5.1 数列基础
5.1.1 数列的概念
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解数列的概念．(重点)2．掌握数列的通项公式及应用．(难点)3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(易错点)
1.通过数列概念的学习，培养数学抽象的素养．2．通过数列通项公式的学习，提升逻辑推理的数学素养.
“微信朋友圈”中的数学
在微信朋友圈，信息的传播速度是惊人的，正所谓“一传十，十传百，百传千，千传万，…”我们能否用下面一列数来记录这一传播过程：
1,10,100,1
000,10
000，…
1．数列的概念及一般形式
思考1：数列1,2,3与数列2,1,3相同吗？
2．数列的分类
类别
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
3.数列的通项公式
一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式．
思考2：数列一定有通项公式吗？
4．数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域
正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})
解析式
数列的通项公式
值域
由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成
表示方法
(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图像法
思考3：数列所对应的图像是连续的吗？
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)1,7,0,11，－3，…，－1
000不构成数列．
( )
(2){an}与an是一样的，都表示数列．
( )
(3)数列1,0,1,0,1,0，…是常数列．
( )
(4)数列1,2,3,4可表示为{1,2,3,4}．
( )
2．(教材P7练习AT2(3)改编)已知数列{an}的通项公式为an＝，那么a5＝( )
A.
B.
C.
D.
3．数列0,1,2,3,4，…的一个通项公式可以为( )
A．an＝n－1
B．an＝n
C．an＝n＋1
D．an＝n2－1
4．下列说法正确的是________(填序号)．
①1,1,1,1是有穷数列；
②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列；
③数列1,2,3,4，…，2n是无穷数列．
数列的概念及分类
【例1】 已知下列数列：
①2
015,2
016,2
017,2
018,2
019,2
020；
②1，，，…，，…；
③1，－，，…，，…；
④1,0，－1，…，sin，…；
⑤2,4,8,16,32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号)
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：
①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；
②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；
③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．
2．判断数列是哪一种类型时要紧扣概念及数列的特点．判断是递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；判断是有穷还是无穷数列则要看项的个数有限还是无限．
1．给出下列数列：
①2013～2020年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.
②无穷多个构成数列，
，
，
，….
③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2,4，－8,16，－32，….
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．
由数列的前几项求通项公式
【例2】 (教材P5例2改编)写出下列数列的一个通项公式：
(1)，2，，8，，…；
(2)9,99,999,9
999，…；
(3)，，，，…；
(4)－，，－，，….
1．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项符号特征．并对此进行归纳、联想．
2．观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
2．写出下列数列的一个通项公式：
(1)0,3,8,15,24，…；
(2)1，－3,5，－7,9，…；
(3)1，2，3，4，…；
(4)1,11,111,1
111，….
数列通项公式的应用
[探究问题]
1．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋2n＋1，该数列的图像有何特点？试利用图像说明该数列的单调性及所有的正数项．
2．若数列{an}满足an＋1－an>0，?n∈N＋都成立，则该数列{an}是递增数列吗？
【例3】 已知函数f(x)＝x－.数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}的增减性．
1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．
2．判断一个数是不是该数列中的项，其方法是由通项公式构造方程，求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．
3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件．
3．已知数列的通项公式为an＝n2＋2n－5.
(1)写出数列的前3项；
(2)判断数列{an}的增减性．
1．{an}与an是含义不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．
2．要注意以下两个易错点：
(1)并非所有的数列都有通项公式，例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．
(2)如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．
3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．具体方法为：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n或(－1)n＋1处理符号；
(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.
1．下列叙述正确的是( )
A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n}
C．数列0,2,0,2，…是常数列
D．数列是递增数列
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为( )
A．1,0,1,0
B．0,1,0,1
C.，0，，0
D．2,0,2,0
3．数列{an}满足an＝log2(n2＋3)－2，则log23是这个数列的第________项．
4．观察数列1,3,6,10，x,21,28，…的特点，则x的值为________．
5．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
2/105.1 数列基础
5.1.1 数列的概念
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解数列的概念．(重点)2．掌握数列的通项公式及应用．(难点)3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(易错点)
1.通过数列概念的学习，培养数学抽象的素养．2．通过数列通项公式的学习，提升逻辑推理的数学素养.
“微信朋友圈”中的数学
在微信朋友圈，信息的传播速度是惊人的，正所谓“一传十，十传百，百传千，千传万，…”我们能否用下面一列数来记录这一传播过程：
1,10,100,1
000,10
000，…
1．数列的概念及一般形式
思考1：数列1,2,3与数列2,1,3相同吗？
[提示] 不同，顺序不一样．
2．数列的分类
类别
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
3.数列的通项公式
一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式．
思考2：数列一定有通项公式吗？
[提示] 不一定．
4．数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域
正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})
解析式
数列的通项公式
值域
由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成
表示方法
(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图像法
思考3：数列所对应的图像是连续的吗？
[提示] 不连续．
拓展：(1)解读数列的通项公式
①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．
②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．
③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的．
(2)摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)1,7,0,11，－3，…，－1
000不构成数列．
( )
(2){an}与an是一样的，都表示数列．
( )
(3)数列1,0,1,0,1,0，…是常数列．
( )
(4)数列1,2,3,4可表示为{1,2,3,4}．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(教材P7练习AT2(3)改编)已知数列{an}的通项公式为an＝，那么a5＝( )
A.
B.
C.
D.
B [∵an＝，∴a5＝＝，故选B.]
3．数列0,1,2,3,4，…的一个通项公式可以为( )
A．an＝n－1
B．an＝n
C．an＝n＋1
D．an＝n2－1
A [结合选项可知，an＝n－1，故选A.]
4．下列说法正确的是________(填序号)．
①1,1,1,1是有穷数列；
②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列；
③数列1,2,3,4，…，2n是无穷数列．
①② [因为1,1,1,1只有4项，所以①正确；②正确；数列1,2,3,4，…，2n共有2n项，是有穷数列，所以③错误．]
数列的概念及分类
【例1】 已知下列数列：
①2
015,2
016,2
017,2
018,2
019,2
020；
②1，，，…，，…；
③1，－，，…，，…；
④1,0，－1，…，sin，…；
⑤2,4,8,16,32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号)
①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ [①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．]
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：
①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；
②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；
③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．
2．判断数列是哪一种类型时要紧扣概念及数列的特点．判断是递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；判断是有穷还是无穷数列则要看项的个数有限还是无限．
1．给出下列数列：
①2013～2020年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.
②无穷多个构成数列，
，
，
，….
③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2,4，－8,16，－32，….
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．
① ②③ ① ② ③ [①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．]
由数列的前几项求通项公式
【例2】 (教材P5例2改编)写出下列数列的一个通项公式：
(1)，2，，8，，…；
(2)9,99,999,9
999，…；
(3)，，，，…；
(4)－，，－，，….
[思路点拨] 先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式．
[解] (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以，它的一个通项公式为an＝(n∈N＋)．
(2)各项加1后，变为10,100,1
000,10
000，…此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1(n∈N＋)．
(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n－1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个从1开始的自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an＝(n∈N＋)．
(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n(n∈N＋)．
1．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项符号特征．并对此进行归纳、联想．
2．观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
2．写出下列数列的一个通项公式：
(1)0,3,8,15,24，…；
(2)1，－3,5，－7,9，…；
(3)1，2，3，4，…；
(4)1,11,111,1
111，….
[解] (1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N＋)．
(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N＋)．
(3)此数列的整数部分为1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝(n∈N＋)．
(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9
999，…，易知数列9,99,999,9
999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)(n∈N＋)．
数列通项公式的应用
[探究问题]
1．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋2n＋1，该数列的图像有何特点？试利用图像说明该数列的单调性及所有的正数项．
[提示] 由数列与函数的关系可知，数列{an}的图像是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图像上的离散的点，如图所示，从图像上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．
2．若数列{an}满足an＋1－an>0，?n∈N＋都成立，则该数列{an}是递增数列吗？
[提示] 是．因为an＋1－an>0，故an＋1>an，所以数列{an}是递增数列．
【例3】 已知函数f(x)＝x－.数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}的增减性．
[思路点拨] 先根据已知条件解方程求an，再利用作差法或作商法判断数列{an}的增减性．
[解] (1)∵f(x)＝x－，f(an)＝－2n，
∴an－＝－2n，即a＋2nan－1＝0，
解得an＝－n±，
∵an>0，∴an＝－n.
(2)法一：(作差法)
∵an＋1－an＝－(n＋1)－(－n)
＝－－1
＝－1
＝－1，
又>n＋1，>n，
∴<1.
∴an＋1－an<0，即an＋1
法二：(作商法)
∵an>0，∴＝
＝<1.
∴an＋11．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．
2．判断一个数是不是该数列中的项，其方法是由通项公式构造方程，求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．
3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件．
3．已知数列的通项公式为an＝n2＋2n－5.
(1)写出数列的前3项；
(2)判断数列{an}的增减性．
[解] (1)数列的前3项：a1＝12＋2×1－5＝－2；
a2＝22＋2×2－5＝3；
a3＝32＋2×3－5＝10.
(2)∵an＝n2＋2n－5，
∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)
＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5
＝2n＋3.
∵n∈N＋，
∴2n＋3>0，∴an＋1>an.
∴数列{an}是递增数列.
1．{an}与an是含义不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．
2．要注意以下两个易错点：
(1)并非所有的数列都有通项公式，例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．
(2)如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．
3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．具体方法为：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n或(－1)n＋1处理符号；
(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.
1．下列叙述正确的是( )
A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n}
C．数列0,2,0,2，…是常数列
D．数列是递增数列
D [令an＝，则an＋1－an＝－＝>0，
∴an＋1>an，1即数列{an}是递增数列，故选D.]
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为( )
A．1,0,1,0
B．0,1,0,1
C.，0，，0
D．2,0,2,0
A [当n分别等于1,2,3,4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.]
3．数列{an}满足an＝log2(n2＋3)－2，则log23是这个数列的第________项．
3 [令an＝log2(n2＋3)－2＝log23，解得n＝3.]
4．观察数列1,3,6,10，x,21,28，…的特点，则x的值为________．
15 [结合数字特征可知3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4,28－21＝7，∴x－10＝5,21－x＝6，∴x＝15.]
5．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
[解] (1)∵an＝3n2－28n，
∴a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，
∴n＝7或n＝(舍)．
∴－49是该数列的第7项，即a7＝－49.
令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，
∴n＝－2或n＝.
∵－2?N＋，?N＋，
∴68不是该数列的项．
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