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求数列的通项公式
【例1】 已知数列{an}中，an>0，Sn是数列{an}的前n项和，且an＋＝2Sn，求an.
[解] 将an＋＝2Sn变形为a＋1＝2Snan.
将an＝Sn－Sn－1(n≥2)代入并化简，得S－S＝1.
由已知可求得S1＝a1＝1.
∴数列{S}是等差数列，公差为1，首项为1.
∴S＝1＋(n－1)·1＝n.
∵an>0，∴Sn>0.
∴Sn＝.
∴n≥2时，an＝－.
而n＝1时，a1＝1也适合上式．
∴数列{an}的通项公式为an＝－，n∈N＋.
1．定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法适用于已知数列类型的题目．
2．已知Sn求an
若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝求解．
3．由递推公式求数列通项法
(1)已知形如“an＋1＝can＋d”的递推公式，一般利用待定系数法把关系式转化为等比数列求an.
(2)已知形如“an＋1＝pan＋pn＋1·q”的递推公式，一般转化为＝＋q，利用为等差数列求an.
(3)已知形如“an＋1＝an＋f(n)”的递推公式，可考虑叠加法求an.
(4)已知形如“an＋1＝f(n)·an”的递推公式，则可考虑累乘法求an.
1．已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n－n，求数列{an}的通项公式．
[解] 由an＋1－an＝3n－n，
得an－an－1＝3n－1－(n－1)，
an－1－an－2＝3n－2－(n－2)，
…
a3－a2＝32－2，
a2－a1＝3－1.
当n≥2时，以上n－1个等式两边分别相加，得
(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)
＝3n－1＋3n－2＋…＋3－[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]，
即an－a1＝－.
又∵a1＝1，
∴an＝×3n－－.
显然a1＝1也适合上式，
∴{an}的通项公式为an＝×3n－－.
等差、等比数列的判断
【例2】 已知数列{an}、{bn}满足：a1＝1，a2＝a(a为常数)，且bn＝an·an＋1，其中n＝1,2,3，….
(1)若{an}是等比数列，试求数列{bn}的前n项和Sn的公式；
(2)当{bn}是等比数列时，甲同学说：{an}一定是等比数列；乙同学说：{an}一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？
[解] (1)因为{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a，所以a≠0，
an＝an－1.
又bn＝an·an＋1，
则b1＝a1·a2＝a，＝＝＝＝a2，
即{bn}是以a为首项，a2为公比的等比数列．
所以Sn＝
(2)甲、乙两个同学说法都不正确，理由如下：
法一：设{bn}的公比为q，则＝＝＝q，且a≠0，
又a1＝1，a2＝a，a1，a3，a5，…，a2n－1，…是以1为首项，q为公比的等比数列；a2，a4，a6，…，a2n，…是以a为首项，q为公比的等比数列．
即{an}为：1，a，q，aq，q2，aq2，…，
当q＝a2时，{an}是等比数列；当q≠a2时，{an}不是等比数列．
法二：{an}可能是等比数列，也可能不是等比数列，举例说明如下：
设{bn}的公比为q.
①取a＝q＝1时，an＝1(n∈N＋)，
此时bn＝anan＋1＝1，{an}、{bn}都是等比数列．
②取a＝2，q＝1时，an＝
bn＝2(n∈N＋)．
此时{bn}是等比数列，而{an}不是等比数列．
判定一个数列是等差或等比数列的常用方法：
?1?定义法,an＋1－an＝d?d为常数，n∈N＋??{an}是等差数列.,＝q?q为非零常数，n∈N＋??{an}是等比数列.
?2?中项法,2an＋1＝an＋an＋2?n∈N＋??{an}是等差数列.,＝anan＋2?anan＋1an＋2≠0，n∈N＋??{an}为等比数列.
?3?通项公式法,an＝pn＋q?p，q为常数，n∈N＋??{an}是等差数列.,an＝c·qn?c，q均为非零常数，n∈N＋??{an}是等比数列.
?4?前n项和公式法,Sn＝An2＋Bn?A，B均为常数，n∈N＋??{an}是等差数列.,Sn＝kqn－k?k为常数，q≠1且q≠0，n∈N＋??{an}是等比数列.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)求证：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
[解] (1)证明：由题意知anan＋1＝λSn－1，
an＋1an＋2＝λSn＋1－1，
两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，
由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)存在λ＝4满足题意．理由如下：
由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.
由(1)知，a3＝λ＋1，令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.
故an＋2－an＝4.由此可得数列中的奇数项构成的数列{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3＝2(2n－1)－1.
数列中的偶数项构成的数列{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1＝2×(2n)－1.所以对于任意的n∈N＋，an＝2n－1.因为an＋1－an＝2.所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．因此假设成立，存在λ＝4使得数列{an}为等差数列.
数列求和
【例3】 (1)已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，求数列的前n项和Sn.
(2)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3×22n－1.
①求数列{an}的通项公式；
②令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
[解] (1)设等比数列{an}的公比为q，则＝q3＝27，
解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，
故bn＝log3an＝n，
所以＝＝－.
则Sn＝1－＋－＋…＋－
＝1－＝.
(2)①由已知，当n≥1时，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1
＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
∴an＝22n－1.
而a1＝2，符合上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
②由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n×22n－1，①
从而22·Sn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n×22n＋1，②
①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n×22n＋1，
即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．
数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.,一般常见的求和方法有：
?1?公式法?直接利用等差或等比数列的前n项和公式?；
?2?分组求和法；
?3?错位相减法；
?4?倒序相加法；
?5?裂项相消法.把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；
?6?并项求和法.一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝?－1?nf?n?类型，可采用两项合并求解.
3．已知正项数列{an}中，a1＝1，点(，an＋1)(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图像上，数列{bn}的前n项和Sn＝2－bn.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，求{cn}的前n项和Tn.
[解] (1)∵点(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图像上，
∴an＋1＝an＋1，
∴数列{an}是公差为1的等差数列．
∵a1＝1，
∴an＝1＋(n－1)＝n.
∵Sn＝2－bn，∴Sn＋1＝2－bn＋1，
两式相减得：bn＋1＝－bn＋1＋bn，即＝，
由S1＝2－b1，即b1＝2－b1，得b1＝1.
∴数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，
∴bn＝n－1.
(2)log2bn＋1＝log2n＝－n，
∴cn＝＝－，
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＝1－＝.
函数与方程思想在数列中的应用
【例4】 (1)已知数列{an}的首项为a1＝21，前n项和为Sn＝an2＋bn，等比数列{bn}的前n项和Tn＝2n＋1＋a，则Sn的最大值为________；
(2)若等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2·a4·a6＝45，则通项公式an＝________.
(1)66 (2)2n－3或13－2n [(1)由Tn＝2×2n＋a，可求得a＝－2，
所以Sn＝－2n2＋bn，所以数列{an}为等差数列，
又因为a1＝21，Sn＝－2n2＋bn，
故b＝21－(－2)＝23，
所以Sn＝－2n2＋23n
＝－22＋，
当n＝6时，Sn取得最大值66.
(2)因为a1＋a7＝2a4＝a2＋a6，
所以a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5，
所以a2＋a6＝10且a2·a6＝9，
所以a2，a6是方程x2－10x＋9＝0的两根，
解得或
若a2＝1，a6＝9，则d＝2，所以an＝2n－3；
若a2＝9，a6＝1，则d＝－2，所以an＝13－2n.
故an＝2n－3或an＝13－2n.]
1．在等差(比)数列的通项公式和前n项和公式中共有5个量a1，d(或q)，n，an及Sn，已知这5个量中任意3个量的值，就可以运用方程思想，解方程(或方程组)求出另外2个量的值．
2．数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集)的特殊函数．运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决与数列相关的问题．等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系，等差数列前n项和公式与二次函数有密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题．
4．已知数列{an}中，a1＝，anan－1＝2an－1－1(n≥2，n∈N＋)，数列{bn}满足bn＝(n∈N＋)．
(1)求证：{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由．
[解] (1)证明：因为anan－1＝2an－1－1，
所以an＝2－(n≥2，n∈N＋)．
又因为bn＝(n∈N＋)，
所以bn＋1－bn＝－
＝－＝－＝1，
所以{bn}为公差d＝1，首项b1＝＝＝－的等差数列．
(2)由(1)知：bn＝＝－＋(n－1)
＝n－，所以an＝1＋.
所以n≥4时，数列{an}单调递减且an>1；当1≤n≤3时，数列{an}单调递减且an<1，所以数列{an}的最大项为a4＝3；最小项为a3＝－1.
[培优层·素养升华]
【例】 已知函数f(x)＝，数列{an}中，an＋1＝f(an)，且a1＝.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设数列{an}的前n项和Sn，求证：Sn<.
[证明] (1)∵f(x)＝，∴an＋1＝f(an)＝，
即＝＝－2.
∴－1＝3，
又－1＝3，∴数列－1是以3为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)可知－1＝3n，即an＝，n∈N
.
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＋＋…＋<＋＋…＋＝＝－·<.
即证Sn<.
该类问题常以数列间的递推关系为载体，以等差、等比数列的知识为解题工具，考查学生的转化和化归能力.合理应用已有知识化非常规数列为常规数列是解题的关键所在.
已知数列{an}的前n项和Sn，且Sn＝n－5an－85(n∈N
)．
(1)设bn＝an－1(n∈N
)，证明数列{bn}是等比数列；
(2)求n为多少时，Sn取得最小值？
[解] (1)当n＝1时，a1＝1－5a1－85，
∴a1＝－14.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n－5an)－(n－1)＋5an－1，
∴6an＝5an－1＋1，
∴＝＝＝.
∴{bn}是首项b1＝a1－1＝－15，公比为的等比数列．
(2)由(1)可知bn＝－，
∴an＝1－.
由于{an}是单调递增数列，
由an≤0得1－≤0，即≥，
经检验当n≤15时，不等式成立，
∴当n＝15时，Sn取得最小值．
2/10[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
求数列的通项公式
【例1】 已知数列{an}中，an>0，Sn是数列{an}的前n项和，且an＋＝2Sn，求an.
1．定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法适用于已知数列类型的题目．
2．已知Sn求an
若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝求解．
3．由递推公式求数列通项法
(1)已知形如“an＋1＝can＋d”的递推公式，一般利用待定系数法把关系式转化为等比数列求an.
(2)已知形如“an＋1＝pan＋pn＋1·q”的递推公式，一般转化为＝＋q，利用为等差数列求an.
(3)已知形如“an＋1＝an＋f(n)”的递推公式，可考虑叠加法求an.
(4)已知形如“an＋1＝f(n)·an”的递推公式，则可考虑累乘法求an.
1．已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n－n，求数列{an}的通项公式．
等差、等比数列的判断
【例2】 已知数列{an}、{bn}满足：a1＝1，a2＝a(a为常数)，且bn＝an·an＋1，其中n＝1,2,3，….
(1)若{an}是等比数列，试求数列{bn}的前n项和Sn的公式；
(2)当{bn}是等比数列时，甲同学说：{an}一定是等比数列；乙同学说：{an}一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？
判定一个数列是等差或等比数列的常用方法：
?1?定义法,an＋1－an＝d?d为常数，n∈N＋??{an}是等差数列.,＝q?q为非零常数，n∈N＋??{an}是等比数列.
?2?中项法,2an＋1＝an＋an＋2?n∈N＋??{an}是等差数列.,＝anan＋2?anan＋1an＋2≠0，n∈N＋??{an}为等比数列.
?3?通项公式法,an＝pn＋q?p，q为常数，n∈N＋??{an}是等差数列.,an＝c·qn?c，q均为非零常数，n∈N＋??{an}是等比数列.
?4?前n项和公式法,Sn＝An2＋Bn?A，B均为常数，n∈N＋??{an}是等差数列.,Sn＝kqn－k?k为常数，q≠1且q≠0，n∈N＋??{an}是等比数列.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)求证：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
数列求和
【例3】 (1)已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，求数列的前n项和Sn.
(2)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3×22n－1.
①求数列{an}的通项公式；
②令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.,一般常见的求和方法有：
?1?公式法?直接利用等差或等比数列的前n项和公式?；
?2?分组求和法；
?3?错位相减法；
?4?倒序相加法；
?5?裂项相消法.把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；
?6?并项求和法.一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝?－1?nf?n?类型，可采用两项合并求解.
3．已知正项数列{an}中，a1＝1，点(，an＋1)(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图像上，数列{bn}的前n项和Sn＝2－bn.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，求{cn}的前n项和Tn.
函数与方程思想在数列中的应用
【例4】 (1)已知数列{an}的首项为a1＝21，前n项和为Sn＝an2＋bn，等比数列{bn}的前n项和Tn＝2n＋1＋a，则Sn的最大值为________；
(2)若等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2·a4·a6＝45，则通项公式an＝________.
1．在等差(比)数列的通项公式和前n项和公式中共有5个量a1，d(或q)，n，an及Sn，已知这5个量中任意3个量的值，就可以运用方程思想，解方程(或方程组)求出另外2个量的值．
2．数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集)的特殊函数．运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决与数列相关的问题．等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系，等差数列前n项和公式与二次函数有密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题．
4．已知数列{an}中，a1＝，anan－1＝2an－1－1(n≥2，n∈N＋)，数列{bn}满足bn＝(n∈N＋)．
(1)求证：{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由．
[培优层·素养升华]
【例】 已知函数f(x)＝，数列{an}中，an＋1＝f(an)，且a1＝.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设数列{an}的前n项和Sn，求证：Sn<.
该类问题常以数列间的递推关系为载体，以等差、等比数列的知识为解题工具，考查学生的转化和化归能力.合理应用已有知识化非常规数列为常规数列是解题的关键所在.
已知数列{an}的前n项和Sn，且Sn＝n－5an－85(n∈N
)．
(1)设bn＝an－1(n∈N
)，证明数列{bn}是等比数列；
(2)求n为多少时，Sn取得最小值？
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