数一定是质数．
解答：
解：一个数的因数中只有1和它本身，这个数一定是质数，正确．故答案为：正确．
点评：
此题考查质数与合数的意义．
16．偶数的因数一定比奇数的因数多． × ．
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据奇数与偶数的意义：是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数；再根据整除的意义，举例说明即可．
解答：
解：4的因数有：1、2、4；15的因数有：1、3、5、15；所以偶数的因数一定比奇数的因数多，是错误的；故答案为：×．
点评：
题考查的目的是使学生理解奇数与偶数、因数与倍数的意义，是两个完全不同的概念．
17．27的因数有 1，3，9，27 ，这些因数中， 9，27 既是奇数，又是合数．一个两位数是5的倍数，各个数位上数字的和是8，这个两位数是 35 或 80 ．
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
（1）根据求一个数因数的方法和奇数与合数的意义进行解答即可；（2）根据能被2、5整除的数的特征，可以得出：该两位数的个位是0或5；进而根据能被3整除的数的特征：即该数各个数位上数的和能被3整除，得出：十位上的数是8或3；继而得出结论．
解答：
解：（1）27的因数有：1，3，9，27；其中9、27既是奇数，又是合数；（2）个两位数是5的倍数，各个数位上数字的和是8，这个两位数是35或80；故答案为：1、3、9、27，9、27，35，80．
点评：
解答此题的关键：（1）根据求一个数因数的方法和奇数与合数的意义进行解答即可；（2）先根据能同时被2、5整除的数的特征，判断出个位数，进而根据能被3整除的数的特征，推断出十位上的数，继而得出结论．
18．（泗县模拟）任何自然数都有2个因数． 错误 ．（判断对错）
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
我们在研究因数和倍数的时候，所说的数是指非0自然数，0也属于自然数，不能说它有两个因数，再就是1，它只有一个因数，就是它本身1；据此判断．
解答：
解：任何自然数都有两个因数．错误；因为1只有1个因数，0不能说它有几个因数；故答案为：错误
点评：
本题主要是考查因数和倍数的意义．
19．70正好是3.5的倍数． 错误 ．
考点：
因数和倍数的意义．
分析：
根据因数和倍数的意义：整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而且没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a；根据“在研究因数和倍数时，所说的数一般指不是零的自然数”进行解答即可．
解答：
解：70正好是3.5的倍数，说法错误．故答案为：错误．
点评：
此题考查了因数和倍数的意义：应明确在研究因数和倍数时，所说的数一般指不是零的自然数．
20．一个数的因数不一定比它的倍数小． √ ．（判断对错）
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据一个数的最大的因数和最小的倍数都是它本身判断即可．
解答：
解：一个数的最大的因数和最小的倍数都是它本身，所以一个数的因数不一定比它的倍数小，有可能相等，所以一个数的因数不一定比它的倍数小，正确．故答案为：√．
点评：
解答此题要明确一个数的最大的因数和最小的倍数都是它本身．
21．因为5×9=45，或者45÷9=5，可以看出 5 和 9 都是 45 的因数； 45 是 5 和 9 的倍数．
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据因数与倍数的意义，因为5×9=45，或者45÷9=5，可以看出5和9都是45的因数，45是5和9的倍数．据此解答．
解答：
解：因为5×9=45，或者45÷9=5，可以看出5和9都是45的因数，45是5和9的倍数．故答案为：5、9、45；45、5、9．
点评：
此题考查的目的是理解掌握因数与倍数的意义．
22．任何整数，必定都有两个约数． × ．
（判断对错）
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
一般的一个非0的自然数，都至少有1和它本身这两个约数，但是1是特例，因为它本身就是1，只有1一个约数；由此判断即可．
解答：
解：1只有一个约数，整数0没有约数，故任何整数，必定都有两个约数，说法错误．故答案为：×．
点评：
考查了找一个数的因数的方法，根据题意进行分析，找出反例，进而得出结论．
23．17有 2 个因数，17是 质 数；24的全部因数有 1、2、3、4、6、8、12、24 ，所以24是 合 数．（填质或合）
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据质数和合数的定义解答即可，求24的合数时首先将24分解质因数．
解答：
解：17=1×17，所以17是质数．24=2×2×2×3，所以24的全部因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，所以24是合数．故答案为：2，质，1、2、3、4、6、8、12、24，合．
点评：
此题主要考查了学生对质数、合数定义的理解以及求一个合数的因数的方法掌握的熟练程度．
24．在算式4×19=76中 76 是 19和4 的倍数 4和19 是 76 的因数．
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．
解答：
解：因为4×19=76，则：76÷4=19，76÷19=4，即76是19和4的倍数，4和19是76的因数；故答案为：76，19和4；4和19，76．
点评：
此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数的意义，注意基础知识的理解．
25．认真思考，对号入座
（1）在26、12和13这三个数中， 26 是 13 的倍数， 13 是 26 的因数， 12 和 13 是互质数．
（2）一个数，千位上是最小的质数，百位上是最小的奇数，个位是最小的合数，其余数位上的数字是0，这个数写作 2104 ．
考点：
因数和倍数的意义；合数与质数．
专题：
数的整除．
分析：
①根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；可知因数和倍数是相对而言，不能单独存在；相邻的两个自然数是一组互质数，进而填空即可．②在自然数中，除了是和它本身外，没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数．由此可知，最小的质数是2，最小的合数是4．又自然数中，不能被2整除的数为奇数，则最小的奇数的数是1．据此完成．
解答：
解：①因为26÷13=2，所以26是13的倍数，13是26的因数，12与13是一对互质数．②最小的质数是2，最小的合数是4，最小的奇数的数是1．所以这个数是2104．故答案为：26，13，13，26，12，13，2104．
点评：
①此题考查了因数和倍数的意义，应注意灵活运用．②明确质数、合数、奇数的意义并由此确定各位上的数是完成本题的关键．
26．10、10和5这两个数，5是10的 因 数，10是5的 倍 数．
11、1021至少加上一个整数 2 ，就能被3整除．
考点：
因数和倍数的意义；2、3、5的倍数特征．
专题：
数的整除．
分析：
①根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；由此解答即可．②根据能被3整除的数的特征：即该数各个数位上数的和能被3整除；进行解答即可．
解答：
解：①10÷5=2，所以5是10的因数，10是5的倍数．②1+0+2+1=4，因为4+2=6，6能被3整除，所以至少加上2；故答案为：因，倍，2．
点评：
①解答此题的关键：应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在．②解答此题的关键是：根据能被3整除的数的特征，进行解答．
C档（跨越导练）
一．选择题（共5小题）
1．（静宁县）一个合数至少有（ ）个约数．
A．
1
B．
2
C．
3
考点：
因数和倍数的意义；合数与质数．
分析：
根据合数的概念即可解答．
解答：
解：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；由此一个合数至少有3个约数．答：一个合数至少有3个约数．故选C．
点评：
此题考查的目的是理解和掌握合数的概念和内涵，据此解决有关的问题．
2．下列说法正确的是（ ）
A．
因为4÷2=2，所以4是倍数，2是因数
B．
一个正整数没有最大的倍数
C．
偶数都是合数，奇数都是素数
D．
两个整数的积一定是这两个数的最小公倍数
考点：
因数和倍数的意义；奇数与偶数的初步认识；公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论．
解答：
解：A、因为4÷2=2，所以4是2的倍数，2是4的因数，所以A说法错误；B、因为一个数的倍数的个数是无限的，所以一个正整数没有最大的倍数，说法正确；C、偶数都是合数，奇数都是素数，说法错误，如2是偶数，也是质数；D、两个整数的积一定是这两个数的最小公倍数，说法错误，如2和4，2和4的积是8，最小公倍数是4；故选：B．
点评：
此题涉及的知识点较多，但都比较简单，属于基础题，只要认真，容易完成，注意平时基础知识的积累．
3．数m能被数n整除，m是n的（ ）
A．
倍数
B．
约数
C．
公倍数
D．
公约数
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
如果a能被b（0除外）整除，我们就说a是b的倍数，b是a的约数．
解答：
解：数m能被数n整除，m是n的倍数；故选：A．
点评：
此题考查了倍数与约数的关系．
4．下面各组数中，第一个数是第二个数的倍数的数是（ ）
A．
18和8
B．
51和17
C．
65和15
D．
3和69
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此解答即可．
解答：
解：A、因为18÷8=2.25，2.25是小数，所以18和8不是倍数关系；B、因为：51÷17=3，所以51是17的倍数，符合题意；C、因为65÷15=4.333…，4.333…是小数，所以65和15不是倍数关系；D、因为69÷3=23，所以第二个数是第一个数的倍数，不合题意；故选：B．
点评：
解答此题的关键：根据因数和倍数的意义进行解答．
5．a、b、c、d是不同的质数．甲数=a×b×c，乙数=a×b×c×d，则（ ）
A．
甲是乙的倍数
B．
乙是甲的倍数
C．
甲是乙的因数
D．
乙是甲的因数
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．
解答：
解：a、b、c、d是不同的质数．甲数=a×b×c，乙数=a×b×c×d，则乙数÷甲数=d，即乙数是甲数的倍数，甲数是乙数的因数；故选：B．
点评：
此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数的意义，注意基础知识的理解．
二．填空题（共13小题）
6．我们只在 自然数 （零除外）的范围内研究倍数和因数．
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；为了方便，我们在研究因数和倍数时，所说的数一般指不是零的自然数；据此解答．
解答：
解：我们只在自然数（零除外）的范围内研究倍数和因数．故答案为：自然数．
点评：
此题考查了因数和倍数的意义，应明确倍数和因数是相对的，一个不能独立存在．应注意在研究因数和倍数时，所说的数一般指非零的自然数．
7．0532﹣A
B
C
D
E
F
G
H
提示：A﹣﹣5的最小倍数；
B﹣﹣最小的自然数；
C﹣﹣5的最大因数；
D﹣﹣它既是4的倍数，又是4的因数；
E﹣﹣它的所有因数是1，2，3，6；
F﹣﹣它的所有因数是1，3；
G﹣﹣它只有一个因数；
H﹣﹣它的2倍是4．
这个号码就是 0532﹣50546312 ．
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
由题意得：A﹣5的最小倍数，一个数的最下倍数是它本身，所以A是5；因为最小的自然数是0，所以B﹣最小的自然数，则说明B是0；因为一个数的最大因数是它本身，所以C﹣5的最大因数，则C是5；因为一个数本身既是自己的最小倍数，又是自己的最大因数，所以D﹣它既是4的倍数，又是4的因数，说明D是4；因为E﹣它的所有因数是1，2，3，6，所以这E个数是6；因为F﹣它的所有因数是1，3，所以F是3；因为只有1既是自己的倍数，也是自己的因数，而且只有一个因数1，只有G﹣它只有一个因数，说明G是1．H﹣它的2倍是4，所以H是2；由此即可推出这个号码．
解答：
解：由分析可知：A是5，B是0，C是5，D是4，E是6，F是3，G是1，H是2，所以这个号码是0532﹣50546312；故答案为：0532﹣50546312．
点评：
此题考查的知识点较多，应注意平时一些基础概念的掌握和理解，能根据实际生活，灵活运用．
8．在等式24=4×6=2×2×2×3中，4和6是24的 C ，2和3是24的 D
A．素数
B．合数
C．因数
D．素因数．
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；由此可知：4和6是24的因数；因为2和3都是质数，所以2和3是24的质因数；据此解答．
解答：
解：因为24=4×6=2×2×2×3，所以24÷4=6，所以4和6是24的因数；因为2和3都是质数，所以2和3是24的质因数．故选：C，D．
点评：
解答此题的关键是：明确因数和倍数的意义和质数的含义．
9．谁说得对？对的在□里打“√”．
考点：
因数和倍数的意义；找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
因为36÷9=4，所以36是4和9的倍数，4和9是36的因数，所以第一个说法错误；因为一个数的倍数的个数是无限的，所以12的倍数只有24、36、48说法错误；因为57÷3=19，所以57是3的倍数，说法正确；因为1是任何非0自然数的因数，所以1是1、2、3、…的因数，说法正确；据此判断．
解答：
解：
点评：
此题应根据因数和倍数的意义进行分析、解答，应明确一个数的因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的．
10．在11÷5，10÷3，42÷14中， 42 能被 14 整除， 14 叫做 42 的因数， 42 叫做 14 的倍数．
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．
解答：
解：在11÷5，10÷3，42÷14中，只有14能被42整除，即：42÷14=3，所以14是42的因数，42是14的倍数．故答案为：42，14，14，42，42，14．
点评：
此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数的意义，注意基础知识的理解．
11．在1，2，5，12中， 12 是 1、2 的倍数， 1、2 是 12 的因数，素数有 2、5 ．合数有 12 ，奇数有 1、5 ，偶数有 2、12 ．
考点：
因数和倍数的意义；奇数与偶数的初步认识．
专题：
数的整除．
分析：
质数：一个大于0的自然数，除了1和它本身外，再没有其它的因数；合数：一个大于0的自然数，除了1和它本身外，还有其它的因数；偶数：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数；如果一个数能被另一个数整除，就说一个数是另一个数的倍数，另一个数是一个数的因数，据这些定义解答即可．
解答：
解：在1，2，5，12中，12是1、2的倍数，1、2是12的因数，素数有2、5．合数有12，奇数有1、5，偶数有2、12；故答案为：12，1、2，1、2，12，2、5，12，1、5，2、12．
点评：
此题考查整除、质数、合数、奇数、偶数的意义及运用．
12．在3、1.5、12、0.9、21中，
（1） 12和21 是 3 的倍数．
（2） 3 是 12和21 的因数．
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；即因数和倍数是相对而说的，不能单独存在．
解答：
解：在3、1.5、12、0.9、21中，12÷3=4，21÷3=7，所以12和21是3的倍数，3是12和21的因数；故答案为：12和21，3；3，12和21．
点评：
明确因数和倍数的意义，是解答此题的关键．
13．a、b、c、d是不同的质数．甲数=cba?，乙数=dcba，则 B、D
A．甲是乙的倍数
B．乙是甲的倍数
C．甲是乙的因数
D．乙是甲的因数．
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据题意，得乙数÷甲数=dcba÷cba=d≠1，所以乙是甲的倍数，甲是乙的因数．
解答：
解：根据题意，得乙数÷甲数=dcba÷cba=d≠1，所以乙是甲的倍数，甲是乙的因数．故答案为：B、D．
点评：
此题主要考查了学生对因数、倍数定义的理解以及判断一个数是另一个数的因数、倍数的方法．
14．在26、12和13这三个数中， 26 是 13 的倍数， 13 是 26 的因数， 12 和 13 是互质数．
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据因数和倍数的关系：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；根据互质数的含义：公因数只有1的两个数，是互质数；由此解答即可．
解答：
解：因为26÷13=2，所以26是13的倍数，13是26的因数；12和13是互质数；故答案为：26，13，13，26，12，13．
点评：
此题考查了因数和倍数的意义，应注意基础知识的积累；用到的知识点：互质数的含义．
15．10、10和5这两个数，5是10的 因 数，10是5的 倍 数．
11、1021至少加上一个整数 2 ，就能被3整除．
考点：
因数和倍数的意义；2、3、5的倍数特征．
专题：
数的整除．
分析：
①根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；由此解答即可．②根据能被3整除的数的特征：即该数各个数位上数的和能被3整除；进行解答即可．
解答：
解：①10÷5=2，所以5是10的因数，10是5的倍数．②1+0+2+1=4，因为4+2=6，6能被3整除，所以至少加上2；故答案为：因，倍，2．
点评：
①解答此题的关键：应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在．②解答此题的关键是：根据能被3整除的数的特征，进行解答．
16．a、b、c
是三个不同的自然数，在a÷b=c中， B、C
A．c一定是a和b的倍数
B．a一定是c和b的倍数
C．c和b一定是a的因数．
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．
解答：
解：a、b、c
是三个不同的自然数，在a÷b=c中，则a一定是c和b的倍数，c和b一定是a的因数；故答案为：B、C．
点评：
此题考查了因数和倍数的意义，应注意基础知识的积累．
17．一个数的最大因数是36，这个数是 36 ．
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，所以这个数是36，据此解答即可．
解答：
解：一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身，所以一个数的最大因数是36，这个数是36．故答案为：36．
点评：
此题考查的目的是理解因数的意义，掌握求一个数的因数的方法．
18．认真思考，对号入座
（1）在26、12和13这三个数中， 26 是 13 的倍数， 13 是 26 的因数， 12 和 13 是互质数．
（2）一个数，千位上是最小的质数，百位上是最小的奇数，个位是最小的合数，其余数位上的数字是0，这个数写作 2104 ．
考点：
因数和倍数的意义；合数与质数．
专题：
数的整除．
分析：
①根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；可知因数和倍数是相对而言，不能单独存在；相邻的两个自然数是一组互质数，进而填空即可．②在自然数中，除了是和它本身外，没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数．由此可知，最小的质数是2，最小的合数是4．又自然数中，不能被2整除的数为奇数，则最小的奇数的数是1．据此完成．
解答：
解：①因为26÷13=2，所以26是13的倍数，13是26的因数，12与13是一对互质数．②最小的质数是2，最小的合数是4，最小的奇数的数是1．所以这个数是2104．故答案为：26，13，13，26，12，13，2104．
点评：
①此题考查了因数和倍数的意义，应注意灵活运用．②明确质数、合数、奇数的意义并由此确定各位上的数是完成本题的关键．
三．解答题（共12小题）
19．如果3→12表示3是12的因数，请你用→表示下图中其它各数间的关系．
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据因数和倍数的意义，并结合题意可知：4是36的因数，4是24的因数，4是8的因数，8是24的因数，8是96的因数，24是96的因数；进而用箭头画出即可．
解答：
解：4是36的因数，4是24的因数，4是8的因数，8是24的因数，8是96的因数，24是96的因数；进而用箭头画出，如下图：
点评：
此题应根据因数和倍数的意义进行分析、解答．
20．一个数的最大因数和最小倍数相加等于62，这个数是多少？
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据：一个数的最大因数和最小倍数是它本身，计算出这个数．
解答：
解：因为一个数的最大因数和最小倍数是它本身，所以这个数是：62÷2=31．答：这个数是31．
点评：
此题主要考查一个数的最大因数和最小倍数是它本身．
21．将下面各组题中左右两边的问题与结果相对应的，用线连起来：
考点：
因数和倍数的意义；合数与质数．
专题：
数的整除．
分析：
①再35=5×7中，因为5和7都是质数，所以5和7是35的质因数；②在6×8=48中，6和8都是48的因数；③根据质数、合数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数．据此解答．
解答：
解：
点评：
此题考查的目的是理解掌握因数与倍数、质数、质因数的意义
22．写出自己所在班级学生的总人数、女生人数、男生人数各是多少．并分别写出它们的因数．
考点：
因数和倍数的意义；找一个数的因数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身．根据本班学生人数，找出它的因数即可．
解答：
解：我班有学生48人，其中女生有23人，男生有25人，48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；23的因数有：1、23；25的因数有：1、5、25；
点评：
此题考查的目的是理解因数的意义，掌握找一个数的因数的方法．明确：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身．
23．（1）一个数是18的倍数，又是18的因数，这个数是多少？
（2）一个数既是48的因数，又是8的倍数，这个数可能是多少？
（3）一个数既是48的因数，又是8的倍数，同时还是3的倍数？这个数是多少？
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
（1）一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；（2）求这个数是多少，根据找一个数倍数的方法，列举出8的倍数，根据找一个数因数的方法，列举出48的因数，进而求出这个数；（3）求这个数，即求是3和8的公倍数，同时是48的因数，这个数是24或48；由此解答即可．
解答：
解：（1））一个数是18的倍数，又是18的因数，这个数是18；（2）一个数既是48的因数，又是8的倍数，这个数可能是8、16、24、48；（3）一个数既是48的因数，又是8的倍数，同时还是3的倍数，这个数是24或48．
点评：
明确因数和倍数的意义及找一个数因数和倍数的方法，是解答此题的关键．
24．下面的说法分别错在什么地方？请订正．
（1）15是倍数，3是约数．
（2）因为105=3×5×7，所以3，5和7都是质因数．
（3）能被2除尽的数叫偶数．
（4）互质数是没有公约数的数．
（5）求15、30、20的最小公倍数．
〔15，30，20〕=15×2×10=300．
考点：
因数和倍数的意义；奇数与偶数的初步认识；求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论．
解答：
解：（1）根据因数和倍数的意义可知：15是3的倍数，3是15的约数，所以15是倍数，3是约数，说法错误；（2）因为105=3×5×7，所以3，5和7都是质因数，说法错误，应改为：3，5和7都是105的质因数；（3）能被2除尽的数叫偶数，说法错误，改为：自然数中，是2的倍数的数，是偶数；（4）互质数是没有公约数的数，说法错误，互质数是公因数只有1的两个数；（5）求15、30、20的最小公倍数．〔15，30，20〕=2×2×3×5=60．
点评：
此题涉及的知识点较多，但比较简单，只要认真，容易解决，注意平时基础知识的积累．
25．图中12→4表示12是4的倍数，用“→”表示下面两组数之间的关系．
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．
解答：
解：
点评：
此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数的意义，注意基础知识的理解．
26．猜猜我是谁？
考点：
因数和倍数的意义；2、3、5的倍数特征．
专题：
数的整除．
分析：
根据求一个数的因数列举出42的因数，根据求一个数倍数的方法，列举出7的倍数，然后得出结论；根据能被2、3整除的数的特征，可知：这个数同时还是6的倍数；由此可知：这个数是6、7的最小公倍数；据此解答．
解答：
解：这个数可能是7、14、21、42；这个数是42；故答案为：7、14、21、42；42．
点评：
此题考查了找一个数因数的方法及能被2、3整除的数的特征．
27．你能照样子说一说生活中的倍数吗？
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．
解答：
解：如：我有20元钱，是4和5的倍数；我买了8本故事数，买了4本科技书，故事数是科技书的2倍．
点评：
此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在．
28．猜电话号码ABCDEFG．
提示：A﹣﹣8的最小倍数
B﹣﹣最小的自然数
C﹣﹣5的最大因数
D﹣﹣既是4的倍数，又是4的因数
E﹣﹣所有因数是1，2，3，6
F﹣﹣比最小的质数大5
G﹣﹣只有一个因数
这个电话号码就是 8054671 ．
考点：
因数和倍数的意义；找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
A是8的最小倍数，因为8的最小倍数是8，所以A是8；B是最小的自然数，最小的自然数是0，所以B是0；C是5的最大因数，因数5的最大因数是5，所以C是5；D既是4的倍数，又是4的因数，所以D是4；E所有因数是1，2，3，6，所以E是6；F比最小的质数大5，因为最小的质数是2，所以F是7；G只有一个因数，所以G是1；由此得出这个电话号码．
解答：
解：由分析可知：A是8，B是0，C是5，D是4，E是6，F是7，G是1，所以这个电话号码是：8054671．故答案为：8054671．
点评：
此题主要考查根据因数、倍数和自然数的意义灵活解决问题．
29．小狗和小猫
小狗和小猫要比赛谁跳得快，小狗对小猫说：“我比你跳得远，我一跳就是三米远，你跳一次只有两米．”小猫不服气地说：“我动作快，你跳两次的时间，我可能跳三次．”
兔子听到他们的争论就说：“用不着争论，你们俩比一比，就知道谁快谁慢了．来，我给你们当裁判．”兔子选了两棵树，树的距离是99米．
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
约数倍数应用题．
分析：
因为小狗跳2次的时间能跳6米，小猫这时候也跳了3次也是6米，99÷6=16…3，也就是跳到96米的时候小猫小狗在相同时间到了相同位置96米，所以小狗再跳一下就到达了．
解答：
解：因为小狗跳2次的时间能跳6米，小猫这时候也跳了3次也是6米，99÷6=16…3，也就是跳到96米的时候小猫小狗在相同时间到了相同位置96米，所以小狗再跳一下就到达了；所以小狗先到．
点评：
解答本题的关键是跳到96米时所用的时间相同，由此解决问题．
30．如果“3→15”表示3是15的因数．请你用“→”表示下图中各数之间的关系．
考点：
因数和倍数的意义．
专题：
数的整除．
分析：
根据因数和倍数的意义，并结合题意可知：6是24的因数，3是24的因数，8是24的因数3，3是6的因数；进而用箭头画出即可．
解答：
解：6是24的因数，3是24的因数，8是24的因数，3是6的因数；进而用箭头画出：
点评：
此题根据因数与倍数的关系进行解答即可．
成长足迹
课后检测
学习（课程）顾问签字：
负责人签字：
教学主管签字：
主管签字时间：
耐心
细心
责任心
