6.1.3 基本初等函数的导数
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解导函数的概念．(难点)2．能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点)3．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)
1.通过导函数概念的学习，培养数学抽象的素养．2．通过学习常用函数的导数及基本初等函数的导数公式，提升数学运算素养.
在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x及y＝4x的图像，并根据导数定义，求它们的导数．
问题1：从图像上看，它们的导数分别表示什么？
问题2：函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？
1．导数的概念
一般地，如果函数y＝f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导．此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，称其为函数y＝f(x)的导函数．记作f′(x)(或y′，y′x)，
即f′(x)＝y′＝y′x＝
.
思考1：f′(x0)与f′(x)相同吗？
[提示] 不同．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，而f′(x0)是f′(x)在x＝x0处的导数值．
2．导数公式表
①C′＝0.
②(xα)′＝αxα－1.
③(ax)′＝axln_a.
④(logax)′＝.
⑤(sin
x)′＝cos_x.
⑥(cos
x)′＝－sin_x.
思考2：函数y＝ex及y＝ln
x的导数分别是多少？
[提示] (ex)′＝ex，(ln
x)′＝.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数．
( )
(2)若y＝，则y′＝×2＝1.
( )
(3)若f′(x)＝sin
x，则f(x)＝cos
x．
( )
(4)若y＝，则y′＝.
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．给出下列命题：
①y＝ln
2，则y′＝；
②y＝，则y′＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln
2；
④y＝log2x，则y′＝.
其中正确命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C [对于①，y′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.]
3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于( )
A.
B．10
C．10ln
10
D.
C [∵f′(x)＝10xln
10，
∴f′(1)＝10ln
10.]
4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线方程为________．
y＝e2(x－1) [∵y′＝ex，
∴y′|x＝2＝e2，
∴在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2(x－1)．]
利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数：
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.
[思路点拨] 首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．
[解] (1)y′＝(x12)′＝12x11.
(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.
(3)y′＝()′＝(x)′＝x－.
(4)y′＝(3x)′＝3xln
3.
(5)y′＝(log5x)′＝.
1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．
3．要特别注意“与ln
x”，“ax与logax”，“sin
x与cos
x”的导数区别．
1．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x,
则f′(x)－g′(x)＝__________.
3x2－ [∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝，
∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.]
利用公式求函数在某点处的导数
【例2】 质点的运动方程是s＝sin
t.
(1)求质点在t＝时的速度；
(2)求质点运动的加速度．
[思路点拨] (1)先求s′(t)，再求s′.
(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导．
[解] (1)v(t)＝s′(t)＝cos
t，∴v＝cos
＝.
即质点在t＝时的速度为.
(2)∵v(t)＝cos
t，
∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos
t)′＝－sin
t.
1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．
2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．
2．(1)求函数f(x)＝在(1,1)处的导数；
(2)求函数f(x)＝cos
x在处的导数．
[解] (1)∵f′(x)＝′＝(x－)′＝－x－＝－，
∴f′(1)＝－＝－.
(2)∵f′(x)＝－sin
x，∴f′＝－sin
＝－.
利用导数公式求切线方程
[探究问题]
1．如何求y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程？
[提示] 先计算f′(x)，再求f′(x0)，最后利用y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)求解便可．
2．若已知函数y＝f(x)的切线方程y＝kx＋b，如何求切点坐标(x0，y0)?
[提示] 利用求解．
【例3】 已知曲线y＝f(x)＝，y＝g(x)＝，过两曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴所围成的三角形的面积．
[思路点拨] 先求交点→再分别求切线方程→计算三角形的面积．
[解] 由得即两曲线的交点坐标为(1,1)．
又f′(x)＝，g′(x)＝－.
∴f′(1)＝，g′(1)＝－1.
∴两切线方程分别为y－1＝(x－1)，即y＝x＋；
y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2.
其与x轴的交点坐标分别为(－1,0)，(2,0)，
故两切线与x轴所围成的三角形面积为
×1×|2－(－1)|＝.
求曲线方程或切线方程时，应注意的事项
(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；
(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；
(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．
3．(一题两空)过原点作曲线y＝ex的切线，则切点坐标为________，切线方程为________．
(1，e) y＝ex [设切点坐标为(x0，y0)，则切线的斜率为y′|x＝x0＝ex0，
则ex0＝，
又y0＝ex0，
得x0＝1，∴切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e，
切线方程为y－e＝e(x－1)，即y＝ex.]
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式，解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2的导数，因为y＝1－2sin2＝cos
x，所以y′＝(cos
x)′＝－sin
x.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一定要注意函数名称的变化及函数符号的变化．
1．已知f(x)＝xα(α∈Q＋)，若f′(1)＝，则α等于( )
A.
B.
C.
D.
D [∵f(x)＝xα，
∴f′(x)＝αxα－1，
∴f′(1)＝α＝.]
2．给出下列结论：
①若y＝，则y′＝－；
②若y＝，则y′＝；
③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．0
B [对于①，y′＝(x－3)′＝，正确；
对于②，y′＝x－1＝x－，不正确；
对于③，f′(x)＝3，
故f′(1)＝3，正确．]
3．曲线y＝在点处的切线的斜率为( )
A．2
B．－4
C．3
D.
B [因为y＝，
所以y′＝－，
∴y′|x＝＝－4，故选B.]
4．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln
x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
1 [因为f(x)＝x2，g(x)＝ln
x，
所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，
f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，
即2x2－x－1＝0，
解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1.]
5．求过曲线f(x)＝cos
x上一点P且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．
[解] 因为f(x)＝cos
x，所以f′(x)＝－sin
x，则曲线f(x)＝cos
x在点P的切线斜率为
f′＝－sin
＝－，
所以所求直线的斜率为，
所求直线方程为y－＝，
即y＝x－π＋.
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学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解导函数的概念．(难点)2．能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点)3．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)
1.通过导函数概念的学习，培养数学抽象的素养．2．通过学习常用函数的导数及基本初等函数的导数公式，提升数学运算素养.
在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x及y＝4x的图像，并根据导数定义，求它们的导数．
问题1：从图像上看，它们的导数分别表示什么？
问题2：函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？
1．导数的概念
一般地，如果函数y＝f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导．此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，称其为函数y＝f(x)的导函数．记作f′(x)(或y′，y′x)，
即f′(x)＝y′＝y′x＝
.
思考1：f′(x0)与f′(x)相同吗？
2．导数公式表
①C′＝0.
②(xα)′＝αxα－1.
③(ax)′＝axln_a.
④(logax)′＝.
⑤(sin
x)′＝cos_x.
⑥(cos
x)′＝－sin_x.
思考2：函数y＝ex及y＝ln
x的导数分别是多少？
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数．
( )
(2)若y＝，则y′＝×2＝1.
( )
(3)若f′(x)＝sin
x，则f(x)＝cos
x．
( )
(4)若y＝，则y′＝.
( )
2．给出下列命题：
①y＝ln
2，则y′＝；
②y＝，则y′＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln
2；
④y＝log2x，则y′＝.
其中正确命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于( )
A.
B．10
C．10ln
10
D.
4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线方程为________．
利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数：
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.
1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．
3．要特别注意“与ln
x”，“ax与logax”，“sin
x与cos
x”的导数区别．
1．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x,
则f′(x)－g′(x)＝__________.
利用公式求函数在某点处的导数
【例2】 质点的运动方程是s＝sin
t.
(1)求质点在t＝时的速度；
(2)求质点运动的加速度．
1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．
2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．
2．(1)求函数f(x)＝在(1,1)处的导数；
(2)求函数f(x)＝cos
x在处的导数．
利用导数公式求切线方程
[探究问题]
1．如何求y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程？
2．若已知函数y＝f(x)的切线方程y＝kx＋b，如何求切点坐标(x0，y0)?
【例3】 已知曲线y＝f(x)＝，y＝g(x)＝，过两曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴所围成的三角形的面积．
求曲线方程或切线方程时，应注意的事项
(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；
(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；
(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．
3．(一题两空)过原点作曲线y＝ex的切线，则切点坐标为________，切线方程为________．
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式，解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2的导数，因为y＝1－2sin2＝cos
x，所以y′＝(cos
x)′＝－sin
x.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一定要注意函数名称的变化及函数符号的变化．
1．已知f(x)＝xα(α∈Q＋)，若f′(1)＝，则α等于( )
A.
B.
C.
D.
2．给出下列结论：
①若y＝，则y′＝－；
②若y＝，则y′＝；
③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．0
3．曲线y＝在点处的切线的斜率为( )
A．2
B．－4
C．3
D.
4．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln
x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
5．求过曲线f(x)＝cos
x上一点P且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．
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