判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内画“√”，错误的画“×”．
(1)数列的通项公式是唯一的．
( )
(2)若数列{
an
}是等差数列，则an＋1一定是an和an＋2的等差中项.
( )
(3)若b2＝ac，则a，b，c一定构成等比数列.
( )
(4)若数列{
an＋1
－
an
}是等差数列，则{
an
}必为等差数列.
( )
(5)若数列{an}是等差数列，且m＋n＋k＝3l，则am
＋
an
＋
ak
＝3al.
( )
(6)若{
an
}是公比为q的等比数列，且a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…也成等比数列，则q≠－1.
( )
(7)等比数列{an}的单调性是由公比q决定的．
( )
(8)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对?n∈N
，都有an＝Sn－Sn－1.
( )
(9)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．
( )
(10)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．
( )
(11)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.
( )
(12)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．
( )
(13)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．
( )
(14)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln
an}是等差数列．
( )
(15)若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则＝.
( )
(16)已知等差数列{an}的公差为d，则有＝.
( )
(17)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．
( )
(18)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．
( )
(19)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．
( )
(20)已知函数f(x)＝xln
x，则f(x)在上递减．
( )
(21)若函数f(x)在区间(a，b)上满足f′(x)≤0，则函数f(x)在区间(a，b)上是减函数．
( )
(22)f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)>0在(a，b)上恒成立．
( )
(23)x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．
( )
(24)对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
( )
(25)函数的极大值一定大于其极小值．
( )
(26)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．
( )
(27)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
( )
(28)当x>0时，ln
x，x，ex的大小关系是ln
x( )
(29)若函数f(x)＝x(x－a)2在x＝2处取得极小值，则a＝2或a＝6.
( )
(30)函数f(x)在区间(a，b)存在单调区间可转化为不等式f′(x)≤0(或f′(x)
≥0)
在区间(a，b)上有解问题.
( )
[提示] (1)× 数列的通项公式可能没有，也可能不止一个．
(2)√
(3)× 如a＝0，b＝0，c＝1时，一定有a，b，c不成等比数列．
(4)× 如数列1,3,6,10,15,21,28.
(5)√
(6)√
(7)× 等比数列{an}的单调性是由首项a1及公比q共同决定．
(8)× an＝一定要检验a1的情况．
(9)√
(10)× 当公差为0时，等差数列的前n项和公式是常数项为0的一次函数．
(11)× a＝1时不成立．
(12)× an＝(－1)n时不成立．
(13)× an＝(－1)n时不成立．
(14)× an<0时不成立．
(15)√
(16)√
(17)× a＝1时不成立．
(18)× f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的瞬时变化率．
(19)× f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，而[f(x0)]′＝0.
(20)√
(21)× f′(x)＝0的点必须是有限个．
(22)× 函数f(x)在(a，b)上是增函数的充要条件是对?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0.
(23)× f′(x)
≥0恒成立，故x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．
(24)√
(25)× 极值是个局部性概念，函数的极大值不一定大于其极小值．
(26)√
(27)√
(28)√
(29)× 验证极小值的条件，a＝6时不成立．
(30)√
(1)对于数列的考查主要立足于两个方面：一是基本量的运算，主要考查等差(比)数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项和公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可；二是数列的相关性质及等差数列、等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想．
(2)对于导数的考查主要立足于以下两点：一是导数的几何意义，体现函数方程的思想；二是函数的性质与不等式的综合问题，即单调性、极值、最大值、零点及不等式的综合问题；主要考查函数与方程，化归与转化、数形结合及分类讨论的思想意识，考查逻辑推理能力，有一定的知识整合度．
1．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5
B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n
D．Sn＝n2－2n
A [法一：设等差数列{an}的公差为d，
∵
∴解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A.
法二：设等差数列{an}的公差为d，
∵
∴解得选项A，a1＝2×1－5＝－3；选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；选项D，S1＝－2＝－，排除D.故选A.]
2．已知曲线y＝aex＋xln
x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
D [因为y′＝aex＋ln
x＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以解得]
3．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.
[设等比数列的公比为q，则an＝a1qn－1＝qn－1.
∵a1＝1，S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝，
即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－，
∴S4＝＝.]
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝________.
4 [设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2a1，所以＝＝＝＝4.]
5．已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式．
[解] (1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．
又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列．
由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.
又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1.
所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，
bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.
6．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.
(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
[解] (1)设{an}的公差为d.
由S9＝－a5得a1＋4d＝0.
由a3＝4得a1＋2d＝4.
于是a1＝8，d＝－2.
因此{an}的通项公式为an＝10－2n.
(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.
由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
7．已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．
[解] (1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a＞0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0.故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减．
若a＝0，则f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
若a＜0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0.故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．
(2)满足题设条件的a，b存在．
(ⅰ)当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递增，所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)＝b，最大值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当b＝－1，2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1.
(ⅱ)当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递减，所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)＝b，最小值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1.
(ⅲ)当0＜a＜3时，由(1)知，f(x)在[0,1]的最小值为f＝－＋b，最大值为b或2－a＋b.
若－＋b＝－1，b＝1，则a＝3，与0＜a＜3矛盾．
若－＋b＝－1,2－a＋b＝1，则a＝3或a＝－3或a＝0，与0＜a＜3矛盾．
综上，当且仅当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在[0,1]的最小值为－1，最大值为1.
8．已知函数f(x)＝sin
x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数．证明：(1)f′(x)在区间存在唯一极大值点；
(2)f(x)有且仅有2个零点．
[证明] (1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos
x－，g′(x)＝－sin
x＋.当x∈时，g′(x)单调递减，而g′(0)＞0，g′＜0，可得g′(x)在有唯一零点，设为α.则当x∈(－1，α)时，g′(x)＞0；当x∈时，g′(x)＜0.
所以g(x)在(－1，α)单调递增，在单调递减，故g(x)在存在唯一极大值点，即f′(x)在存在唯一极大值点．
(2)f(x)的定义域为(－1，＋∞)．
(ⅰ)当x∈(－1,0]时，由(1)知，f′(x)在(－1,0)单调递增，而f′(0)＝0，所以当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－1,0)单调递减．又f(0)＝0，从而x＝0是f(x)在(－1,0]的唯一零点．
(ⅱ)当x∈时，由(1)知，f′(x)在(0，α)单调递增，在单调递减，而f′(0)＝0，f′＜0，所以存在β∈，使得f′(β)＝0，且当x∈(0，β)时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0.故f(x)在(0，β)单调递增，在单调递减．
又f(0)＝0，f＝1－ln＞0，所以当x∈时，f(x)＞0.从而，f(x)在没有零点．
(ⅲ)当x∈时，f′(x)＜0，所以f(x)在单调递减．而f＞0，f(π)＜0，所以f(x)在有唯一零点．
(ⅳ)当x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)＞1，所以f(x)＜0，从而f(x)在(π，＋∞)没有零点．
综上，f(x)有且仅有2个零点．
2/8判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内画“√”，错误的画“×”．
(1)数列的通项公式是唯一的．
( )
(2)若数列{
an
}是等差数列，则an＋1一定是an和an＋2的等差中项.
( )
(3)若b2＝ac，则a，b，c一定构成等比数列.
( )
(4)若数列{
an＋1
－
an
}是等差数列，则{
an
}必为等差数列.
( )
(5)若数列{an}是等差数列，且m＋n＋k＝3l，则am
＋
an
＋
ak
＝3al.
( )
(6)若{
an
}是公比为q的等比数列，且a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…也成等比数列，则q≠－1.
( )
(7)等比数列{an}的单调性是由公比q决定的．
( )
(8)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对?n∈N
，都有an＝Sn－Sn－1.
( )
(9)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．
( )
(10)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．
( )
(11)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.
( )
(12)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．
( )
(13)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．
( )
(14)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln
an}是等差数列．
( )
(15)若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则＝.
( )
(16)已知等差数列{an}的公差为d，则有＝.
( )
(17)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．
( )
(18)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．
( )
(19)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．
( )
(20)已知函数f(x)＝xln
x，则f(x)在上递减．
( )
(21)若函数f(x)在区间(a，b)上满足f′(x)≤0，则函数f(x)在区间(a，b)上是减函数．
( )
(22)f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)>0在(a，b)上恒成立．
( )
(23)x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．
( )
(24)对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
( )
(25)函数的极大值一定大于其极小值．
( )
(26)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．
( )
(27)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
( )
(28)当x>0时，ln
x，x，ex的大小关系是ln
x( )
(29)若函数f(x)＝x(x－a)2在x＝2处取得极小值，则a＝2或a＝6.
( )
(30)函数f(x)在区间(a，b)存在单调区间可转化为不等式f′(x)≤0(或f′(x)
≥0)
在区间(a，b)上有解问题.
( )
(1)对于数列的考查主要立足于两个方面：一是基本量的运算，主要考查等差(比)数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项和公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可；二是数列的相关性质及等差数列、等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想．
(2)对于导数的考查主要立足于以下两点：一是导数的几何意义，体现函数方程的思想；二是函数的性质与不等式的综合问题，即单调性、极值、最大值、零点及不等式的综合问题；主要考查函数与方程，化归与转化、数形结合及分类讨论的思想意识，考查逻辑推理能力，有一定的知识整合度．
1．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5
B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n
D．Sn＝n2－2n
2．已知曲线y＝aex＋xln
x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
3．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝________.
5．已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式．
6．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.
(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
7．已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．
8．已知函数f(x)＝sin
x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数．证明：(1)f′(x)在区间存在唯一极大值点；
(2)f(x)有且仅有2个零点．
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