6.2 利用导数研究函数的性质
6．2.1 导数与函数的单调性
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)
1.通过利用导数判断函数单调性法则的学习，提升数学抽象素养．2．借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升逻辑推理、数学运算素养.
图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图像，图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图像．
问题：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
(1) (2)
导数与函数的单调性的关系
(1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0，曲线呈上升状态，因此f(x)在(a，b)上是增函数，如图(1)所示；
(2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0，曲线呈下降状态，因此f(x)在(a，b)上是减函数，如图(2)所示．
(1) (2)
思考1：如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？
思考2：在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的什么条件？
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．
( )
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．
( )
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．
( )
2.函数y＝f(x)的图像如图所示，则( )
A．f′(3)>0
B．f′(3)<0
C．f′(3)＝0
D．f′(3)的正负不确定
3．已知函数f(x)＝x2－x，则f(x)的单调递增区间为________．
4．(一题两空)若定义域为R的函数f(x)的导数f′(x)＝2x(x－1)，则f(x)在区间________内单调递增，在区间________内单调递减．
函数与导函数图像间的关系
【例1】 (1)函数y＝f(x)的图像如图所示，给出以下说法：
①函数y＝f(x)的定义域是
[－1,5]；
②函数y＝f(x)的值域是
(－∞，0]∪[2,4]；
③函数y＝f(x)在定义域内是增函数；
④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0.
其中正确的是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为( )
研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
1．(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是( )
A B C D
(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是( )
A B C D
利用导数求函数的单调区间
角度一 不含参数的函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝3x2－2ln
x；(2)f(x)＝x2·e－x；
(3)f(x)＝x＋.
角度二 含参数的函数的单调区间
【例3】 讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln
x(a≥0)的单调性．
利用导数求函数单调区间的步骤
?1?确定函数f?x?的定义域.
?2?求导数f′?x?.
?3?由f′?x?>0?或f′?x?<0?，解出相应的x的范围.当f′?x?>0时，f?x?在相应的区间上是增函数；当f′?x?<0时，f?x?在相应的区间上是减函数.
?4?结合定义域写出单调区间.
2．设f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间.
已知函数的单调性求参数的范围
[探究问题]
1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？
2．若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？
【例4】 已知函数f(x)＝x3－ax－1在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，求实数a的取值范围．
1．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1的单调减区间为(－1,1)，求a的值．
2．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上单调递减，求a的取值范围．
3．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
1．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.
2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题时，区间(a，b)应是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题时，可转化为f′(x)
≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．
判断函数单调性的方法如下：
(1)定义法．在定义域内任取x1，x2，且x1(2)图像法．利用函数图像的变化趋势进行直观判断：
图像在某个区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；图像在某个区间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数．
(3)导数法．利用导数判断可导函数f(x)在区间(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)；②确定f′(x)在(a，b)内的符号；③确定单调性．
函数y＝f(x)的单调增区间、减区间分别是解不等式f′(x)>0和f′(x)<0所得的x的取值集合．反过来，如果已知f(x)在区间D上单调递增，求f(x)中参数的值，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f′(x)≥0在D上恒成立且仅在有限个点上等号成立，求f(x)中参数的值．同样也可以解决已知f(x)在区间D上单调递减，求f(x)中参数的值的问题．
1．函数y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能是( )
2．函数f(x)＝ln
x－x的单调递增区间是( )
A．(－∞，1)
B．(0,1)
C．(0，＋∞)
D．(1，＋∞)
3．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．
4．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围为________．
5．试求函数f(x)＝kx－ln
x的单调区间．
2/116.2 利用导数研究函数的性质
6．2.1 导数与函数的单调性
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)
1.通过利用导数判断函数单调性法则的学习，提升数学抽象素养．2．借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升逻辑推理、数学运算素养.
图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图像，图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图像．
问题：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
(1) (2)
导数与函数的单调性的关系
(1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0，曲线呈上升状态，因此f(x)在(a，b)上是增函数，如图(1)所示；
(2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0，曲线呈下降状态，因此f(x)在(a，b)上是减函数，如图(2)所示．
(1) (2)
思考1：如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？
[提示] f(x)是常函数．
思考2：在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的什么条件？
[提示] 充分不必要条件，如f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)＝3x2≥0.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．
( )
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．
( )
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2.函数y＝f(x)的图像如图所示，则( )
A．f′(3)>0
B．f′(3)<0
C．f′(3)＝0
D．f′(3)的正负不确定
B [由图像可知，函数f(x)在(1,5)上单调递减，则在(1,5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0.]
3．已知函数f(x)＝x2－x，则f(x)的单调递增区间为________．
(1，＋∞) [∵f′(x)＝x－1，令f′(x)>0，解得x>1，
故f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．]
4．(一题两空)若定义域为R的函数f(x)的导数f′(x)＝2x(x－1)，则f(x)在区间________内单调递增，在区间________内单调递减．
(1，＋∞) (－∞，1) [由f′(x)>0得x>1，由f′(x)<0得x<1，故f(x)在区间(1，＋∞)内单调递增，在区间(－∞，1)内单调递减．]
函数与导函数图像间的关系
【例1】 (1)函数y＝f(x)的图像如图所示，给出以下说法：
①函数y＝f(x)的定义域是
[－1,5]；
②函数y＝f(x)的值域是
(－∞，0]∪[2,4]；
③函数y＝f(x)在定义域内是增函数；
④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0.
其中正确的是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为( )
(1)A (2)D [(1)由图像可知，函数的定义域为[－1,5]，值域为(－∞，0]∪[2,4]，故①②正确，选A.
(2)由函数的图像可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.]
研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
1．(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是( )
A B C D
(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是( )
A B C D
(1)D (2)A [(1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．
(2)因为y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则从左到右函数f(x)图像上的点的切线斜率是递增的．]
利用导数求函数的单调区间
角度一 不含参数的函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝3x2－2ln
x；(2)f(x)＝x2·e－x；
(3)f(x)＝x＋.
[解] (1)函数的定义域为(0，＋∞)．
∵f′(x)＝6x－，
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－(舍去)，
用x1分割定义域，得下表：
x
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
↗
∴函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)函数的定义域为(－∞，＋∞)．
∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′
＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，
令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域，得下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
↗
↘
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)．
(3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，用x1，x2分割定义域，得下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
－
0
＋
f(x)
↗
↘
↘
↗
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
角度二 含参数的函数的单调区间
【例3】 讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln
x(a≥0)的单调性．
[思路点拨] →求f′(x)→
[解] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax＋1－＝.
(1)当a＝0时，f′(x)＝，
由f′(x)＞0，得x＞1，
由f′(x)＜0，得0＜x＜1.
∴f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．
(2)当a＞0时，
f′(x)＝，
∵a＞0，∴－＜0.
由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1.
∴f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．
利用导数求函数单调区间的步骤
?1?确定函数f?x?的定义域.
?2?求导数f′?x?.
?3?由f′?x?>0?或f′?x?<0?，解出相应的x的范围.当f′?x?>0时，f?x?在相应的区间上是增函数；当f′?x?<0时，f?x?在相应的区间上是减函数.
?4?结合定义域写出单调区间.
2．设f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间.
[解] f(x)的定义域为
(－∞，＋∞)，
f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)＞0，
所以f(x)在(－∞，
＋∞)上单调递增．
若a＞0，则当x∈(－∞，ln
a)时，f′(x)＜0；
当x∈(ln
a，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－∞，ln
a)上单调递减，
在(ln
a，＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a＞0时，f(x)在(－∞，ln
a)上单调递减，在(ln
a，＋∞)上单调递增.
已知函数的单调性求参数的范围
[探究问题]
1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？
[提示] 不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．
2．若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？
[提示] f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．
【例4】 已知函数f(x)＝x3－ax－1在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，求实数a的取值范围．
[思路点拨] →→
[解] 由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
所以，f(x)＝x3－1在R上是增函数．综上，a≤0.
1．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1的单调减区间为(－1,1)，求a的值．
[解] f′(x)＝3x2－a，
①当a≤0时，f′(x)≥0，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．不符题意．
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
∴f(x)在上为减函数，
∴f(x)的单调递减区间为，
∴＝1，即a＝3.
2．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上单调递减，求a的取值范围．
[解] 由题意可知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，
∴，即，∴a≥3.
即a的取值范围是[3，＋∞)．
3．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
[解] ∵f(x)＝x3－ax－1，
∴f′(x)＝3x2－a，
由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0)，
∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，
∴0＜＜1，即0＜a＜3.
故a的取值范围为(0,3)．
1．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.
2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题时，区间(a，b)应是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题时，可转化为f′(x)
≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．
判断函数单调性的方法如下：
(1)定义法．在定义域内任取x1，x2，且x1(2)图像法．利用函数图像的变化趋势进行直观判断：
图像在某个区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；图像在某个区间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数．
(3)导数法．利用导数判断可导函数f(x)在区间(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)；②确定f′(x)在(a，b)内的符号；③确定单调性．
函数y＝f(x)的单调增区间、减区间分别是解不等式f′(x)>0和f′(x)<0所得的x的取值集合．反过来，如果已知f(x)在区间D上单调递增，求f(x)中参数的值，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f′(x)≥0在D上恒成立且仅在有限个点上等号成立，求f(x)中参数的值．同样也可以解决已知f(x)在区间D上单调递减，求f(x)中参数的值的问题．
1．函数y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能是( )
D [∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.]
2．函数f(x)＝ln
x－x的单调递增区间是( )
A．(－∞，1)
B．(0,1)
C．(0，＋∞)
D．(1，＋∞)
B [函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝－1，
由f′(x)＝－1>0，得0所以函数f(x)＝ln
x－x的单调递增区间是(0,1)，故选B.]
3．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．
(1,2) [f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.]
4．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围为________．
[1，＋∞) [因为f′(x)＝3x2－2ax－1，由题意可知
f′(x)≤0在(0,1)内恒成立．
∴即a≥1.]
5．试求函数f(x)＝kx－ln
x的单调区间．
[解] 函数f(x)＝kx－ln
x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－＝.
当k≤0时，kx－1＜0，
∴f′(x)＜0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当k＞0时，由f′(x)＜0，
即＜0，解得0＜x＜；
由f′(x)＞0，即＞0，解得x＞.
∴当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；
当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
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