4.5 相似三角形判定定理的证明 同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
初中数学北师大版九年级上学期 第四章 4.5 相似三角形判定定理的证明
单选题
1.如图，在 中， ，四边形 的面积为21，则 的面积是（??? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?25????????????????????????????????????????C.?35????????????????????????????????????????D.?63
2.如图，正方形ABCD中，点E为BC右侧一点，∠AEC=90°，作DF⊥AE于点F，若CE=AF=2则正方形的面积为（??? ） 【来源：21·世纪·教育·网】
A.?16?????????????????????????????????????????B.?18?????????????????????????????????????????C.?20?????????????????????????????????????????D.?25
3.如图，点D，E分别_??????ABCè??_AB，AC上的一点，且DE∥BC，S△ADE＝4，S四边形DBCE＝5，则△ADE与△ABC相似比为（? ） 21·世纪*教育网
A.?5：9???????????????????????????????????B.?4：9???????????????????????????????????C.?16：81???????????????????????????????????D.?2：3
4.如图，在三角形ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，AM＝ AB，AN＝ AC，则三角形AMN的面积与四边形MBCN的面积比（??? ） 21*cnjy*com
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
5.“今有井径五尺，不_???????·±?????????_尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（?? ）
A.?1.25尺????????????????????????????????B.?56.5尺????????????????????????????????C.?6.25尺????????????????????????????????D.?57.5尺
6.如右图，矩形EFGH内_?????????ABC_，且边FG落在BC上，如果AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF：EH=2：3，那么EH的长为（?? ） 【版权所有：21教育】
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
二、填空题
7.如图，在 中，D是 中点， ，若 的周长为6，则 的周长为________.
?
8.如图，点C在 的内部， ， 与 互补，若 ， ，则 ________．
9.如图，在 中，已知 ， ，垂足为D， .若 是 的中点，则 ________. 21*cnjy*com
10.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ ，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝________.
11.如图所示，设G是△ABC的重心，过G的直线分别交AB，AC于点P，Q两点，则 =________.
12.如图，点D是△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠B，并且 ，那么 ________． 2-1-c-n-j-y
三、解答题
13.已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6.求证：△ADE∽△ACB．
四、综合题
14.已知，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．
15.如图，在△AB_C??????AB???_AC ， AD是边BC上的中线，BE⊥AC于点E ， 交AD于点H过点C作CF∥AB交BE的延长线于点F ． 21·cn·jy·com
（1）求证：△ABH∽△BFC；
（2）求证：BH2＝HE?HF；
（3）若AB＝2，∠BAC＝45°，求BH的长．
答案解析部分
一、单选题
1.答案： B
解析：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：B ．
【分析】在 中， ，即可判断 ，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．
2.答案： C
解析：设AE和BC交于点M，

∵正方形ABCD，
∴设AD=AB=BC=x，∠DAF+∠MAB=90°，∠B=90°???
∵DF⊥AE
∴∠MAB+∠AMB=90°，∠B=∠DFA=90°
∴∠AMB=∠DAF
∴△DFA∽△ABM
∴即
解之：
同理可证△DFA∽△CEM
∴即
解之：
∵CM+BM=BC
∴
解之：x2=20
经检验x2=20是原方程的根.
∴正方形的面积为20.
故答案为：C. 2·1·c·n·j·y
【分析】设A_E???BC??¤???_点M，利用正方形的性质可知设AD=AB=BC=x，∠DAF+∠MAB=90°，∠B=90° ；再证明∠AMB=∠DAF，∠B=∠DFA，由此可证得△DFA∽△ABM，利用相似三角形的对应边成比例可表示出BM的长，同理可证△DFA∽△CEM，利用相似三角形的性质可表示出CM的长；然后根据CM+BM=BC，建立关于x的方程，解方程求出x2即可。【出处：21教育名师】
3.答案： D
解析：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∴ ，
即△ADE与△ABC相似比为2：3．
故答案为：D．
【分析】先说明△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求解即可．
4.答案： B
解析：∵AM＝ AB，AN＝ AC，∠MAN＝∠BAC，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴△MAN∽△BAC，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴三角形AMN的面积与四边形MBCN的面积比为1：15，
故答案为：B．
【分析】根据AM＝ AB，AN＝ AC，∠MAN＝∠BAC，可以得到△MAN∽△BAC，然后相似三角形的面积之比等于相似比的平方，从而可以得到△AMN和△ABC的面积之比，然后即可得到三角形AMN的面积与四边形MBCN的面积比，本题得以解决．21教育名师原创作品
5.答案： D
解析：依题意有△ABF∽△ADE，
∴AB:AD=BF:DE，
即5:AD=0.4:5，
解得AD=62.5，
BD=AD?AB=62.5?5=57.5尺.
故答案为：D.
【分析】根据平行与三角形一边_?????????(?????¤_边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似可得△ABF∽△ADE，于是可得比例式AB:AD=BF:DE求得AD的值，再根据BD=AD?AB可求解.
6.答案： B
解析：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH//BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴
设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD-EF=2-2x，
∴
解得：x= ，
则EH=3x= ．
故答案为B．
【分析】设EH=3x_??????EF=2_x，△AEH的边EH上的高为AM=AD-EF，再由三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，进而求得EH的长．
二、填空题
7.答案： 12
解析：∵ ，
∴ ，
又∵D是 中点，
∴ ，即 与 的相似比为1:2，
∴ 与 的周长比为1:2，
∵ 的周长为6，
∴ 的周长为12，
故答案为：12.
【分析】由 ，可知 ，再由D是 中点，可得到相似比，即可求出 的周长.
8.答案：
解析：∵∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补，
∴∠OCA＋∠AOB＝180°，∠OCB＋∠AOB＝180°，
∵∠OCA＋∠COA＋∠OAC＝180°，∠OCB＋∠OBC＋∠COB＝180°，
∴∠AOB＝∠COA＋∠OAC，∠AOB＝∠OBC＋∠COB，
∴∠AOC＝∠OBC，∠COB＝∠OAC，
∴△ACO∽△OCB，
∴ ，
∴OC2＝2× ＝3，
∴OC＝ ，
故答案为： ．
【分析】通过证明△ACO∽△OCB，可得 ，可求出OC．
9.答案： 1
解析：
为 的中点，
，
∴ ，
，
故答案为：1.
【分析】根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”证明△ADB∽△EDC，得 ，由AB=2则可求出结论.21cnjy.com
10.答案：
解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵E为CD的中点，
∴DE＝ CD＝ AB，
∴△ABP∽△EDP，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△DBC，
∴ ＝ ＝ ，
∵CD＝2，
∴PQ＝ ，
故答案为： .
【分析】根据矩形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，根据线段中点的定义得到DE＝ CD＝ AB，易得△BPQ∽△DBC，根据相似三角形的性质可得比例式求解.21教育网
11.答案： 1
解析：过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交直线PQ于点E，F

∴四边形BEFC是梯形
∵G是重心，
∴点D是BC的中点，点G是EF的中点，AG=2DG，???
∴DG是梯形BEFC的中位线
∴BE+CF=2DG
∵BE∥AD，CF∥AD
∴

故答案为：1.
【分析】 过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交直线PQ于点E，F，易证四边形BEFC是梯形，再利用重心的定义及性质，可得点D是BC的中点，点G是EF的中点，AG=2DG，利用梯形的中位线定理可得到BE+CF=2DG，利用平行线分线段成比例定理可求出的值。www.21-cn-jy.com
12.答案：
解析：在△ACD与△ABC中，
∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴
∴AD= ,AB= AC
∴BD=AB-AD=
∴ ∶ =1∶2
故答案为1∶2．
【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ACD∽△ABC的关系，最后根据相似三角形的性质和线段的和差即可解答．21世纪教育网版权所有
三、解答题
13.答案： 证明：∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6，
∴ ＝ ＝ ，
又∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB.
解析：根据已知的线段长度知 ＝ ，又∠DAE＝∠CAB可得△ADE∽△ACB.
四、综合题
14.答案： （1）证明：∵AB=2，BC=4，BD=1
∴AB：CB=BD：BA
∵∠ABD=∠CBA
∴△ABD∽△CBA；
（2）解：∵DE∥AB
∴△CDE∽△CBA
∴△ABD∽△CDE
∴AB：BD=CD：D
∴2：1=3：DE
∴DE=1.5．
解析：（1_?????¨???ABD_与△CBA中，有∠B=∠B ， 根据已知边的条件，只需证明夹此角的两边对应成比例即可；（2）由（1）知△ABD∽△CBA ， 又DE∥AB ， 易证△CDE∽△CBA ， 则：△ABD∽△CDE ， 然后根据相似三角形的对应边成比例得出DE的长．www-2-1-cnjy-com
15.答案： （1）证明：∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，
∵BE⊥AC，
∴∠BDH＝∠AEH＝90°，
∵∠AHE＝∠BHD，
∴∠DBH＝∠DAC＝∠BAD，
∵CF∥AB，
∴∠ABH＝∠F，
∴△ABH∽△BFC；
（2）证明：连接CH．∵AD⊥BC，BD＝DC，
∴BH＝HC，
∴∠HBC＝∠HCB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABH＝∠ACH，
∵CF∥AB，
∴∠ABH＝∠F，
∴∠HCE＝∠F，
∵∠CHE＝∠CHF，
∴△CHE∽△FHC，
∴ ，
∴HC2＝HE?HF，
∵BH＝HC，
∴BH2＝HE?HF；
（3）解：延长CH交AB于M，由题意CM⊥AB，
∵BE⊥AC，∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°，
∴AE＝AB?cos45°＝2× ＝ ，
∵∠HAM＝∠HAE，∠HMA＝∠HEA，∠AMH＝∠AEH＝90°，
∴△AHM≌△AHE（AAS），
∴AM＝AE＝ ，
∴BM＝AB﹣AM＝2﹣ ，
在Rt△BHM中，BH＝ ＝2 ﹣2．
解析：_???1??????_据两角对应相等两三角形相似证明即可；（2）连接CH ， 首先证明BH＝HC ， 再证明△CHE∽△FHC可得结论；（3）延长CH交AB于M ， 由题意CM⊥AB ． 利用全等三角形的性质证明AM＝AE＝2，求出BM即可解决问题．【来源：21cnj*y.co*m】

_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_