6.1 导数
6.1.1 函数的平均变化率
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解函数平均变化率的概念．(重点)2．会求函数的平均变化率．(难点、易混点)3．会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．(难点)
1.通过函数平均变化率的学习，培养数学抽象素养．2．借助函数平均变化率的计算，提升数学运算素养.
某人走路的第1秒和第45秒的位移如图所示：
问题1：从A到B的位移是多少？从B到C的位移是多少？
问题2：AB段与BC段哪一段的速度较快？
1．函数的平均变化率
一般地，若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则
(1)自变量的改变量Δx＝x2－x1；
(2)因变量的改变量Δy＝y2－y1(或Δf＝f(x2)－f(x1))；
思考：在平均变化率中，Δx，Δy，是否可以为0？当平均变化率为0时，是否说明函数在该区间上一定为常函数？
[提示] 在平均变化率中，Δx可正可负但Δx不可以为0；Δy可以为0；可以为0.
当＝0时，并不能说明函数在该区间上一定为常函数，如f(x)＝x2在区间[－2,2]上的平均变化率是0，但它不是常函数．
拓展：函数平均变化率的几何意义
如图所示，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，事实上kAB＝＝.
2．平均速度与平均变化率
如果物体运动的位移x
m与时间t
s的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1(m/s)．
即物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的平均变化率．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)Δx表示x2－x1，是相对于x1的一个增量，Δx的值可正可负，但不可为零．
( )
(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负，也可以为零．
( )
(3)表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．
( )
(4)物体在某段时间内的平均速度为0，则物体始终处于静止状态．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2.如图，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
B [＝＝－1.]
3．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
B [Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.]
4．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是________．
3>2>1 [∵1＝＝kMA，
2＝＝kAB，3＝＝kBC，
由图像可知：kMA∴3>2>1.]
求函数的平均变化率
【例1】 求y＝f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
[解] ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－(2x＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
∴函数f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝＝4x0＋2Δx，
当x0＝1，Δx＝时，
平均变化率为4×1＋2×＝5.
求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是：
1．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝( )
A．－3
B．2
C．3
D．－2
C [根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3.]
2．已知函数f(x)＝2x2－4的图像上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于( )
A．4
B．4x
C．4＋2Δx
D．4＋2(Δx)2
C [∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[2(1＋Δx)2－4]－(－2)＝2(Δx)2＋4Δx，
∴＝＝4＋2Δx.]
求物体运动的平均变化率
【例2】 跳水运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在这段时间内的平均速度；
(2)运动员在这段时间内是静止的吗？
(3)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？
[解] (1)＝
＝＝0
(m/s)，
即运动员在这段时间内的平均速度是0
m/s.
(2)运动员在这段时间里显然不是静止的．
(3)由上面的计算结果可以看出，平均速度并不能反映出运动员的运动状态，特别是当运动的方向改变时．
1．平均速度反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值．
2．运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s(t)在区间[t0，t1]上的平均变化率，因此求平均速度的实质就是求函数的平均变化率．
3．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26
m/s，则实数m的值为( )
A．2
B．1
C．－1
D．6
B [由已知，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1，选B.]
平均变化率的应用
【例3】 (1)A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )
A．两机关单位节能效果一样好
B．A机关单位比B机关单位节能效果好
C．A机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大
(2)巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化AB段、BC段曲线的陡峭程度吗？
(1)B [(1)由题可知，A机关单位所对应的图像比较陡峭，B机关单位所对应的图像比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好．故选B.]
(2)[解] 山路从A到B高度的平均变化率为kAB＝＝＝，山路从B到C高度的平均变化率为kBC＝＝＝，∴kBC>kAB，∴山路从B到C比从A到B陡峭．
函数的平均变化率表示点?x0，f?x0??与点?x1，f?x1??连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势.
?1?当比较函数平均变化率的大小时，可以先将函数在每个自变量附近的平均变化率求出，然后进行大小的比较.
?2?当识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，图像在点x0附近的图像越“陡峭”，函数值变化就越快.
4．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图像上，若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为，则下面叙述正确的是( )
A．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为
B．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为
C．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－
D．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－
B [函数f(x)从x1到x2的平均变化率就是割线AB的斜率，所以kAB＝，割线AB的倾斜角为，选B.]
5．已知函数f(x)＝3－x2，计算当x0＝1,2,3，Δx＝时，平均变化率的值，并比较函数f(x)＝3－x2在哪一点附近的平均变化率最大？
[解] 函数f(x)＝3－x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为
＝
＝＝－2x0－Δx.
当x0＝1，Δx＝时，平均变化率的值为－，
当x0＝2，Δx＝时，平均变化率的值为－，
当x0＝3，Δx＝时，平均变化率的值为－，
∵－>－>－，
∴函数f(x)＝3－x2在x0＝1附近的平均变化率最大.
1．函数的平均变化率可正可负可为零，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．
2．函数平均变化率的几何意义和物理意义．
(1)几何意义：平均变化率表示函数y＝f(x)图像上割线P1P2的斜率，若P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))，则kP1P2＝＝；
(2)物理意义：把位移s看成时间t的函数，平均变化率表示s＝s(t)在时间段[t1，t2]上的平均速度，即＝.
1．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是( )
A.＝＝
B.＝
C.＝
D.＝
A [由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．
所以＝＝.]
2．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A．2.1
B．1.1
C．2
D．0
A [＝＝＝2.1.]
3.如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．
[x3，x4] [由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：，，，结合图像可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．]
4．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________.
5 [因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，
所以＝＝2，
即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)．]
5．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．
(1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？
(2)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
[解] (1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝＋15＝39，T(10)＝＋15＝23，
故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16℃.
(2)平均变化率为＝－＝－1.6.
它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6
℃.
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6.1.1 函数的平均变化率
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目
标
核
心
素
养
1.理解函数平均变化率的概念．(重点)2．会求函数的平均变化率．(难点、易混点)3．会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．(难点)
1.通过函数平均变化率的学习，培养数学抽象素养．2．借助函数平均变化率的计算，提升数学运算素养.
某人走路的第1秒和第45秒的位移如图所示：
问题1：从A到B的位移是多少？从B到C的位移是多少？
问题2：AB段与BC段哪一段的速度较快？
1．函数的平均变化率
一般地，若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则
(1)自变量的改变量Δx＝x2－x1；
(2)因变量的改变量Δy＝y2－y1(或Δf＝f(x2)－f(x1))；
思考：在平均变化率中，Δx，Δy，是否可以为0？当平均变化率为0时，是否说明函数在该区间上一定为常函数？
拓展：函数平均变化率的几何意义
如图所示，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，事实上kAB＝＝.
2．平均速度与平均变化率
如果物体运动的位移x
m与时间t
s的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1(m/s)．
即物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的平均变化率．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)Δx表示x2－x1，是相对于x1的一个增量，Δx的值可正可负，但不可为零．
( )
(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负，也可以为零．
( )
(3)表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．
( )
(4)物体在某段时间内的平均速度为0，则物体始终处于静止状态．
( )
2.如图，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
3．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
4．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是________．
求函数的平均变化率
【例1】 求y＝f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是：
1．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝( )
A．－3
B．2
C．3
D．－2
2．已知函数f(x)＝2x2－4的图像上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于( )
A．4
B．4x
C．4＋2Δx
D．4＋2(Δx)2
求物体运动的平均变化率
【例2】 跳水运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在这段时间内的平均速度；
(2)运动员在这段时间内是静止的吗？
(3)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？
1．平均速度反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值．
2．运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s(t)在区间[t0，t1]上的平均变化率，因此求平均速度的实质就是求函数的平均变化率．
3．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26
m/s，则实数m的值为( )
A．2
B．1
C．－1
D．6
平均变化率的应用
【例3】 (1)A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )
A．两机关单位节能效果一样好
B．A机关单位比B机关单位节能效果好
C．A机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大
(2)巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化AB段、BC段曲线的陡峭程度吗？
函数的平均变化率表示点?x0，f?x0??与点?x1，f?x1??连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势.
?1?当比较函数平均变化率的大小时，可以先将函数在每个自变量附近的平均变化率求出，然后进行大小的比较.
?2?当识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，图像在点x0附近的图像越“陡峭”，函数值变化就越快.
4．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图像上，若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为，则下面叙述正确的是( )
A．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为
B．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为
C．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－
D．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－
5．已知函数f(x)＝3－x2，计算当x0＝1,2,3，Δx＝时，平均变化率的值，并比较函数f(x)＝3－x2在哪一点附近的平均变化率最大？
1．函数的平均变化率可正可负可为零，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．
2．函数平均变化率的几何意义和物理意义．
(1)几何意义：平均变化率表示函数y＝f(x)图像上割线P1P2的斜率，若P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))，则kP1P2＝＝；
(2)物理意义：把位移s看成时间t的函数，平均变化率表示s＝s(t)在时间段[t1，t2]上的平均速度，即＝.
1．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是( )
A.＝＝
B.＝
C.＝
D.＝
2．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A．2.1
B．1.1
C．2
D．0
3.如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．
4．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________.
5．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．
(1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？
(2)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
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