4.7 相似三角形的性质 同步练习（含解析）

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初中数学北师大版九年级上学期 第四章 4.7 相似三角形的性质
一、单选题
1.已知 ，它们的周长分别为30和15，且 ，则 的长为 ??
A.?3???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
2.如图，在正_??????ABCD_中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长于点Q，下列结论正确的有（?????? ）个． www.21-cn-jy.com
①AE⊥BF；??????? ?????②QB＝QF；?? ?③ ；????????? ④SECPG＝3S△BGE【来源：21·世纪·教育·网】
A.?1???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?2
3.若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（??? ）
A.?1：4???????????????????????????????????B.?1：2???????????????????????????????????C.?2：1???????????????????????????????????D.?1：16
4.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为 ，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
5.如图，平行四边形ABCD中，_AB=2???A_D=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（?? ） 2-1-c-n-j-y
A.?EH=HG??????????????????????????????????????????????????????????????B.?四边形EFGH是平行四边形
C.?AC⊥BD?????????????????????????????????????????????????????????????D.?的面积是 的面积的2倍
6.把一个三角形变成和它相似的_???è§???????è??é??_积扩大5倍，则边长扩大 ?????；若边长扩大5倍，则面积扩大????? 。（?? ） 21*cnjy*com
A.?5倍，10倍?????????????????????B.?10倍，25倍?????????????????????C.?倍，25倍?????????????????????D.?25倍，25倍
二、填空题
7.△ABC与△DEF相似，其面积比为1：4，则它们的相似比为________.
8.，其中点 分别与点 对应，如果 ， ，那么 ________．
9.如图，已知△ABC∽△ADB，若AD=2，CD=2，则AB的长为________.

10.如图，在阳光下，身高1．_6m????°???????_在旗杆AB影子的顶端C处，他立即沿CB的方向行走，走了5步，发现自己的影子顶端恰好也在C处，继续走了45步到达旗杆的底端B处，假设每步长度相等，则旗杆AB的高度为________m． 【来源：21cnj*y.co*m】

11.如图，网高为0.8米，击_????????°???????°?_平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为________米. 【出处：21教育名师】
解答题
12.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上，若△ADE∽△CMN，求CM的长．【版权所有：21教育】
13.如图，在△ABC中_???AC???8???_米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
四、作图题
14.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m(m＞1)，点E是AD边上一定点，且AE＝1．
（1）当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．
（2）如图②，当m＝3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．(不写作法，保留作图痕迹) 21*cnjy*com
（3）对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？
答案解析部分
一、单选题
1.答案： A
解析： 和 的周长分别为30和15，
和 的周长比为 ，
，
，即 ，
解得， ，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的性质“相似三角形的周长的比等于相似比”可求解.
2.答案： C
解析：①利用SAS定理，可判定△ABE≌△BCF，所以通过角度换算，可得出∠BGE=90°，
所以AE⊥BF，所以①正确，
②根据折叠的性质，CD∥AB，可得出∠CFB=∠ABF，∠ABF=∠PFB，所以QB=QF,所以②正确，
③AE⊥BF,∠ABE=90°，△BEG∽△ABG∽△AEB，对应边成比例=，
设CE=x，BG=2x，AG=4x，BF=AE=AG+GE=5x,FG=BF-BG=3x，
FG=AG，即， 故③正确，
④△BGE∽△BMC，E是BC的中点,BE-CE,所以△BGE的面积：△BMC=1∶4，所以△BGE的面积：四边形ECMG的面积=1∶3，连接CG，则△PGM的面积=△CGM的面积=2△CGM的面积，所以四边形ECPG的面积：△BGE的面积=5∶1，所以④错误 21教育名师原创作品
故答案为：C
【分析】根据全等三角形、相似三角形的判定和性质，可进行判断。
3.答案： B
解析：∵相似三角形的周长比等于相似比，而面积比等于相似比的平方
∴相似三角形的面积比等于周长比的平方
即相似三角形的周长比是面积比的算术平方根
∵
∴它们的周长比为1:2.
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的性质和算术平方根的定义为求解即可。
4.答案： A
解析：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为 ，∴△ABC与△DEF对应中线的比为 .
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的性质“相似三角形的对应中线的比等于相似比”可求解.
5.答案： B
解析：因为E、H为OA、OD的中点，
所以，EH＝ ＝2，同理，HG＝ ＝1，所以，A不符合题意；
EH∥AD，EH＝ ，
FG∥BC，FG＝ ，
因为平行四边形ABCD中，AD＝BC，且AD∥BC，
所以，EH＝FG，且EH∥FG，
所以，四边形EFGH是平行四边形， B符合题意。
AC与BD不一定垂直，C不符合题意；
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，知：△ABC的面积是△EFO的面积的4倍，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得出结果。
6.答案： C
解析：因为面积扩大了5倍，所以边长扩大了 倍，边长扩大5倍，则面积扩大25倍．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出答案。
二、填空题
7.答案： 1:2
解析：相似三角形的面积比为相似比的平方，所以它们的相似比为1:2
【分析】根据相似三角形的相似比与面积比的关系，可得出相似比。
8.答案： 9
解析：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
故答案为:9．
【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论．
9.答案：
解析：∵△ABC?∽ △ADB ，
∴，
∴AB2＝AD?AC＝2×4＝8，
∵AB＞0，
∴AB＝2，
故答案为2．
【分析】由于 △ABC∽△ADB， 利用相似三角形的性质列比例式即可求解．21世纪教育网版权所有
10.答案： 16
解析：根据题意可知，， 解得，AB=16.
故答案为：16。
【分析】根据题意，利用相似三角形的性质进行作答即可，相似三角形的对应边成比例，即可得到AB的长度。21教育网
11.答案： 1.4
解析：由题意得， ，
解得h＝1.4.
故答案为：1.4.
【分析】根据相似三角形对应边成比例得出， 求解即可。
三、解答题
12.答案： 解：∵正方形ABCD的边长为2，AE=EB，
∴AE= ×2=1，
在Rt△ADE中，DE= = = ，
∵△ADE∽△CMN，∴ = ，
即 = ，解得CM= ．
解析：正方形A_BCD????????±_AE=EB求出AE的长，进而根据勾股定理求出DE的长. 再根据△ADE∽△CMN，对应边成比例列出方程，解出CM的长即可.21cnjy.com
13.答案： 解：设经过x秒，两三角形相似，则CP=AC-AP=8-x，CQ=2x，①当CP与CA是对应边时， ，即 ，解得x=4秒； 21·世纪*教育网
②当CP与BC是对应边时， ，即 ，解得x= 秒；
故经过4或 秒，两个三角形相似.
解析：_???é???????????_设经过x秒△PQC和△ABC相似，先求出CP=8-x，CQ=2x，再利用相似三角形性质对应边成比例列式求解即可得到答案，因为对应边不明确，答案要分两种情况①当CP与CA是对应边时，②当CP与BC是对应边时.www-2-1-cnjy-com
四、作图题
14.答案： （1）解：①当∠AEF＝∠BFC时，
要使△AEF∽△BFC，需 ，即 ，
解得AF＝1或3；
②当∠AEF＝∠BCF时，
要使△AEF∽△BCF，需 ＝ ，即 ，
解得AF＝1；
综上所述AF＝1或3
（2）解：如下图所示，图中F1、F2、F3为所求点；
（3）解：如（2）中所作图形，
当m=4时，由已知条件可得_DE=3??????_CE=5，即图中圆的直径为5，由梯形中位线定理可得此时图中所作圆的圆心到AB的距离=2.5=所作圆的半径，F2和F3重合，即当m=4时，符合条件的F有2个；
当m>4时，图中所作圆和AB相离，此时F2和F3不存在了，即此时符合条件的F只有F11个；
而当1＜m＜4且m≠3时，由所作图形可知，符合条件的F有3个；
综上所述：可得：①当1＜m＜4_???m???3??????_符合条件的F有3个； ②当m＝3时，符合条件的F有2个；③当m＝4时，符合条件的F有2个；④当m＞4时，符合条件的F有1个.21·cn·jy·com
解析：（1）由题意可知，∠A=∠B=90°，由此可知要使△AEF与△BCF相似，存在两种情况：①当∠AEF＝∠BFC时，若 ，则两三角形相似；②当∠AEF＝∠BCF时， 若 ，则两三角形相似；由这两种情况分别根据已知条件进行计算即可得到相应的AF的值；（2）如下图所示：①延长DA到E′，使AE′=AE，连接CE′交AB于点F1；②连接CE，以CE为直径作圆，分别交AB于点F2、F3；则F1、F2、F3为所求点；（3）结合（1）（2）可知，当m=3时，符合条件的点F有2个，当m=4时，符合条件的点F也有2个，而当14时，以CE为直径的圆和AB相离，此时符合条件的点F只有1个.2·1·c·n·j·y
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