6.1.4 求导法则及其应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1.熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点)2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点)3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点)
1.通过学习导数的四则运算法则，培养数学运算素养．2．借助复合函数的求导法则的学习，提升逻辑推理、数学抽象素养.
如何求下列函数的导数：
(1)y＝x；
(2)y＝2x2＋sin
x.
问题：由此你能类比联想一下[f(x)＋g(x)]′的求导法则吗？
1．导数的运算法则
(1)和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)积的导数
①[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
②[Cf(x)]′＝Cf′(x)．
(3)商的导数
′＝，g(x)≠0.
拓展：①[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．
②[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b为常数)．
2．复合函数的概念及求导法则
(1)复合函数的概念
一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值．如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量．
(2)一般地，如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则可以证明，复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)g′(x)＝f′(g(x))g′(x)．
这一结论也可以表示为y′x＝y′uu′x.
思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)＝是复合函数．
( )
(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos(－x)．
( )
(3)y＝e2x的导数y′＝2e2x.
( )
(4)[f(x)g(x)h(x)]′＝f′(x)g′(x)h′(x)．
( )
2．函数f(x)＝xex的导数f′(x)＝( )
A．ex(x＋1)
B．1＋ex
C．x(1＋ex)
D．ex(x－1)
3．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a＝________.
4．若y＝，则y′＝________.
导数四则运算法则的应用
【例1】 求下列函数的导数．
(1)y＝x－2＋x2；
(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝；
(4)y＝x2－sin
cos.
1．解答此类问题时要熟练掌握导数的四则运算法则．
2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
1．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)＝________.
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln
x(其中e为自然对数的底数)，则f′(e)＝________.
复合函数的导数
【例2】 求下列函数的导数．
(1)y＝e2x＋1；
(2)y＝；
(3)y＝5log2(1－x)；
(4)y＝sin3x＋sin
3x.
1．解答此类问题常犯的两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．
2．复合函数求导的步骤
3．求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝log2(2x2－1)．
导数运算法则的综合应用
[探究问题]
若点P是曲线y＝ex上的任意一点，如何求点P到直线l：y＝x的最小距离？
【例3】 (1)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋b＝0垂直，则a＝________.
(2)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为________．
正确的求出复合函数的导数是解题的前提，审题时，注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.
4．已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，求实数a的值．
1．如果求导公式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开为和式求导，商式变乘积式求导，三角恒等变换后求导等．
2．求简单复合函数f(ax＋b)的导数，实质是运用整体思想，先把复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b进行求导，并把求导结果相乘，灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是求解的关键．
1．函数y＝(2
020－8x)3的导数y′＝( )
A．3(2
020－8x)2
B．－24x
C．－24(2
020－8x)2
D．24(2
020－8x)2
2．函数y＝x2cos
2x的导数为( )
A．y′＝2xcos
2x－x2sin
2x
B．y′＝2xcos
2x－2x2sin
2x
C．y′＝x2cos
2x－2xsin
2x
D．y′＝2xcos
2x＋2x2sin
2x
3．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.
4．曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．
5．求下列函数的导数．
(1)y＝cos(x＋3)；
(2)y＝(2x－1)3；
(3)y＝e－2x＋1.
8/86.1.4 求导法则及其应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1.熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点)2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点)3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点)
1.通过学习导数的四则运算法则，培养数学运算素养．2．借助复合函数的求导法则的学习，提升逻辑推理、数学抽象素养.
如何求下列函数的导数：
(1)y＝x；
(2)y＝2x2＋sin
x.
问题：由此你能类比联想一下[f(x)＋g(x)]′的求导法则吗？
1．导数的运算法则
(1)和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)积的导数
①[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
②[Cf(x)]′＝Cf′(x)．
(3)商的导数
′＝，g(x)≠0.
拓展：①[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．
②[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b为常数)．
2．复合函数的概念及求导法则
(1)复合函数的概念
一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值．如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量．
(2)一般地，如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则可以证明，复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)g′(x)＝f′(g(x))g′(x)．
这一结论也可以表示为y′x＝y′uu′x.
思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
[提示] 函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)＝是复合函数．
( )
(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos(－x)．
( )
(3)y＝e2x的导数y′＝2e2x.
( )
(4)[f(x)g(x)h(x)]′＝f′(x)g′(x)h′(x)．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．函数f(x)＝xex的导数f′(x)＝( )
A．ex(x＋1)
B．1＋ex
C．x(1＋ex)
D．ex(x－1)
A [f′(x)＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，选A.]
3．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a＝________.
1 [∵f(x)＝ax2＋c，
∴f′(x)＝2ax，故f′(1)＝2a＝2，∴a＝1.]
4．若y＝，则y′＝________.
[∵y＝ln
x，
∴y′＝·＝.]
导数四则运算法则的应用
【例1】 求下列函数的导数．
(1)y＝x－2＋x2；
(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝；
(4)y＝x2－sin
cos.
[解] (1)y′＝2x－2x－3.
(2)y′＝(ln
3＋1)·(3e)x－2xln
2.
(3)y′＝.
(4)∵y＝x2－sincos＝x2－sin
x，
∴y′＝2x－cos
x.
1．解答此类问题时要熟练掌握导数的四则运算法则．
2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
1．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)＝________.
3 [因为f(x)＝(2x＋1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，∴f′(0)＝3.]
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln
x(其中e为自然对数的底数)，则f′(e)＝________.
－ [因为f(x)＝2xf′(e)＋ln
x，所以f′(x)＝2f′(e)＋.∴f′(e)＝2f′(e)＋，即f′(e)＝－.]
复合函数的导数
【例2】 求下列函数的导数．
(1)y＝e2x＋1；
(2)y＝；
(3)y＝5log2(1－x)；
(4)y＝sin3x＋sin
3x.
[思路点拨] 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．
[解] (1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4
＝－6(2x－1)－4＝－.
(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.
(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin
x的复合函数，函数y＝sin
3x可看作函数y＝sin
v和v＝3x的复合函数．
∴y′x＝(u3)′·(sin
x)′＋(sin
v)′·(3x)′
＝3u2·cos
x＋3cos
v
＝3sin2x
cos
x＋3cos
3x.
1．解答此类问题常犯的两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．
2．复合函数求导的步骤
3．求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝log2(2x2－1)．
[解] (1)y＝
＝
＝＝1＋.
设y＝1＋，u＝1－x，
则y′＝y′u·u′x＝(1＋)′·(1－x)′
＝·(－1)＝－.
(2)设y＝log2u，u＝2x2－1，
则y′＝y′u·u′x＝·4x＝.
导数运算法则的综合应用
[探究问题]
若点P是曲线y＝ex上的任意一点，如何求点P到直线l：y＝x的最小距离？
[提示] 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线l的距离最小．
设P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝ex0，
由ex0＝1可知x0＝0，此时y0＝e0＝1.
即P(0,1)，利用点到直线的距离公式得最小距离d＝.
【例3】 (1)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋b＝0垂直，则a＝________.
(2)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为________．
[思路点拨] (1)→
(2)→→
(1)2 (2) [(1)因为y＝eax，所以y′＝aeax，
由题意可知y′|x＝0＝a＝2可知a＝2.
(2)设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，
又因为y′＝，所以y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝1.
∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)，
∴点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离d＝＝，
即曲线y＝ln(2x－1)到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.]
正确的求出复合函数的导数是解题的前提，审题时，注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.
4．已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，求实数a的值．
[解] 因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，
所以f′(1)＝2a－2，
所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.
因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解得a＝.
1．如果求导公式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开为和式求导，商式变乘积式求导，三角恒等变换后求导等．
2．求简单复合函数f(ax＋b)的导数，实质是运用整体思想，先把复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b进行求导，并把求导结果相乘，灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是求解的关键．
1．函数y＝(2
020－8x)3的导数y′＝( )
A．3(2
020－8x)2
B．－24x
C．－24(2
020－8x)2
D．24(2
020－8x)2
C [y′＝3(2
020－8x)2×(2
020－8x)′
＝3(2
020－8x)2×(－8)＝－24(2
020－8x)2.]
2．函数y＝x2cos
2x的导数为( )
A．y′＝2xcos
2x－x2sin
2x
B．y′＝2xcos
2x－2x2sin
2x
C．y′＝x2cos
2x－2xsin
2x
D．y′＝2xcos
2x＋2x2sin
2x
B [y′＝(x2)′cos
2x＋x2(cos
2x)′
＝2xcos
2x＋x2(－sin
2x)·(2x)′
＝2xcos
2x－2x2sin
2x.]
3．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.
[f′(x)＝·(3x－1)′＝，∴f′(1)＝.]
4．曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．
y＝3x [y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x.]
5．求下列函数的导数．
(1)y＝cos(x＋3)；
(2)y＝(2x－1)3；
(3)y＝e－2x＋1.
[解] (1)函数y＝cos(x＋3)可以看作函数y＝cos
u和u＝x＋3的复合函数，
由复合函数的求导法则可得
yx′＝yu′·ux′＝(cos
u)′·(x＋3)′
＝－sin
u·1＝－sin
u＝－sin(x＋3)．
(2)函数y＝(2x－1)3可以看作函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，
由复合函数的求导法则可得
yx′＝yu′·ux′＝(u3)′·(2x－1)′
＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.
(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1.
8/8
