6．2.2 导数与函数的极值、最值
第1课时 函数的导数与极值
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标
核
心
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养
1.理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件．(易混点)2．会求函数的极值．(重点)3．能利用导数解决与函数极值相关的综合问题．(难点)
1.通过学习函数的极值、极值点等概念，培养数学抽象素养．2．利用导数求函数的极值，提升逻辑推理、数学运算素养.
在群山之中，某个山峰的顶端可能不是群山的最高点，但它一定是其附近的最高点；某个山谷，可能不是群山的最低点，但它一定是附近的最低点．对于连续函数，有类似的性质．
“极大”与“极小”都是文艺复兴时期德意志库萨的尼古拉用语．他认为一个事物，如果没有比它更大的事物存在，就叫做最大或极大．他还认为上帝是无限的极大，宇宙是相对的极大，而宇宙中的万物是极小．
1．函数的极值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有
(1)f(x)
(2)f(x)>f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值．
极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小．
思考1：极大值一定比极小值大吗？
2．函数的导数与极值
一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0.
(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点．
(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点．
(3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点．
思考2：“f′(x0)＝0”是“x0是y＝f(x)的极值点”的什么条件？
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)导数值为0的点一定是函数的极值点．
( )
(2)极大值一定比极小值大．
( )
(3)函数f(x)＝有极值．
( )
(4)函数的极值点一定是其导函数的变号零点．
( )
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
3．函数f(x)＝－的极值点为( )
A．0
B．－1
C．0或1
D．1
4．(一题两空)若可导函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f′(1)＝________，1是函数f(x)的________值点．
求函数的极值或极值点
【例1】 求下列函数的极值．
(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；
(2)f(x)＝x2－2ln
x.
求可导函数f?x?的极值的步骤
?1?确定函数的定义域，求导数f′?x?.
?2?求方程f′?x?＝0的根.
?3?利用f′?x?与f?x?随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.
1．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
利用函数的极值求参数
【例2】 (一题两空)(1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝________，b＝________.
(2)若函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为________．
已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
?1?根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
?2?因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
2．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(0，＋∞)
C．(0,1)
D．(－1,0)
函数极值的综合应用
[探究问题]
1．如何画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图像．
2．当a变化时，方程2x3－3x2－36x
＋16＝a有几解？
【例3】 已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．
1．(变条件)本例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？
2．(变条件)本例中，若方程f(x)＝0有且只有一个实根，求实数a的范围．
利用导数可以判断函数的单调性，并能在此基础上画出函数的大致图像，从直观上判断函数图像与x轴的交点或两个函数图像的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题．
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )
A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
3．设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
4．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
5．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数y的极小值．
2/10第2课时 函数最值的求法
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1.理解极值与最值的区别与联系．(易混点)2．会求函数在闭区间上的最值．(重点)3．能利用导数解决与函数最值相关的综合问题．(难点)
1.通过学习函数的最值概念，培养数学抽象素养．2．利用导数求函数的最值，提升逻辑推理、数学运算素养.
如图，在闭区间[a，b]上的函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则它必有最大值和最小值．
问题1：f(x)的最大值和最小值分别是多少？
问题2：你能指出最值与极值的关系吗？
函数的最值
(1)一般地，如果函数y＝f(x)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个极值点；
(2)如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点．
拓展：求函数的最值时，应注意以下几点：
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．
(2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数的最大值一定是函数的极大值．
( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值．
( )
(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．
( )
(4)若函数在给定闭区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，
但若有极值，则可有多个极值．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．函数f(x)＝2x－cos
x在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值
B．有极值
C．有最大值
D．有最小值
A [f′(x)＝2＋sin
x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．]
3．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为( )
A．0
B.
C.
D.
C [f′(x)＝＝，当x∈[2,4]时，f′(x)＜0，即函数f(x)在区间[2,4]上是单调递减函数，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.]
4．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.
1 [f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．
令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2，
当x∈(－2,0)时，f′(x)＜0，
当x∈(0,2)时，f′(x)＞0，
∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值．
∴f(0)＝m＝1.]
求函数的最值
角度一 不含参数的函数最值
【例1】 求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2,2]；
(2)f(x)＝sin
2x－x，x∈.
[解] (1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，
令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
－2
(－2，－1)
－1
(－1,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1
↗
11
↘
－1
↗
11
从表中可以看出，当x＝－2或x＝1时，函数f(x)取得最小值－1.
当x＝－1或x＝2时，函数f(x)取得最大值11.
(2)f′(x)＝2cos
2x－1，令f′(x)＝0，得cos
2x＝，
又∵x∈，∴2x∈[－π，π]．
∴2x＝±.∴x＝±.
∴函数f(x)在上的两个极值分别为
f＝－，f＝－＋.
又f＝－，f＝.
比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－.
角度二 含参数的函数最值
【例2】 a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值.
[解] f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．
若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0.
若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.
∵x∈[0,1]，则只考虑x＝的情况．
(1)若0＜＜1，即0＜a＜1，
则当x＝时，f(x)有最大值f()＝2a.(如下表所示)
x
0
(0，)
(，1)
1
f′(x)
＋
0
－
f(x)
0
↗
2a
↘
3a－1
(2)若≥1，即a≥1时，则
当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.
综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；
当0＜a＜1，x＝时，f(x)有最大值2a；
当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.
1．求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
2.
对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0的三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
1．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
[解] f′(x)＝3x2－2ax.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
①当≤0，即a≤0时，
f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
②当≥2，即a≥3时，
f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.
③当0＜＜2，即0＜a＜3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，
从而f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝
已知函数的最值求参数
【例3】 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.
[解] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)当a>0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
↗
b
↘
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，
f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
已知函数在某区间上的最值求参数的值?范围?是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程?不等式?解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.
2．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
－1 [f′(x)＝＝，当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当－0，f(x)单调递增；当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．∴f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1.]
与最值有关的恒成立问题
[探究问题]
1．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若f(x)≥c或f(x)≤c恒成立，则c满足的条件是什么？
[提示] c≤f(x)min或c≥f(x)max.
2．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若存在x0∈[a，b]，使得f(x)≥c或f(x)≤c成立，则c满足的条件是什么？
[提示] c≤f(x)max或c≥f(x)min.
【例4】 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.
[思路点拨] (1)利用配方法，即可求出二次函数f(x)的最小值h(t)；
(2)构造函数g(t)＝h(t)－(－2t＋m)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围．
[解] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
↗
极大值1－m
↘
∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m.
h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．
1．(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？
[解] 令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
0
(0,1)
1
(1,2)
2
g′(t)
＋
0
－
g(t)
－1－m
↗
极大值1－m
↘
－3－m
∴g(t)在[0,2]上有最小值g(2)＝－3－m，
存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立，
等价于g(t)的最小值g(2)<0.
∴－3－m<0，∴m>－3，
所以实数m的取值范围为(－3，＋∞)．
2．(变条件)若将本例(2)的条件改为“对任意的t1，t2∈(0,2)，都有h(t1)＜－2t2＋m”，求实数m的取值范围．
[解] ∵h(t)＝－t3＋t－1，t∈(0,2)，
∴h′(t)＝－3t2＋1.
由h′(t)＝0，得t＝或t＝－(舍)．
又当0＜t＜时，h′(t)＞0，
当＜t＜2时，h′(t)＜0.
∴当t＝时，h(t)max＝－＋－1＝.
令φ(t)＝－2t＋m，t∈(0,2)，∴φ(t)min＞m－4.
由题意可知≤m－4，
即m≥＋3＝.
∴实数m的取值范围为.
分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．
2．已知最值求参数，用参数表示最值时，应分类讨论．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．
1．下列结论正确的是( )
A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b时取得
D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
D [函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．]
2．函数y＝x－sin
x，x∈的最大值是( )
A．π－1
B.－1
C．π
D．π＋1
C [因为y′＝1－cos
x，当x∈时，y′>0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sin
π＝π，故选C.]
3．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
D [f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.]
4．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意x∈[－1,2]，都有f(x)＞m，则实数m的取值范围是________．
[令f′(x)＝3x2－x－2＝0，
得x＝1或－.
又f(－1)＝，f＝，f(1)＝，f(2)＝7，
所以m＜.]
5．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值，并求f(x)在[－2,2]上的最大值.
[解] f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－2
(－2,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
f(x)
－40＋a
↗
极大值a
↘
－8＋a
所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.
所以当x＝0时，f(x)取到最大值3.
2/106．2.2 导数与函数的极值、最值
第1课时 函数的导数与极值
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核
心
素
养
1.理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件．(易混点)2．会求函数的极值．(重点)3．能利用导数解决与函数极值相关的综合问题．(难点)
1.通过学习函数的极值、极值点等概念，培养数学抽象素养．2．利用导数求函数的极值，提升逻辑推理、数学运算素养.
在群山之中，某个山峰的顶端可能不是群山的最高点，但它一定是其附近的最高点；某个山谷，可能不是群山的最低点，但它一定是附近的最低点．对于连续函数，有类似的性质．
“极大”与“极小”都是文艺复兴时期德意志库萨的尼古拉用语．他认为一个事物，如果没有比它更大的事物存在，就叫做最大或极大．他还认为上帝是无限的极大，宇宙是相对的极大，而宇宙中的万物是极小．
1．函数的极值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有
(1)f(x)(2)f(x)>f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值．
极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小．
思考1：极大值一定比极小值大吗？
[提示] 不一定．极值是一个局部性概念，是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或最小的，故极大值与极小值之间无法确定大小关系．
2．函数的导数与极值
一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0.
(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点．
(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点．
(3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点．
思考2：“f′(x0)＝0”是“x0是y＝f(x)的极值点”的什么条件？
[提示] “f′(x0)＝0”是“x0是y＝f(x)的极值点”的必要不充分条件．如f(x)＝x3，由f′(x)＝0得x＝0，但0不是f(x)＝x3的极值点．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)导数值为0的点一定是函数的极值点．
( )
(2)极大值一定比极小值大．
( )
(3)函数f(x)＝有极值．
( )
(4)函数的极值点一定是其导函数的变号零点．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
C [设y＝f′(x)的图像与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]
3．函数f(x)＝－的极值点为( )
A．0
B．－1
C．0或1
D．1
D [∵f′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝1.
又当x＞1时f′(x)＞0，
0＜x＜1时f′(x)＜0，
又x＜0时f′(x)＜0，
∴1是f(x)的极小值点，
x＝0不是函数的极值点．]
4．(一题两空)若可导函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f′(1)＝________，1是函数f(x)的________值点．
0 极大 [由题意可知，当x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，∴f′(1)＝0,1是函数f(x)的极大值点．]
求函数的极值或极值点
【例1】 求下列函数的极值．
(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；
(2)f(x)＝x2－2ln
x.
[解] (1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值21
↘
极小值－6
↗
所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；
当x＝1时，f(x)取极小值－6.
(2)函数f(x)＝x2－2ln
x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝，
令f′(x)＝0，
得x1＝1，x2＝－1(舍去)．
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值1
↗
因此当x＝1时，f(x)有极小值1，无极大值．
求可导函数f?x?的极值的步骤
?1?确定函数的定义域，求导数f′?x?.
?2?求方程f′?x?＝0的根.
?3?利用f′?x?与f?x?随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.
1．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
[解] (1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4
＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，
f′(0)＝a＋b－4＝4，①
又f(0)＝b＝4，②
由①②可得a＝b＝4.
(2)f(x)＝ex(4x＋4)－x2－4x，
则f′(x)＝ex(4x＋8)－2x－4＝4ex(x＋2)－2(x＋2)
＝(x＋2)(4ex－2)．
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝－ln
2，
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，－ln
2)
－ln
2
(－ln
2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
f(x)在(－∞，－2)，(－ln
2，＋∞)上单调递增，
在(－2，－ln
2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，
极大值为f(－2)＝4(1－e－2).
利用函数的极值求参数
【例2】 (一题两空)(1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝________，b＝________.
(2)若函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为________．
(1)2 9 (2)(－∞，1) [(1)∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函数f(x)在x＝－1处有极值0，
∴
即
解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．
故f(x)在x＝－1处取得极小值，∴a＝2，b＝9.
(2)∵f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，
∴Δ＝4－4a>0，解得a<1.]
已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
?1?根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
?2?因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
2．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(0，＋∞)
C．(0,1)
D．(－1,0)
D [∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若a<－1，
∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；
若－1若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D.]
函数极值的综合应用
[探究问题]
1．如何画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图像．
[提示] f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2)．
由f′(x)＞0，得x＜－2或x＞3，
∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)．
由f′(x)＜0，得－2＜x＜3，
∴函数f(x)的递减区间是(－2,3)．
由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16.
∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图像如图所示(答案不唯一)．
2．当a变化时，方程2x3－3x2－36x
＋16＝a有几解？
[提示] 方程2x3－3x2－36x＋16＝a解的个数问题可转化为函数y＝a与y＝2x3－3x2－36x＋16的图像有几个交点的问题，结合探究1可知：
(1)当a＞60或a＜－65时，
方程2x3－3x2－36x＋16＝a有且只有一解；
(2)当a＝60或a＝－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有两解；
(3)当－65＜a＜60时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有三解．
【例3】 已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．
[思路点拨] 求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．
[解] 令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；
当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.
因为方程f(x)＝0有三个不同实根，
所以y＝f(x)的图像与x轴有三个不同交点，如图．
由已知应有
解得－21．(变条件)本例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？
[解] 由例题，知函数的极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a，
若f(x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0，或－2＋a＝0，
所以a＝－2或a＝2.
2．(变条件)本例中，若方程f(x)＝0有且只有一个实根，求实数a的范围．
[解] 由例题可知，要使方程f(x)＝0有且只有一个实根，
只需2＋a＜0或－2＋a＞0，
即a＜－2或a＞2.
利用导数可以判断函数的单调性，并能在此基础上画出函数的大致图像，从直观上判断函数图像与x轴的交点或两个函数图像的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题．
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B [依题意，记函数y＝f′(x)的图像与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x2＜x＜x4时，f′(x)≥0；当x4＜x＜b时，f′(x)＜0.因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值，选B.]
2．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )
A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
C [令y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.
当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.
∴当x＝－1时，函数有极大值5；3?(－2,2)，故无极小值．]
3．设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
D [令y′＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.
当x＜－1时，y′＜0；当x＞－1时，y′＞0.故当x＝－1时，y取得极小值．]
4．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函数f(x)既有极大值又有极小值，
∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.]
5．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数y的极小值．
[解] (1)y′＝3ax2＋2bx.
由题意，知即
解得
(2)由(1)知y＝－6x3＋9x2.
所以y′＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)．
令y′＝0，解得x1＝1，x2＝0.
所以当x<0时，y′<0；当00；
当x>1时，y′<0.
所以当x＝0时，y有极小值，其极小值为0.
2/10第2课时 函数最值的求法
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解极值与最值的区别与联系．(易混点)2．会求函数在闭区间上的最值．(重点)3．能利用导数解决与函数最值相关的综合问题．(难点)
1.通过学习函数的最值概念，培养数学抽象素养．2．利用导数求函数的最值，提升逻辑推理、数学运算素养.
如图，在闭区间[a，b]上的函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则它必有最大值和最小值．
问题1：f(x)的最大值和最小值分别是多少？
问题2：你能指出最值与极值的关系吗？
函数的最值
(1)一般地，如果函数y＝f(x)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个极值点；
(2)如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点．
拓展：求函数的最值时，应注意以下几点：
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．
(2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数的最大值一定是函数的极大值．
( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值．
( )
(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．
( )
(4)若函数在给定闭区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，
但若有极值，则可有多个极值．
( )
2．函数f(x)＝2x－cos
x在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值
B．有极值
C．有最大值
D．有最小值
3．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为( )
A．0
B.
C.
D.
4．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.
求函数的最值
角度一 不含参数的函数最值
【例1】 求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2,2]；
(2)f(x)＝sin
2x－x，x∈.
角度二 含参数的函数最值
【例2】 a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值.
1．求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
2.
对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0的三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
1．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
已知函数的最值求参数
【例3】 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.
已知函数在某区间上的最值求参数的值?范围?是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程?不等式?解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.
2．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
与最值有关的恒成立问题
[探究问题]
1．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若f(x)≥c或f(x)≤c恒成立，则c满足的条件是什么？
2．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若存在x0∈[a，b]，使得f(x)≥c或f(x)≤c成立，则c满足的条件是什么？
【例4】 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.
1．(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？
2．(变条件)若将本例(2)的条件改为“对任意的t1，t2∈(0,2)，都有h(t1)＜－2t2＋m”，求实数m的取值范围．
分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．
2．已知最值求参数，用参数表示最值时，应分类讨论．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．
1．下列结论正确的是( )
A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b时取得
D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
2．函数y＝x－sin
x，x∈的最大值是( )
A．π－1
B.－1
C．π
D．π＋1
3．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
4．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意x∈[－1,2]，都有f(x)＞m，则实数m的取值范围是________．
5．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值，并求f(x)在[－2,2]上的最大值.
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