[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
导数的几何意义及其应用
【例1】 (1)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2e
B．e
C．2
D．1
(2)已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是( )
利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得
y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，
①
又y1＝f(x1)，
②
由①②求出x1，y1的值，
即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
1．已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；
(3)求斜率为4的曲线的切线方程．
利用导数判断函数的单调性
【例2】 设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
利用导数的符号判断函数的增减性，进而确定函数的单调区间，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想.这部分内容要注意的是f?x?为增函数?f′?x?≥0且f′?x?＝0的根有有限个，f?x?为减函数?f′?x?≤0且f′?x?＝0的根有有限个.
2．(1)讨论函数f(x)＝ex的单调性，并证明当x＞0时，(x－2)ex＋x＋2＞0；
(2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)＝(x＞0)有最小值．设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．
利用导数研究函数的极值、最值
【例3】 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图像上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．
用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图像与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．
3．已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图像与y＝f′(x)＋5x＋m的图像有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
利用导数解决实际问题
【例4】 已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时(81．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数．
2．在解决优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定函数的定义域．
3．得出函数的最大值或最小值之后，一定要将数学问题还原成实际问题．
4．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p＝24
200－x2，且生产x吨的成本为R＝50
000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？
[培优层·素养升华]
【例】 定义在R上的函数f(x)的导数为f′(x)，若对任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2
020为奇函数，则不等式f(x)＋2
020ex<0的解集为( )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．
D.
这类问题主要考查函数单调性、奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的单调性及其应用.其中如何构造新函数是求解此类问题的重中之重，善于从题目中提取信息，挖掘隐含条件及把所学知识移到此类问题中是解题的关键.
定义在区间(0，＋∞)上函数f(x)使不等式2f(x)2/10[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
导数的几何意义及其应用
【例1】 (1)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2e
B．e
C．2
D．1
(2)已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是( )
(1)C (2)B [(1)y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为k＝2.
(2)从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图像的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误；B项正确．]
利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得
y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，
①
又y1＝f(x1)，
②
由①②求出x1，y1的值，
即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
1．已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；
(3)求斜率为4的曲线的切线方程．
[解] (1)∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率k＝x.
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵点P(2,4)在切线上，
∴4＝2x－x＋，
即x－3x＋4＝0，
∴x＋x－4x＋4＝0.
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
(3)设切点为(x0，y0)，
则切线的斜率k＝x＝4，∴x0＝±2.
∴切点为(2,4)或.
∴斜率为4的曲线的切线方程为y－4＝4(x－2)和y＋＝4(x＋2)，
即4x－y－4＝0和12x－3y＋20＝0.
利用导数判断函数的单调性
【例2】 设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
[思路探究] (1)利用导数的几何意义和求导运算建立方程组求未知数．(2)利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性．
[解] (1)因为f(x)＝xea－x＋bx，
所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.
依题设，即
解得
(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex.
由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号．
令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.
所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，
从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．
综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
利用导数的符号判断函数的增减性，进而确定函数的单调区间，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想.这部分内容要注意的是f?x?为增函数?f′?x?≥0且f′?x?＝0的根有有限个，f?x?为减函数?f′?x?≤0且f′?x?＝0的根有有限个.
2．(1)讨论函数f(x)＝ex的单调性，并证明当x＞0时，(x－2)ex＋x＋2＞0；
(2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)＝(x＞0)有最小值．设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．
[解] (1)f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．
f′(x)＝＝≥0，
当且仅当x＝0时，f′(x)＝0，所以f(x)在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增．
因此当x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝－1.
所以(x－2)ex>－(x＋2)，即(x－2)ex＋x＋2>0.
(2)g′(x)＝＝(f(x)＋a)．
由(1)知，f(x)＋a单调递增．
对任意a∈[0,1)，f(0)＋a＝a－1＜0，f(2)＋a＝a≥0.
因此，存在唯一xa∈(0,2]，使得f(xa)＋a＝0，
即g′(xa)＝0.
当0当x>xa时，f(x)＋a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．
因此g(x)在x＝xa处取得最小值，最小值为
g(xa)＝＝＝.
于是h(a)＝.
由′＝＞0，得y＝在x∈(0，＋∞)上单调递增，
所以，由xa∈(0,2]，得
＝＜h(a)＝≤＝.
因为y＝在x∈(0，＋∞)上单调递增，对任意λ∈，存在唯一的xa∈(0,2]，a＝－f(xa)∈[0,1)，使得h(a)＝λ.
所以h(a)的值域是.
综上，当a∈[0,1)时，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是.
利用导数研究函数的极值、最值
【例3】 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图像上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．
[思路探究] (1)由求出a，b即可．
(2)对t分0(3)构造函数g(x)＝f(x)－c转化为g(x)在[1,3]上有实根求解．
[解] (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.
又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.
(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
①当0②当2x
0
(0,2)
2
(2，t)
t
f′(x)
0
－
0
＋
＋
f(x)
2
↘
极小值－2
↗
t3－3t2＋2
f(x)的最小值为f(2)＝－2，f(x)的最大值为f(0)与f(t)中较大的一个．
f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.
所以f(x)的最大值为f(0)＝2.
综上可知，当t∈(0,2]时，f(x)的最大值为2，最小值为t3－3t2＋2；当t∈(2,3)时，f(x)的最大值为2，最小值为－2.
(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，
g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
在x∈[1,2)上，g′(x)<0；在x∈(2,3]上，g′(x)>0.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则解得－2用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图像与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．
3．已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图像与y＝f′(x)＋5x＋m的图像有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
[解] 由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
∴y＝f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m＝x2＋x＋3＋m.
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图像与x轴有三个不同的交点．
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
∴令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.
当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：
x
4
(4，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
↗
－m
↘
－16－m
↗
则函数g(x)的极大值为g＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.
∵y＝f(x)的图像与y＝f′(x)＋5x＋m的图像有三个不同的交点，
得eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(g＝\f(68,27)－m>0，,g?4?＝－16－m<0，))解得－16即m的取值范围为.
利用导数解决实际问题
【例4】 已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时(8[解] 设每小时的燃料费为y1元，比例系数为k(k>0)，则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，
∴720＝k·122，解得k＝5.
∴y1＝5v2.
设全程燃料费为y元，由题意，得y＝y1·＝，
∴y′＝＝.
令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16.
∴当v0≥16时，v＝16(千米/时)时全程燃料费最省；
当v0<16，v∈(8，v0]时，y′<0，即y在(8，v0]上为减函数．
∴当v＝v0时，ymin＝.
综上可知，若v0≥16，则当v＝16(千米/时)时，全程燃料费最省，为32
000元；若v0<16，则当v＝v0时，全程燃料费最省，为元．
1．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数．
2．在解决优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定函数的定义域．
3．得出函数的最大值或最小值之后，一定要将数学问题还原成实际问题．
4．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p＝24
200－x2，且生产x吨的成本为R＝50
000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？
[解] 每月生产x吨时的利润为
f(x)＝x－(50
000＋200x)
＝－x3＋24
000x－50
000(x≥0)，
令f′(x)＝－x2＋24
000＝0，解得x＝200或x＝－200(舍去)．
因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－×2003＋24
000×200－50
000＝3
150
000(元)，故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．
[培优层·素养升华]
【例】 定义在R上的函数f(x)的导数为f′(x)，若对任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2
020为奇函数，则不等式f(x)＋2
020ex<0的解集为( )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．
D.
B [由题意可知，令g(x)＝，则g′(x)＝，
因为f′(x)即g′(x)<0，
∴g(x)在R上为减函数．
又因为f(x)＋2
020为奇函数，
所以f(0)＋2
020＝0，
即f(0)＝－2
020，则g(0)＝－2
020.
所以不等式f(x)＋2
020ex<0等价于g(x)∴x>0，即不等式f(x)＋2
020ex<0的解集为x∈(0，＋∞)．故选B.]
这类问题主要考查函数单调性、奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的单调性及其应用.其中如何构造新函数是求解此类问题的重中之重，善于从题目中提取信息，挖掘隐含条件及把所学知识移到此类问题中是解题的关键.
定义在区间(0，＋∞)上函数f(x)使不等式2f(x)(4,8) [令g(x)＝，则g′(x)＝，
因为xf′(x)<3f(x)，则xf′(x)－3f(x)<0.
所以g′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立．
即g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
可得g(2)由2f(x)<3f(x)可得f(x)>0，则<8，
令h(x)＝，则h′(x)＝，
因为xf′(x)>2f(x)，
即xf′(x)－2f(x)>0，
所以h′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
即h(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴h(2)>h(1)．
即>f(1)，即>4，
∴4<<8.]
2/10
