5.2 等差数列
5．2.1 等差数列
第1课时 等差数列的定义
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的通项公式及运用．(重点、难点)3．掌握等差数列的判定方法．(重点)
1.借助等差数列概念的学习，培养数学抽象的素养．2．通过等差数列通项公式的求解与运用，提高数学运算的素养.
第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？
1．等差数列的概念
一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差．
拓展：等差数列定义的理解
(1)“每一项与它的前一项之差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．
(2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．
2．等差数列的通项公式及其推广
若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.该式可推广为an＝am＋(n－m)d(其中n，m∈N＋)．
思考：等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d是什么函数模型？
[提示] d≠0时，一次函数；d＝0时，常数函数．
3．等差数列的单调性
等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)数列4,4,4，…是等差数列．
( )
(2)若一个数列的前4项分别为1,2,3,4，则{an}(n>4)一定是等差数列．
( )
(3)等差数列{an}中，a1，n，d，an任给三个，可求另一个．
( )
(4)等差数列{an}的通项公式是关于n的一次函数．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．下列数列中不是等差数列的为( )
A．6,6,6,6,6
B．－2，－1,0,1,2
C．5,8,11,14
D．0,1,3,6,10
D [A中给出的是常数列，是等差数列，公差为0；
B中给出的数列是等差数列，公差为1；
C中给出的数列是等差数列，公差为3；
D中给出的数列第2项减去第1项等于1，第3项减去第2项等于2，故此数列不是等差数列．]
3．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝________.
6－2n [∵a1＝4，d＝－2，
∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.]
4．在等差数列{an}中，若a2＝1，a5＝3，则公差d＝________.
[d＝＝＝.]
等差数列的概念
【例1】 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，在数列{bn}中，bn＝3an＋4，试判断{bn}是不是等差数列．
[思路点拨] 可以利用a1和d写出bn的通项公式，也可以直接利用定义判断bn＋1－bn是不是常数．
[解] 法一：由题意可知an＝a1＋(n－1)d(a1，d为常数)，则bn＝3an＋4＝3[a1＋(n－1)d]＋4＝3a1＋3(n－1)d＋4＝3dn＋3a1－3d＋4.
由于bn是关于n的一次函数(或常数函数，当d＝0时)，
故{bn}是等差数列．
法二：根据题意，知bn＋1＝3an＋1＋4，则bn＋1－bn＝3an＋1＋4－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d(常数)．
由等差数列的定义知，数列{bn}是等差数列．
等差数列的判定方法有以下三种：
?1?定义法：an＋1－an＝d?常数??n∈N＋??{an}为等差数列；
?2?等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2?n∈N＋??{an}为等差数列；
?3?通项公式法：an＝an＋b?a，b是常数，n∈N＋??{an}为等差数列.
但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.
1．数列{an}的通项公式an＝4－3n，则此数列( )
A．是公差为4的等差数列
B．是公差为3的等差数列
C．是公差为－3的等差数列
D．是首项为4的等差数列
C [∵an＋1－an＝4－3(n＋1)－(4－3n)＝－3.
∴{an}是公差为－3的等差数列．]
2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，试证明数列是等差数列．
[证明] ∵an＋1＝，
∴＝＝＋，
即－＝2，∴是首项为，公差d＝2的等差数列．
等差数列的通项公式
[探究问题]
1．若{an}是等差数列，试用am，an表示公差d，其中n≠m.
[提示] d＝.
2．若数列{an}的通项公式an＝kn＋b，则该数列是等差数列吗？
[提示] 是．因为an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k，故{an}是等差数列．
【例2】 (教材P19例5改编)(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值．
[思路点拨] 设出基本量a1，d.利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解．
[解] (1)法一：∵a4＝7，a10＝25，
则得
∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
∴通项公式an＝3n－5(n∈N＋)．
法二：∵a4＝7，a10＝25，
∴a10－a4＝6d＝18，
∴d＝3，
∴an＝a4＋(n－4)d＝3n－5(n∈N＋)．
(2)法一：由
得
解得a1＝，d＝－.
∴a15＝a1＋(15－1)d
＝＋14×＝－.
法二：由a7＝a3＋(7－3)d，
即－＝＋4d，
解得d＝－.
∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.
1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，
得求出a1和d，从而确定通项公式．
2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用an＝am＋(n－m)d较为简捷．
3．若x≠y，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么等于________．
[∵数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y均为等差数列，
∴
∴＝1，
即＝，
故＝.]
4．－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
[解] 由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，
得这个数列的通项公式为
an＝－5－4(n－1)＝－4n－1.
由题意知，－401＝－4n－1，
得n＝100，即－401是这个数列的第100项.
1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法有：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)?{an}是等差数列；
(2)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)?{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式；反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
1．已知等差数列{an}中，an－an－1＝2(n≥2)，且a1＝1，则这个数列的通项公式为( )
A．an＝2n－1
B．an＝2n＋1
C．an＝n－1
D．an＝n＋1
A [an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1.]
2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N＋)，则它的公差d为( )
A．2
B．3
C．－2
D．－3
C [d＝an＋1－an＝3－2(n＋1)－(3－2n)＝－2，故选C.]
3．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝________.
18 [公差d＝＝＝2，
∴a10＝a2＋8d＝2＋8×2＝18.]
4．{an}是首项a1＝2，公差d＝3的等差数列，若an＝2
021，则n＝________.
674 [∵a1＝2，d＝3，
∴an＝2＋(n－1)×3＝3n－1.
由3n－1＝2
021得n＝674.]
5．若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg
2n，试说明数列{an}为等差数列．
[解] ∵an＝10＋lg
2n＝10＋nlg
2，
∴an＋1－an＝10＋(n＋1)lg
2－(10＋nlg
2)＝lg
2.
∴{an}为等差数列．
2/75.2 等差数列
5．2.1 等差数列
第1课时 等差数列的定义
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的通项公式及运用．(重点、难点)3．掌握等差数列的判定方法．(重点)
1.借助等差数列概念的学习，培养数学抽象的素养．2．通过等差数列通项公式的求解与运用，提高数学运算的素养.
第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？
1．等差数列的概念
一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差．
拓展：等差数列定义的理解
(1)“每一项与它的前一项之差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．
(2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．
2．等差数列的通项公式及其推广
若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.该式可推广为an＝am＋(n－m)d(其中n，m∈N＋)．
思考：等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d是什么函数模型？
3．等差数列的单调性
等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)数列4,4,4，…是等差数列．
( )
(2)若一个数列的前4项分别为1,2,3,4，则{an}(n>4)一定是等差数列．
( )
(3)等差数列{an}中，a1，n，d，an任给三个，可求另一个．
( )
(4)等差数列{an}的通项公式是关于n的一次函数．
( )
2．下列数列中不是等差数列的为( )
A．6,6,6,6,6
B．－2，－1,0,1,2
C．5,8,11,14
D．0,1,3,6,10
3．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝________.
4．在等差数列{an}中，若a2＝1，a5＝3，则公差d＝________.
等差数列的概念
【例1】 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，在数列{bn}中，bn＝3an＋4，试判断{bn}是不是等差数列．
等差数列的判定方法有以下三种：
?1?定义法：an＋1－an＝d?常数??n∈N＋??{an}为等差数列；
?2?等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2?n∈N＋??{an}为等差数列；
?3?通项公式法：an＝an＋b?a，b是常数，n∈N＋??{an}为等差数列.
但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.
1．数列{an}的通项公式an＝4－3n，则此数列( )
A．是公差为4的等差数列
B．是公差为3的等差数列
C．是公差为－3的等差数列
D．是首项为4的等差数列
2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，试证明数列是等差数列．
等差数列的通项公式
[探究问题]
1．若{an}是等差数列，试用am，an表示公差d，其中n≠m.
2．若数列{an}的通项公式an＝kn＋b，则该数列是等差数列吗？
【例2】 (教材P19例5改编)(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值．
1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，
得求出a1和d，从而确定通项公式．
2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用an＝am＋(n－m)d较为简捷．
3．若x≠y，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么等于________．
4．－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法有：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)?{an}是等差数列；
(2)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)?{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式；反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
1．已知等差数列{an}中，an－an－1＝2(n≥2)，且a1＝1，则这个数列的通项公式为( )
A．an＝2n－1
B．an＝2n＋1
C．an＝n－1
D．an＝n＋1
2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N＋)，则它的公差d为( )
A．2
B．3
C．－2
D．－3
3．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝________.
4．{an}是首项a1＝2，公差d＝3的等差数列，若an＝2
021，则n＝________.
5．若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg
2n，试说明数列{an}为等差数列．
2/7第2课时 等差数列的性质
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习
目
标
核
心
素
养
1.理解等差中项的概念．(重点)2．掌握等差数列中两项及多项之间的关系．(重点、易错点)3．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)
1.借助等差数列中项的学习，提升数据分析的素养．2．通过等差数列性质的学习，培养数学运算的素养.
高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100这道题目的？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？
1．等差中项
如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且A＝.
在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项．
思考1：在等差数列中，任意两项都有等差中项吗？
[提示] 是．
2．等差数列的性质
{an}是公差为d的等差数列，若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq.
①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，ap＋aq＝2as.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
思考2：在等差数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)成立吗？2an＝an＋k＋an－k(n>k>0)是否成立？
[提示] 令s＝t＝n，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；令s＝t＝n，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立．
拓展：(1)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．
(2)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列．
(3)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
(4){an}的公差为d，则d>0?{an}为递增数列；
d<0?{an}为递减数列；d＝0?{an}为常数列．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.
( )
(2)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6，…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3，a4，…是等差数列．
( )
(3)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．
( )
(4)若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2.
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．在等差数列{an}中，若a3＝5，a5＝7，则a7＝( )
A．－1
B．9
C．1
D．6
B [由题意可知a3＋a7＝2a5，∴a7＝2a5－a3＝14－5＝9，故选B.]
3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( )
A．12
B．16
C．20
D．24
B [在等差数列中，由性质可得a2＋a10＝a4＋a8＝16.]
4．17＋，13－的等差中项为________．
15 [设A为其等差中项，则A＝＝＝15.]
等差中项及其应用
【例1】 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列；
(2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值．
[解] (1)∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项．
∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，
∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，
∴c＝＝5.
∴该数列为－1,1,3,5,7.
(2)由x1＝3，得2p＋q＝3，
①
又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，
得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1，
②
将②代入①，得p＝1.
所以p＝q＝1.
三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2?n∈N＋?.
1．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为( )
A.
B.
C.
D.
A [因为a＋b＝＋
＝＝＝2，
所以a，b的等差中项为.]
等差数列性质的应用
【例2】 在公差为d的等差数列{an}中．
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.
[思路点拨] 解答本题可以直接转化为基本量的运算，求出a1和d后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决．
[解] 法一：(1)化成a1和d的方程如下：
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，
即4(a1＋12d)＝48.
∴4a13＝48.
∴a13＝12.
(2)化成a1和d的方程如下：
解得或
∴d＝3或－3.
法二：(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，及a2＋a24＝a3＋a23＝2a13.
得4a13＝48，∴a13＝12.
(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，及a3＋a4＝a2＋a5得
2(a2＋a5)＝34，
即a2＋a5＝17.
解得或
∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3.
1．利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法．
2．巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程．
3．通项公式的变形形式an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)，它又可变形为d＝，应注意把握，并学会应用．
2．设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
35 [法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
法二：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，
∴数列{an＋bn}也构成等差数列，
∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，
∴2×21＝7＋a5＋b5，∴a5＋b5＝35.]
等差数列的设法与求解
[探究问题]
1．对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法：
(1)设这三个数分别为a，b，c.
(2)设该数列的首项为a，公差为d，则这三个数分别为a，a＋d，a＋2d.
(3)设该数列的中间项为b，公差为d，则这三个数分别为b－d，b，b＋d.
那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？
[提示] 方法(3)可能更便捷一些．
2．如果四个数成等差数列，如何设更方便运算？
[提示] 可以设四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
【例3】 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．
[解] 法一：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得
解得或
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得
化简，得
解得或
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
法三：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得
化简，得
解得
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列．
2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d.
3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d.
3．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
[解] 设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则
解得
∴这三个数为4,3,2.
1．若数列{an}满足2an＝an＋k＋an－k(n，k∈N＋，n>k)?{an}为等差数列．
2．等差数列的性质：
(1)在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为an＝am＋(n－m)d.
(2)等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
(3)等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
3．等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
1．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝33，则a3＋a5＝( )
A．36
B．37
C．38
D．39
C [a3＋a5＝a2＋a6＝5＋33＝38.]
2．已知等差数列{an}，则使数列{bn}一定为等差数列的是( )
A．bn＝－an
B．bn＝a
C．bn＝
D．bn＝
A [∵数列{an}是等差数列，
∴an＋1－an＝d(常数)．
对于A：bn＋1－bn＝an－an＋1＝－d，正确；对于B不一定正确，如an＝n，则bn＝a＝n2，显然不是等差数列；对于C，D：及不一定有意义，故选A.]
3．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z＝________.
39 [∵5，x，y，z,21成等差数列，∴y是5和21的等差中项也是x和z的等差中项，∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，∴x＋y＋z＝39.]
4．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.
15 [在等差数列{an}中，由于a7＋a9＝a4＋a12，所以a12＝(a7＋a9)－a4＝16－1＝15.]
5．在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求该数列的通项公式．
[解] 因为a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，
a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，
所以a5＝3.
法一：a3＋a7＝2a5＝6.
①
所以a3·a7＝－7.
②
由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.
当a3＝－1时，d＝2；当a3＝7时，d＝－2.
由an＝a3＋(n－3)d，
得an＝2n－7或an＝－2n＋13.
法二：a3·a7＝－7，
∴(a5－2d)(a5＋2d)＝－7，
∴(3－2d)(3＋2d)＝－7，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a5＋(n－5)d＝3＋2(n－5)＝2n－7；
若d＝－2，an＝a5＋(n－5)d＝3－2(n－5)＝13－2n.
∴an＝2n－7或an＝－2n＋13.
2/9第2课时 等差数列的性质
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解等差中项的概念．(重点)2．掌握等差数列中两项及多项之间的关系．(重点、易错点)3．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)
1.借助等差数列中项的学习，提升数据分析的素养．2．通过等差数列性质的学习，培养数学运算的素养.
高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100这道题目的？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？
1．等差中项
如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且A＝.
在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项．
思考1：在等差数列中，任意两项都有等差中项吗？
2．等差数列的性质
{an}是公差为d的等差数列，若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq.
①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，ap＋aq＝2as.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
思考2：在等差数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)成立吗？2an＝an＋k＋an－k(n>k>0)是否成立？
拓展：(1)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．
(2)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列．
(3)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
(4){an}的公差为d，则d>0?{an}为递增数列；
d<0?{an}为递减数列；d＝0?{an}为常数列．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.
( )
(2)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6，…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3，a4，…是等差数列．
( )
(3)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．
( )
(4)若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2.
( )
2．在等差数列{an}中，若a3＝5，a5＝7，则a7＝( )
A．－1
B．9
C．1
D．6
3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( )
A．12
B．16
C．20
D．24
4．17＋，13－的等差中项为________．
等差中项及其应用
【例1】 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列；
(2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值．
三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2?n∈N＋?.
1．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为( )
A.
B.
C.
D.
等差数列性质的应用
【例2】 在公差为d的等差数列{an}中．
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.
1．利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法．
2．巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程．
3．通项公式的变形形式an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)，它又可变形为d＝，应注意把握，并学会应用．
2．设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
等差数列的设法与求解
[探究问题]
1．对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法：
(1)设这三个数分别为a，b，c.
(2)设该数列的首项为a，公差为d，则这三个数分别为a，a＋d，a＋2d.
(3)设该数列的中间项为b，公差为d，则这三个数分别为b－d，b，b＋d.
那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？
2．如果四个数成等差数列，如何设更方便运算？
【例3】 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．
1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列．
2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d.
3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d.
3．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
1．若数列{an}满足2an＝an＋k＋an－k(n，k∈N＋，n>k)?{an}为等差数列．
2．等差数列的性质：
(1)在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为an＝am＋(n－m)d.
(2)等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
(3)等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
3．等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
1．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝33，则a3＋a5＝( )
A．36
B．37
C．38
D．39
2．已知等差数列{an}，则使数列{bn}一定为等差数列的是( )
A．bn＝－an
B．bn＝a
C．bn＝
D．bn＝
3．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z＝________.
4．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.
5．在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求该数列的通项公式．
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