5．5 数学归纳法
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解数学归纳法的原理．(重点、易混点)2.掌握数学归纳法的步骤．(难点)3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(难点)
1.通过数学归纳法的学习，培养数学抽象、逻辑推理素养.2.通过利用数学归纳法证明数学命题，提升数学运算素养.
一列排好的多米诺骨牌，如果推倒第一张，而且后续的每一张倒下时，能够导致下一张也倒下，则所有的骨牌都能倒下．
问题：保证每张骨牌倒下的原因有哪些？由此如何理解数学归纳法的原理．
数学归纳法的定义
一个与自然数有关的命题，如果
(1)当n＝n0时，命题成立；
(2)在假设n＝k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出n＝k＋1时命题也成立．
那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立．
思考：数学归纳法的初始值n0一定是取1吗？
拓展：数学归纳法两个步骤的联系：
第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成第一步而缺少第二步就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠第一步，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样只有第二步而缺少第一步时，也可能得出不正确的结论，缺少第一步这个基础，假设就失去了成立的前提，第二步也就没有意义了．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．
( )
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.
( )
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．
( )
2．在应用数学归纳法证明凸多边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝( )
A．a1＋(k－1)d
B.
C．ka1＋d
D．(k＋1)a1＋d
4．用数学归纳法证明＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是_____．
5．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是________．
用数学归纳法证明恒等式
【例1】 求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N
)．
用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项.
1．用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为_______．
2．用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)(n∈N
)．
用数学归纳法证明不等式
【例2】 证明：不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)．
1．当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．
2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时运用归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．运用放缩法时，要注意放缩的“度”．
3．用数学归纳法证明对一切n∈N
,1＋＋＋…＋≥.
归纳——猜想——证明
【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝且a1＝.
(1)求a2，a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明．
1．“归纳—猜想—证明”的一般环节
2．“归纳—猜想—证明”的主要题型
(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．
(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．
(3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
4．已知函数y＝f(n)(n∈N＋)，设f(1)＝2，且任意的n1，n2∈N＋，有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．
(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(2)试猜想f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明．
用数学归纳法解决平面几何问题
[探究问题]
1.如图，两直线a，b相交，其把平面分成几部分？
2.如图，三条直线a，b，c两两相交，不共交于一点，其把平面分成几部分？
3.如图，四条直线a，b，c，d两两相交，交点均不重合，其把平面分成几部分？结合探究1,2分析，如果前k条线两两相交(交点均不重合)把平面分成f(k)部分，再增加一条相交直线(交点均不重合)，其把平面分成f(k＋1)部分，那么f(k＋1)与f(k)之间存在怎样的等量关系？
【例4】 (教材P52例2改编)已知n个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n个平面把空间分成f(n)＝n(n－1)＋2部分．
用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k增加到k＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k＋1之间的递推关系.
5．平面内有n(n∈N
，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证：交点的个数f(n)＝.
1．数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可．
有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础．
2．归纳假设的作用
在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n＝k＋1时，必须用上归纳假设．
3．利用归纳假设的技巧
在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系．
4．数学归纳法的适用范围
数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除法、几何问题、探求数列的通项及前n项和等问题中．
1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N＋，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为( )
A．1
B．1＋a＋a2
C．1＋a
D．1＋a＋a2＋a3
3．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．
4．以下是用数学归纳法证明“n∈N＋时，2n＞n2”的过程，证明：(1)当n＝1时，21＞12，不等式显然成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即2k＞k2.
那么，当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
即当n＝k＋1时不等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对任何n∈N＋不等式都成立．其中错误的步骤为________(填序号)．
5．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝.
2/125．5 数学归纳法
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解数学归纳法的原理．(重点、易混点)2.掌握数学归纳法的步骤．(难点)3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(难点)
1.通过数学归纳法的学习，培养数学抽象、逻辑推理素养.2.通过利用数学归纳法证明数学命题，提升数学运算素养.
一列排好的多米诺骨牌，如果推倒第一张，而且后续的每一张倒下时，能够导致下一张也倒下，则所有的骨牌都能倒下．
问题：保证每张骨牌倒下的原因有哪些？由此如何理解数学归纳法的原理．
数学归纳法的定义
一个与自然数有关的命题，如果
(1)当n＝n0时，命题成立；
(2)在假设n＝k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出n＝k＋1时命题也成立．
那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立．
思考：数学归纳法的初始值n0一定是取1吗？
[提示] 不一定．n0的取值视具体情况而定．
拓展：数学归纳法两个步骤的联系：
第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成第一步而缺少第二步就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠第一步，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样只有第二步而缺少第一步时，也可能得出不正确的结论，缺少第一步这个基础，假设就失去了成立的前提，第二步也就没有意义了．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．
( )
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.
( )
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．在应用数学归纳法证明凸多边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C [三角形是边数最少的多边形，故第一步应检验n＝3.]
3．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝( )
A．a1＋(k－1)d
B.
C．ka1＋d
D．(k＋1)a1＋d
C [假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.]
4．用数学归纳法证明＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是_____．
[答案] ＋＋…＋＋>－.
5．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是________．
1＋2＋3＋4 [当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4.]
用数学归纳法证明恒等式
【例1】 求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N
)．
[证明] (1)当n＝1时，左边＝1＋1＝2，
右边＝21×1＝2，左边＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时等式成立，
即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，
那么，当n＝k＋1时，
左边＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)
＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·
＝2k·1·3·…·(2k－1)(2k＋1)·2
＝2k＋1·1·3·…·(2k－1)·[2(k＋1)－1]＝右边．
∴当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈N
，原等式均成立．
用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项.
1．用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为_______．
2(2k＋1) [令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)·(k＋2)…(k＋k)，f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1)．]
2．用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)(n∈N
)．
[证明] (1)当n＝1时，左边＝12，
右边＝×1×(4×12－1)＝1，
左边＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
，k≥1)时，等式成立，
即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝k(4k2－1)，
则当n＝k＋1时，
12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2
＝k(4k2－1)＋(2k＋1)2
＝k(2k＋1)(2k－1)＋(2k＋1)2
＝(2k＋1)[k(2k－1)＋3(2k＋1)]
＝(2k＋1)(2k2＋5k＋3)
＝(2k＋1)(k＋1)(2k＋3)
＝(k＋1)(4k2＋8k＋3)
＝(k＋1)[4(k＋1)2－1]，
即当n＝k＋1时，等式成立．
由(1)(2)知，对一切n∈N
等式成立.
用数学归纳法证明不等式
【例2】 证明：不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)．
[思路点拨] 在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度．
[证明] ①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋<2.
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋
<2＋＝
<＝＝2.
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知，原不等式对任意n∈N＋都成立．
1．当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．
2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时运用归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．运用放缩法时，要注意放缩的“度”．
3．用数学归纳法证明对一切n∈N
,1＋＋＋…＋≥.
[证明] (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，不等式成立．
(2)假设当n＝k时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋≥.
则当n＝k＋1时，要证1＋＋＋…＋＋≥，
只需证＋≥.
因为－
＝－
＝
＝≤0，
所以＋≥，
即1＋＋＋…＋＋≥，
所以当n＝k＋1时不等式成立．
由(1)(2)知，不等式对一切n∈N
都成立.
归纳——猜想——证明
【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝且a1＝.
(1)求a2，a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明．
[思路点拨] (1)令n＝2,3可分别求a2，a3.
(2)根据a1，a2，a3的值，找出规律，猜想an，再用数学归纳法证明．
[解] (1)a2＝＝，a1＝，
则a2＝，类似地求得a3＝.
(2)由a1＝，a2＝，a3＝，…，猜得：
an＝.
证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立；
②假设当n＝k时猜想成立，即ak＝，那么，当n＝k＋1时，由题设an＝，
得ak＝，
ak＋1＝，
所以Sk＝k(2k－1)ak
＝k(2k－1)＝，
Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－.
因此，k(2k＋3)ak＋1＝，
所以ak＋1＝
＝.
这就证明了当n＝k＋1时命题成立．
由①②可知命题对任何n∈N＋都成立．
1．“归纳—猜想—证明”的一般环节
2．“归纳—猜想—证明”的主要题型
(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．
(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．
(3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
4．已知函数y＝f(n)(n∈N＋)，设f(1)＝2，且任意的n1，n2∈N＋，有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．
(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(2)试猜想f(n)的解析式，并用数学归纳法给出证明．
[解] (1)因为f(1)＝2，
f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，
所以f(2)＝f(1＋1)＝f(1)·f(1)＝22＝4，
f(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)＝22·2＝23＝8.
f(4)＝f(3＋1)＝f(3)·f(1)＝23·2＝24＝16.
(2)猜想：f(n)＝2n(n∈N＋)．
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，f(1)＝21＝2，所以猜想正确．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想正确，即f(k)＝2k，
那么当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，
所以，当n＝k＋1时，猜想正确．
由①②知，对任意的n∈N＋，都有f(n)＝2n.
用数学归纳法解决平面几何问题
[探究问题]
1.如图，两直线a，b相交，其把平面分成几部分？
[提示] 4部分．
2.如图，三条直线a，b，c两两相交，不共交于一点，其把平面分成几部分？
[提示] 7部分．
3.如图，四条直线a，b，c，d两两相交，交点均不重合，其把平面分成几部分？结合探究1,2分析，如果前k条线两两相交(交点均不重合)把平面分成f(k)部分，再增加一条相交直线(交点均不重合)，其把平面分成f(k＋1)部分，那么f(k＋1)与f(k)之间存在怎样的等量关系？
[提示] 11部分，f(k＋1)＝f(k)＋k＋1.
【例4】 (教材P52例2改编)已知n个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n个平面把空间分成f(n)＝n(n－1)＋2部分．
[证明] (1)当n＝1时，1个平面把空间分成2部分，而f(1)＝1×(1－1)＋2＝2(部分)，所以命题正确．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时，命题成立，即k个符合条件的平面把空间分为f(k)＝k(k－1)＋2(部分)，
当n＝k＋1时，第k＋1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k部分，
故f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2＋2k＝k(k－1＋2)＋2＝(k＋1)[(k＋1)－1]＋2(部分)，
即当n＝k＋1时，命题也成立．
根据(1)(2)，知n个符合条件的平面把空间分成f(n)＝n(n－1)＋2部分．
用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k增加到k＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k＋1之间的递推关系.
5．平面内有n(n∈N
，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证：交点的个数f(n)＝.
[证明] (1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝×2×(2－1)＝1，
∴当n＝2时，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
，k≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)＝k(k－1)，
那么，当n＝k＋1时，
任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为f(k)＝k(k－1)，
l与其他k条直线的交点个数为k，
从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，
即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k＝k(k－1＋2)＝k(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－1]，
∴当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，对任意n∈N
(n≥2)命题都成立.
1．数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可．
有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础．
2．归纳假设的作用
在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n＝k＋1时，必须用上归纳假设．
3．利用归纳假设的技巧
在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系．
4．数学归纳法的适用范围
数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除法、几何问题、探求数列的通项及前n项和等问题中．
1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C [边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.]
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N＋，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为( )
A．1
B．1＋a＋a2
C．1＋a
D．1＋a＋a2＋a3
B [当n＝1时，n＋1＝2，故左边所得的项为1＋a＋a2.]
3．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．
1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2 [当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1.]
4．以下是用数学归纳法证明“n∈N＋时，2n＞n2”的过程，证明：(1)当n＝1时，21＞12，不等式显然成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即2k＞k2.
那么，当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
即当n＝k＋1时不等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对任何n∈N＋不等式都成立．其中错误的步骤为________(填序号)．
(2) [在2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，这是一个不确定的结论．如k＝2时，k2＜2k＋1.]
5．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝.
[证明] (1)当n＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝＝0，
所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)
＝.
那么当n＝k＋1时，有[(k＋1)2－1]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k·[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]
＝(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k)
＝＋(2k＋1)
＝k(k＋1)[k(k－1)＋2(2k＋1)]
＝k(k＋1)(k2＋3k＋2)
＝.
所以当n＝k＋1时等式成立．
由(1)(2)知，对任意n∈N＋等式成立．
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