6.1.2 导数及其几何意义
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解瞬时变化率、导数的概念．(重点、难点)2．理解导数的几何意义．(重点、难点)3．会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的切线方程．(易混点)
1.借助瞬时变化率的学习，培养数学抽象的素养．2．通过导数的几何意义，提升直观想象的素养.
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x
h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．你能计算出第2
h与第6
h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义吗？
1．瞬时变化率与导数
(1)瞬时变化率：
一般地，设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．简记为：当Δx→0时，→k或＝k.
(2)导数
①f(x)在x0处的导数记作f′(x0)；
②f′(x0)＝
.
拓展：导数定义的理解
(1)函数应在x0处的附近有定义，否则导数不存在．
(2)在极限式中，Δx趋近于0且Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正、可负，但不能为0.当Δx>0(或Δx<0)时，Δx→0表示x0＋Δx从右边(或从左边)趋近于x0.
(3)函数在一点处的导数就是在该点附近的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是个常数，不是变量．
2．导数的几何意义
(1)割线的斜率
已知y＝f(x)图像上两点A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是＝，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．
(2)导数的几何意义
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
(3)曲线的切线方程
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝f(x)在某点处的导数是一个变量．
( )
(2)瞬时变化率是刻画某函数在区间[x1，x2]上函数值变化快慢的物理量．
( )
(3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线有且只有一个公共点．
( )
(4)若函数y＝f(x)在某点处可导，则在该点处一定有切线，反之也成立．
( )
2．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图像是( )
A．圆
B．抛物线
C．椭圆
D．直线
3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝________.
4．质点M的运动规律为S＝4t2，则质点M在t＝1时的瞬时速度为________．
求函数在某点处的导数
【例1】 (1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；
(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数k这一现象．
2．用定义求函数在x＝x0处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率；
(3)求极限，得导数为f′(x0)＝
.
简记为：一差、二比、三趋近．
1．求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数．
导数几何意义的应用
【例2】 (1)已知y＝f(x)的图像如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)＞f′(xB)
B．f′(xA)＜f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
(2)若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
1．解答此类问题的关键是理解导数的几何意义．
2．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
2．设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1
B.
C．－
D．－1
3.(一题两空)如图所示，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＝______，f′(5)＝________.
求曲线的切线方程
[探究问题]
1．如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？
2．曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？
3．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？
【例3】 (教材P70例4改编)已知曲线C：f(x)＝x3.
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程．
1．(变结论)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
2．(变条件)求曲线f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程．
利用导数的几何意义求切线方程的方法
?1?若已知点?x0，y0?在已知曲线上，求在点?x0，y0?处的切线方程，先求出函数y＝f?x?在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′?x0??x－x0?.
?2?若点?x0，y0?不在曲线上，求过点?x0，y0?的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.
1．函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率即为f′(x0)，且f′(x0)＝
.
2．求曲线在点(x0，y0)处的切线方程可直接套用公式：y－y0＝f′(x0)(x－x0)求解；求曲线过点(x0，y0)的切线方程时应注意分该点是切点和不是切点两类分别求解．
3．根据导数的几何意义可知，f′(x0)能反映曲线f(x)在x＝x0处的升降及变化快慢情况，若f′(x0)>0，则曲线在该点处上升，若f′(x0)<0，则曲线在该点处下降．
1．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f′(2)等于( )
A．1
B．－1
C．－3
D．3
2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3
s末的瞬时速度是( )
A．7
m/s
B．6
m/s
C．5
m/s
D．8
m/s
3．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为__________．
4．曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．
5．已知直线l：y＝4x＋a和曲线f(x)＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值．
2/96.1.2 导数及其几何意义
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解瞬时变化率、导数的概念．(重点、难点)2．理解导数的几何意义．(重点、难点)3．会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的切线方程．(易混点)
1.借助瞬时变化率的学习，培养数学抽象的素养．2．通过导数的几何意义，提升直观想象的素养.
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x
h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．你能计算出第2
h与第6
h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义吗？
1．瞬时变化率与导数
(1)瞬时变化率：
一般地，设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．简记为：当Δx→0时，→k或＝k.
(2)导数
①f(x)在x0处的导数记作f′(x0)；
②f′(x0)＝
.
拓展：导数定义的理解
(1)函数应在x0处的附近有定义，否则导数不存在．
(2)在极限式中，Δx趋近于0且Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正、可负，但不能为0.当Δx>0(或Δx<0)时，Δx→0表示x0＋Δx从右边(或从左边)趋近于x0.
(3)函数在一点处的导数就是在该点附近的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是个常数，不是变量．
2．导数的几何意义
(1)割线的斜率
已知y＝f(x)图像上两点A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是＝，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．
(2)导数的几何意义
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
(3)曲线的切线方程
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝f(x)在某点处的导数是一个变量．
( )
(2)瞬时变化率是刻画某函数在区间[x1，x2]上函数值变化快慢的物理量．
( )
(3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线有且只有一个公共点．
( )
(4)若函数y＝f(x)在某点处可导，则在该点处一定有切线，反之也成立．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图像是( )
A．圆
B．抛物线
C．椭圆
D．直线
D [结合导数的几何意义可知，该函数的图像是平行或重合于x轴的直线，故选D.]
3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝________.
2 [由导数的几何意义可知f′(1)＝2.]
4．质点M的运动规律为S＝4t2，则质点M在t＝1时的瞬时速度为________．
8 [ΔS＝S(1＋Δt)－S(1)＝4(1＋Δt)2－4＝4(Δt)2＋8(Δt)，
∴＝4(Δt)＋8.
∴
＝8.]
求函数在某点处的导数
【例1】 (1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；
(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
[思路点拨] 求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′(x0)．
[解] (1)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2，
∴＝＝3－Δx，
∴f′(－1)＝
＝
(3－Δx)＝3.
(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，
∴＝6＋3Δx，∴f′(1)＝
＝
(6＋3Δx)＝6.
1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数k这一现象．
2．用定义求函数在x＝x0处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率；
(3)求极限，得导数为f′(x0)＝
.
简记为：一差、二比、三趋近．
1．求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数．
[解] ∵Δy＝(1＋Δx)－－
＝Δx＋1－＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴f′(1)＝
＝
＝2.
导数几何意义的应用
【例2】 (1)已知y＝f(x)的图像如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)＞f′(xB)
B．f′(xA)＜f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
(2)若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
(1)B (2)A [(1)由导数的几何意义知，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图像可知f′(xA)＜f′(xB)．
(2)由题意，知k＝f′(0)
＝
＝1，
∴a＝1.
又(0，b)在切线上，
∴b＝1，故选A.]
1．解答此类问题的关键是理解导数的几何意义．
2．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
2．设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1
B.
C．－
D．－1
A [由题意可知，f′(1)＝2.
又
＝
＝
(aΔx＋2a)＝2a.故由2a＝2得a＝1.]
3.(一题两空)如图所示，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＝______，f′(5)＝________.
3 －1 [由图像知f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)等于在该点P处切线的斜率，故f′(5)＝－1.]
求曲线的切线方程
[探究问题]
1．如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？
[提示] y－y0＝k(x－x0)．即根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．
2．曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？
[提示] 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．
3．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？
[提示] 不一定．曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示．
【例3】 (教材P70例4改编)已知曲线C：f(x)＝x3.
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程．
[思路点拨] (1)→→
[解] (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1,1)．
f′(1)＝
＝
＝
[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.
∴k＝f′(1)＝3.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知f′(x0)＝3x，由题意可知kPQ＝f′(x0)，
即＝3x，又f
(x0)＝x，所以＝3x，即2x－x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－.
①当x0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0.
②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0.
1．(变结论)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
[解] 由
解得或
从而求得公共点为P(1,1)或M(－2，－8)，
即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．
2．(变条件)求曲线f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程．
[解] 设切点为Q(a，a2＋1)，＝＝2a＋Δx，当Δx趋于0时，(2a＋Δx)趋于2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，＝2a，解得a＝1±，所求的切线方程为y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)．
利用导数的几何意义求切线方程的方法
?1?若已知点?x0，y0?在已知曲线上，求在点?x0，y0?处的切线方程，先求出函数y＝f?x?在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′?x0??x－x0?.
?2?若点?x0，y0?不在曲线上，求过点?x0，y0?的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.
1．函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率即为f′(x0)，且f′(x0)＝
.
2．求曲线在点(x0，y0)处的切线方程可直接套用公式：y－y0＝f′(x0)(x－x0)求解；求曲线过点(x0，y0)的切线方程时应注意分该点是切点和不是切点两类分别求解．
3．根据导数的几何意义可知，f′(x0)能反映曲线f(x)在x＝x0处的升降及变化快慢情况，若f′(x0)>0，则曲线在该点处上升，若f′(x0)<0，则曲线在该点处下降．
1．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f′(2)等于( )
A．1
B．－1
C．－3
D．3
D [由题意知f′(2)＝3.]
2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3
s末的瞬时速度是( )
A．7
m/s
B．6
m/s
C．5
m/s
D．8
m/s
C [∵＝＝5＋Δt，
∴
＝
(5＋Δt)＝5(m/s)．]
3．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为__________．
45° [设切线的倾斜角为α，则
tan
α＝f′(x0)＝1，
又α∈[0°，180°)，
∴α＝45°.]
4．曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．
x＋2y＋4＝0 [f′(－2)＝
＝
＝
＝－，
∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.]
5．已知直线l：y＝4x＋a和曲线f(x)＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值．
[解] 设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则
f′(x0)＝li
＝3x－4x0.
由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点坐标为或(2,3)．
当切点为时，
有＝4×＋a，
∴a＝.
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，
∴a＝－5.
因此切点坐标为或(2,3)，
a的值为或－5.
2/9
