5.3.2 等比数列的前n项和
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点)2.理解等比数列前n项和的性质．(易混点)3.会用错位相减法求数列的和．(难点)
1.通过等比数列前n项和公式的学习，培养直观想象的素养.2.借助错位相减法求数列的和的方法，提升数学运算素养.
计算机已经成为现代生活不可缺少的一部分，而且计算机也在不断更新换代，同时，计算机病毒也在不断升级．某种计算机病毒用两分钟就将病毒由一台计算机传给两台，这两台又用两分钟各传给未感染的另外两台计算机，如此继续下去．
问题：如果病毒按照上述方式共传播了30分钟，那么受该病毒感染的计算机共有多少台？
1．等比数列的前n项和公式
思考：等比数列求和应注意什么？
2．等比数列前n项和的性质
若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列．
拓展：若数列{an}是公比为q的等比数列，则
①Sn＋m＝Sn＋qnSm.
②在等比数列中，若项数为2n(n∈N＋)，则＝q.
③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．
( )
(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.
( )
(3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＋)，则此数列一定是等比数列．
( )
(4)求数列{n·2n}的前n项和可用错位相减法．
( )
2．已知正项等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为( )
A．63
B．64
C．127
D．128
3．已知等比数列{an}中，q＝2，n＝5，Sn＝62，则a1＝________.
4．(教材P40练习AT3改编)在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________.
等比数列前n项和公式基本量的运算
【例1】 在等比数列{an}中．
(1)若q＝2，S4＝1，求S8；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5.
1．解答关于等比数列的基本运算问题，通常是利用a1，an，q，n，Sn这五个基本量的关系列方程组求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用a1与q列方程组求解．
2．运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元．
1．在等比数列{an}中，其前n项和为Sn.
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.
等比数列前n项和的性质及应用
【例2】 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
等比数列前n项和的性质是在等比数列的通项公式、前n项和公式及等比数列的性质的基础上推得的，因而利用有关性质可以简化计算，但通项公式、前n项和公式仍是解答等比数列问题的最基本的方法.
2．在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
错位相减法求和
[探究问题]
1．由项数相等的等差数列{n}与等比数列{2n}相应项的积构成新的数列{n·2n}是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？
2．在等式
Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n两边同乘以数列{2n}的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？
【例3】 设数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，数列{bn}的通项公式为bn＝xn－1(x≠0)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝anbn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.
错位相减法的适用范围及注意事项
?1?适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和.
?2?注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出?1－q?Sn的表达式.
②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况.
3.＋＋＋…＋＝________.
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法的方法求解．
1．在公比为整数的等比数列{an}中，a1－a2＝3，a3＝4，则{an}的前5项和为( )
A．10
B.
C．11
D．12
2．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝( )
A．3
B．4
C.
D.
3．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1＝________.
4．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝5n＋k，则实数k＝________.
5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝4，S8＝12，求a21＋a22＋a23＋a24的值．
9/95.3.2 等比数列的前n项和
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点)2.理解等比数列前n项和的性质．(易混点)3.会用错位相减法求数列的和．(难点)
1.通过等比数列前n项和公式的学习，培养直观想象的素养.2.借助错位相减法求数列的和的方法，提升数学运算素养.
计算机已经成为现代生活不可缺少的一部分，而且计算机也在不断更新换代，同时，计算机病毒也在不断升级．某种计算机病毒用两分钟就将病毒由一台计算机传给两台，这两台又用两分钟各传给未感染的另外两台计算机，如此继续下去．
问题：如果病毒按照上述方式共传播了30分钟，那么受该病毒感染的计算机共有多少台？
1．等比数列的前n项和公式
思考：等比数列求和应注意什么？
[提示] 公比q是否等于1.
2．等比数列前n项和的性质
若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列．
拓展：若数列{an}是公比为q的等比数列，则
①Sn＋m＝Sn＋qnSm.
②在等比数列中，若项数为2n(n∈N＋)，则＝q.
③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．
( )
(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.
( )
(3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＋)，则此数列一定是等比数列．
( )
(4)求数列{n·2n}的前n项和可用错位相减法．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．已知正项等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为( )
A．63
B．64
C．127
D．128
C [由题意可知，a5＝a1q4，即q4＝＝16，
又q>0，∴q＝2.
∴S7＝＝127，故选C.]
3．已知等比数列{an}中，q＝2，n＝5，Sn＝62，则a1＝________.
2 [∵q＝2，n＝5，Sn＝62，∴＝62，
即＝62，
∴a1＝2.]
4．(教材P40练习AT3改编)在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________.
3或－4 [∵S3＝＝＝26，∴q2＋q－12＝0，∴q＝3或－4.]
等比数列前n项和公式基本量的运算
【例1】 在等比数列{an}中．
(1)若q＝2，S4＝1，求S8；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5.
[解] (1)法一：设首项为a1，
∵q＝2，S4＝1，
∴＝1，即a1＝，
∴S8＝＝＝17.
法二：∵S4＝＝1，且q＝2，
∴S8＝＝(1＋q4)＝S4·(1＋q4)＝1×(1＋24)＝17.
(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得
即
∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝，即q＝，
∴a1＝8.
∴a4＝a1q3＝8×3＝1，
S5＝＝＝.
1．解答关于等比数列的基本运算问题，通常是利用a1，an，q，n，Sn这五个基本量的关系列方程组求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用a1与q列方程组求解．
2．运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元．
1．在等比数列{an}中，其前n项和为Sn.
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.
[解] (1)由题意知
解得或
从而Sn＝×5n＋1－或
Sn＝.
(2)设{an}的公比为q，由S4＝1，S8＝17知q≠1，
所以
①÷②得＝，
解得q＝±2，
所以或
所以an＝或an＝.
等比数列前n项和的性质及应用
【例2】 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
[证明] 法一：设此等比数列的公比为q，首项为a1，
当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，
∴S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，
Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
当q≠1时，Sn＝(1－qn)，
S2n＝(1－q2n)，
S3n＝(1－q3n)，
∴S＋S＝2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]
＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．
又Sn(S2n＋S3n)＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
法二：根据等比数列性质，有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，
∴S＋S＝S＋[Sn(1＋qn)]2＝S(2＋2qn＋q2n)，
Sn(S2n＋S3n)＝S(2＋2qn＋q2n)．
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
等比数列前n项和的性质是在等比数列的通项公式、前n项和公式及等比数列的性质的基础上推得的，因而利用有关性质可以简化计算，但通项公式、前n项和公式仍是解答等比数列问题的最基本的方法.
2．在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
[解] 法一：因为S2n≠2Sn，所以q≠1，
由已知得
②÷①得1＋qn＝，即qn＝， ③
将③代入①得＝64，
所以S3n＝＝64×＝63.
法二：∵{an}为等比数列，且公比不等于1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
∴S3n＝＋S2n＝＋60＝63.
错位相减法求和
[探究问题]
1．由项数相等的等差数列{n}与等比数列{2n}相应项的积构成新的数列{n·2n}是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？
[提示] 由等差数列及等比数列的定义可知数列{n·2n}既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n项和Sn的表达式为Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.
2．在等式
Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n两边同乘以数列{2n}的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？
[提示] 在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①
两边同乘以{2n}的公比可变形为
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②
②－①得：Sn＝－1·21－22－23－24－…－2n＋n·2n＋1
＝－(21＋22＋23＋…＋2n)＋n·2n＋1.
此时可把求Sn的问题转化为求等比数列{2n}的前n项和问题．我们把这种求由一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}相应项的积构成的数列{anbn}前n项和的方法叫错位相减法．
【例3】 设数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，数列{bn}的通项公式为bn＝xn－1(x≠0)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝anbn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.
[思路点拨] 由an＝完成第(1)问；由题设知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，因此可用错位相减法求Tn.
[解] (1)∵an＝即an＝
当n＝1时，an＝2n也成立，∴an＝2n，即数列{an}的通项公式为an＝2n.
(2)由an＝2n，bn＝xn－1且cn＝anbn可得cn＝2nxn－1，
Tn＝2＋4x＋6x2＋8x3＋…＋2nxn－1，
①
则xTn＝2x＋4x2＋6x3＋8x4＋…＋2nxn.
②
①－②，得(1－x)Tn＝2＋2x＋2x2＋…＋2xn－1－2nxn.
当x≠1时，(1－x)Tn＝2×－2nxn，
∴Tn＝.
当x＝1时，Tn＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.
∴Tn＝
错位相减法的适用范围及注意事项
?1?适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和.
?2?注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出?1－q?Sn的表达式.
②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况.
3.＋＋＋…＋＝________.
[令Sn＝＋＋＋…＋，
①
则Sn＝＋＋＋…＋＋，
②
由①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－
＝－，
得Sn＝2－－＝.]
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法的方法求解．
1．在公比为整数的等比数列{an}中，a1－a2＝3，a3＝4，则{an}的前5项和为( )
A．10
B.
C．11
D．12
C [设公比为q(q∈Z)，则a1－a2＝a1－a1q＝3，a3＝a1q2＝4，求解可得q＝－2，a1＝1，则{an}的前5项和为＝11.]
2．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝( )
A．3
B．4
C.
D.
C [易知等比数列{an}的首项为a1，则＝＝.]
3．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1＝________.
4 [由S5＝＝44，解得a1＝4.]
4．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝5n＋k，则实数k＝________.
－1 [法一：当n＝1时，a1＝S1＝5＋k，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(5n＋k)－(5n－1＋k)＝5n－5n－1＝4·5n－1.由题意知{an}为等比数列，
∴a1＝5＋k＝4，∴k＝－1.
法二：由题意，{an}是等比数列，a1＝5＋k，a2＝S2－S1＝20，a3＝S3－S2＝100，由a＝a1a3得100(5＋k)＝202，解得k＝－1.]
5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝4，S8＝12，求a21＋a22＋a23＋a24的值．
[解] 由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8－S4，S12－S8，…，S4n－S4n－4，…成等比数列．
由题意可知上述数列的首项为S4＝4，公比为＝2，故S4n－S4n－4＝2n＋1(n≥2)，
所以a21＋a22＋a23＋a24＝S24－S20＝27＝128.
9/9
