5．3 等比数列
5．3.1 等比数列
第1课时 等比数列的定义
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解等比数列的定义．(重点)2.掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)3.熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)
1.通过等比数列概念的学习，培养数学抽象的素养.2.借助等比数列的通项公式及其应用的学习，培养数学运算的素养.
有人说过：你如果能将一张纸对折42次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球．(假设纸的厚度为0.1
mm)
这个实例所包含的数学问题，用数字反应如下：
1,2,4,8,16,32,64,128，…
问题：该组数字的后一项与前一项存在怎样的等量关系？是什么数列？
1．等比数列的概念
一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称数列{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比．
思考1：在等比数列{an}中，某一项可以为0吗？
拓展：对等比数列的定义的理解
(1)“从第2项起”有两层含义，第一层是第一项没有“前一项”，第二层是包含第一项后的所有项．
(2)“每一项与前一项的比”意思也有两层，第一层指相邻的两项之间，第二层指后项与前项的比．
2．等比数列的通项公式及其推广
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式an＝a1qn－1，该式可推广为an＝amqn－m，其中n，m∈N
.
思考2：等比数列通项公式an＝a1qn－1是关于n的指数型函数吗？
3．等比数列的单调性
等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
(1)当q>1，a1>0或0(2)当q>1，a1<0或00时，数列为递减数列；
(3)当q＝1时，数列为常数列；
(4)当q<0时，数列为摆动数列．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若an＋1＝qan，n∈N
且q≠0，则{an}是等比数列．
( )
(2)等比数列{an}中，an＝a1qn，n∈N
.
( )
(3)常数列一定是等比数列．
( )
(4)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列．
( )
2．已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为( )
A．an＝2·3n＋1
B．an＝3·2n＋1
C．an＝2·3n－1
D．an＝3·2n－1
3．下列数列为等比数列的是( )
A．2,22,3×22，…
B.，，，…
C．S－1，(S－1)2，(S－1)3，…
D．0,0,0，…
4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝________.
等比数列基本量的求解
【例1】 在等比数列{an}中．
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n；
(3)a3＝2，a2＋a4＝，求an.
a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程?组?，求出a1和q.
1．(1)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n.
(2)在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an.
等比数列的判断与证明
[探究问题]
1．如何证明数列{an}是等比数列？
2．如何证明数列{an＋1}是等比数列？
【例2】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
由递推关系an＋1＝Aan＋B?A，B为常数，且A≠0，A≠1?求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A?an＋λ?可得λ＝，这样就构造了等比数列{an＋λ}.
2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，求数列{bn}的通项公式．
【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
1．已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解．
2．判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：
①定义法：＝q(q为常数且不为零)?{an}为等比数列．
②通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)?{an}为等比数列．
③构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可．
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列，并求出通项公式．
1．等比数列定义的理解
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．
(2)均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒．
(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列．
2．等比数列的通项公式
(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．
(2)在公式an＝a1qn－1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．
(3)在公式an＝amqn－m中，体现了已知任意两项便可求公比q，即可求任意一项的思想．
1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于( )
A．16
B．16或－16
C．32
D．32或－32
2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A．4
B．6
C．5
D．32
3．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a满足( )
A．a≠1
B．a≠0或a≠1
C．a≠0
D．a≠0且a≠1
4．在等比数列{an}中，若a2＝18，a4＝8，则公比q＝________.
5．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求an.
1/95．3 等比数列
5．3.1 等比数列
第1课时 等比数列的定义
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解等比数列的定义．(重点)2.掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)3.熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)
1.通过等比数列概念的学习，培养数学抽象的素养.2.借助等比数列的通项公式及其应用的学习，培养数学运算的素养.
有人说过：你如果能将一张纸对折42次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球．(假设纸的厚度为0.1
mm)
这个实例所包含的数学问题，用数字反应如下：
1,2,4,8,16,32,64,128，…
问题：该组数字的后一项与前一项存在怎样的等量关系？是什么数列？
1．等比数列的概念
一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称数列{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比．
思考1：在等比数列{an}中，某一项可以为0吗？
[提示] 一定不能为0.
拓展：对等比数列的定义的理解
(1)“从第2项起”有两层含义，第一层是第一项没有“前一项”，第二层是包含第一项后的所有项．
(2)“每一项与前一项的比”意思也有两层，第一层指相邻的两项之间，第二层指后项与前项的比．
2．等比数列的通项公式及其推广
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式an＝a1qn－1，该式可推广为an＝amqn－m，其中n，m∈N
.
思考2：等比数列通项公式an＝a1qn－1是关于n的指数型函数吗？
[提示] 不一定．如当q＝1时，an是关于n的常数函数．
3．等比数列的单调性
等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
(1)当q>1，a1>0或0(2)当q>1，a1<0或00时，数列为递减数列；
(3)当q＝1时，数列为常数列；
(4)当q<0时，数列为摆动数列．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若an＋1＝qan，n∈N
且q≠0，则{an}是等比数列．
( )
(2)等比数列{an}中，an＝a1qn，n∈N
.
( )
(3)常数列一定是等比数列．
( )
(4)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为( )
A．an＝2·3n＋1
B．an＝3·2n＋1
C．an＝2·3n－1
D．an＝3·2n－1
C [由已知可得a1＝2，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝2·3n－1.]
3．下列数列为等比数列的是( )
A．2,22,3×22，…
B.，，，…
C．S－1，(S－1)2，(S－1)3，…
D．0,0,0，…
B [结合等比数列的定义可知选项B正确．]
4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝________.
[法一：∵a2＝a1q＝2，
①
a5＝a1q4＝，
②
∴②÷①得：q3＝，∴q＝.
法二：∵a5＝a2q3，∴q3＝?q＝.]
等比数列基本量的求解
【例1】 在等比数列{an}中．
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n；
(3)a3＝2，a2＋a4＝，求an.
[解] (1)法一：∵
∴
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，∴an＝a1qn－1＝2.
法二：∵a7＝a4q3，∴q3＝＝＝4，
∴q＝.
∴an＝a4qn－4＝2×4＝2×2＝2.
(2)法一：∵
由得q＝，从而a1＝32，又an＝1，
∴32×＝1，即26－n＝20，
∴n＝6.
法二：∵a3＋a6＝q(a2＋a5)，
∴q＝.
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.
(3)设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.
a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝，解得q1＝，q2＝3.
当q＝时，a1＝18，∴an＝18×＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
综上，当q＝时，an＝2×33－n；当q＝3时，an＝2×3n－3.
a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程?组?，求出a1和q.
1．(1)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n.
(2)在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an.
[解] (1)由an＝a1·qn－1，得＝，
即，得n＝4.
(2)因为
由得q＝或q＝2.
当q＝时，a1＝－16；当q＝2时，a1＝1.
∴an＝－16·或an＝2n－1.
等比数列的判断与证明
[探究问题]
1．如何证明数列{an}是等比数列？
[提示] 只需证明＝q，(q≠0)即可．
2．如何证明数列{an＋1}是等比数列？
[提示] 只需证明＝q，(q≠0)即可．
【例2】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)，
又a1＝1，故an＋1≠0，
∴＝2.
∴数列{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)可知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．
∴an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1.
由递推关系an＋1＝Aan＋B?A，B为常数，且A≠0，A≠1?求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A?an＋λ?可得λ＝，这样就构造了等比数列{an＋λ}.
2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，求数列{bn}的通项公式．
[解] an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，
即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋＝＋4.
又a1＝1，故b1＝＝－1，
所以是首项为－，公比为4的等比数列，
所以bn＋＝－×4n－1，
bn＝－－.
【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
[解] (1)由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，
∴a1＝－.
又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明：当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－.
又a1＝－，
所以数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
1．已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解．
2．判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：
①定义法：＝q(q为常数且不为零)?{an}为等比数列．
②通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)?{an}为等比数列．
③构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可．
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列，并求出通项公式．
[证明] ∵Sn＝2an＋1，
∴Sn＋1＝2an＋1＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an，∴an＋1＝2an，
又∵S1＝2a1＋1＝a1，
∴a1＝－1≠0.
又由an＋1＝2an知an≠0，
∴＝2，
∴{an}是等比数列．
∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.
1．等比数列定义的理解
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．
(2)均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒．
(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列．
2．等比数列的通项公式
(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．
(2)在公式an＝a1qn－1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．
(3)在公式an＝amqn－m中，体现了已知任意两项便可求公比q，即可求任意一项的思想．
1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于( )
A．16
B．16或－16
C．32
D．32或－32
C [由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2，所以a3＝a1q2＝8×4＝32.]
2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A．4
B．6
C．5
D．32
B [由等比数列的通项公式，得128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.]
3．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a满足( )
A．a≠1
B．a≠0或a≠1
C．a≠0
D．a≠0且a≠1
D [由于a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则a需满足a≠0，a(1－a)≠0，a(1－a)2≠0，所以a≠0且a≠1.]
4．在等比数列{an}中，若a2＝18，a4＝8，则公比q＝________.
± [由题意可知q2＝＝＝，即q＝±.]
5．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求an.
[解] (1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
下面证明{an－n}是等比数列：
＝＝
＝3(n＝1,2,3，…)．
又a1－1＝－2，∴数列{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，
∴an＝n－2·3n－1.
1/9第2课时 等比数列的性质
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解等比中项的概念．(易错点)2.掌握等比数列的性质及其应用．(重点)3.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点)
1.通过等比数列性质的学习，培养逻辑推理的素养.2.通过等比数列与等差数列的综合应用的学习，提升数学运算素养.
在等差数列{an}中，通项公式可推广为an＝am＋(n－m)d，并且若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
问题：在等比数列中有无类似的性质？
1．等比中项
定义
如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项
关系式
G2＝xy
结论
在等比数列中，中间每一项都是它的前一项与后一项的等比中项
思考：G是x与y的等比中项的充要条件为G2＝xy吗？
2．等比数列的性质
在等比数列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则as·at＝ap·aq.
(1)特别地，当2s＝p＋q(s，p，q∈N＋)时，ap·aq＝a.
(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
拓展：(1)“子数列”性质
对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk.
(2)两个等比数列合成数列的性质
若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an·bn}，也为等比数列．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任意两个实数都有等比中项．
( )
(2)在等比数列{an}中，a2·a8＝a10.
( )
(3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．
( )
(4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列．
( )
2．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于( )
A．±
B．－
C.
D．±
3．(教材P34练习AT3改编)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( )
A．4
B．8
C．16
D．32
∴a2·a6＝a＝16.]
4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝________.
等比中项的应用
【例1】 (1)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
(2)在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝________.
由等比中项的定义可知：＝?G2＝ab?G＝±.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数.反之，若G2＝ab，则＝，即a，G，b成等比数列.所以a，G，b成等比数列?G2＝ab?ab≠0?.
1．已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
等比数列性质的应用
【例2】 (1)已知数列{an}为等比数列．若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，则a3＋a5＝________.
(2)在2和8之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于________．
在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦.通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果.
2．在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.
等比数列的设法与求解
[探究问题]
1．类比等差数列中相邻三项的设法，想一想：等比数列中的相邻三项如何设运算更方便？
2．如果四个数成等比数列，如何设更方便运算？
【例3】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
合理地设出所求数中的三个数，根据题意再表示出另一个数是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.
3．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．
1．在数列{an}中，a＝an－k·an＋k(n，k∈N＋，n>k)是{an}成等比数列的必要不充分条件．
2．等比数列的常用性质：
(1)如果m＋n＝k＋l，则有aman＝akal；
(2)如果m＋n＝2k，am·an＝a；
(3)若m，n，p成等差数列，am，an，ap成等比数列；
(4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列；
(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|；
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝….
3．根据等比中项和等比数列的性质巧设等比数列中的项：
当三个数成等比数列且知这三个数的积时，一般将这三个数设为，a，aq；当有五个数成等比数列时，常设为，，a，aq，aq2.
1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
2．等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为( )
A．±4
B．4
C．±
D.
3．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________.
4．在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值．
2/8第2课时 等比数列的性质
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解等比中项的概念．(易错点)2.掌握等比数列的性质及其应用．(重点)3.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点)
1.通过等比数列性质的学习，培养逻辑推理的素养.2.通过等比数列与等差数列的综合应用的学习，提升数学运算素养.
在等差数列{an}中，通项公式可推广为an＝am＋(n－m)d，并且若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
问题：在等比数列中有无类似的性质？
1．等比中项
定义
如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项
关系式
G2＝xy
结论
在等比数列中，中间每一项都是它的前一项与后一项的等比中项
思考：G是x与y的等比中项的充要条件为G2＝xy吗？
[提示] 不是．若G是x与y的等比中项，则G2＝xy，反之不成立．
2．等比数列的性质
在等比数列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则as·at＝ap·aq.
(1)特别地，当2s＝p＋q(s，p，q∈N＋)时，ap·aq＝a.
(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
拓展：(1)“子数列”性质
对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk.
(2)两个等比数列合成数列的性质
若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an·bn}，也为等比数列．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任意两个实数都有等比中项．
( )
(2)在等比数列{an}中，a2·a8＝a10.
( )
(3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．
( )
(4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于( )
A．±
B．－
C.
D．±
C [在等比数列中，a＝a1·a5，所以a5＝＝.]
3．(教材P34练习AT3改编)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( )
A．4
B．8
C．16
D．32
C [∵{an}是等比数列，
∴a2·a6＝a＝16.]
4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝________.
25 [∵{an}是等比数列，
∴a8·a11＝a9·a10＝a7·a12，
∴a8a9a10a11＝(a9a10)2＝(a7a12)2＝52＝25.]
等比中项的应用
【例1】 (1)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
(2)在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝________.
(1)B (2) [(1)因为b2＝(－1)×(－9)＝9，a2＝－1×b＝－b＞0，所以b＜0，所以b＝－3，且a，c必同号．
所以ac＝b2＝9.
(2)由题意知a3是a1和a9的等比中项，
∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，
∴＝＝.]
由等比中项的定义可知：＝?G2＝ab?G＝±.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数.反之，若G2＝ab，则＝，即a，G，b成等比数列.所以a，G，b成等比数列?G2＝ab?ab≠0?.
1．已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
[解] 设该等比数列的公比为q，首项为a1，
∵
∴
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)．
上述两式相除，得q(1－q)＝?q＝.
∴a1＝＝＝96.
若G是a5，a7的等比中项，则应有
G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10
＝962·10＝9.
∴a5，a7的等比中项是±3.
等比数列性质的应用
【例2】 (1)已知数列{an}为等比数列．若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，则a3＋a5＝________.
(2)在2和8之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于________．
(1)6 (2)64 [(1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，
∴a＋2a3a5＋a＝36，
∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
(2)设a1＝2，a5＝8，
∴a3＝＝4，
∴a2·a3·a4＝a·a3＝a＝43＝64.]
在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦.通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果.
2．在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.
[解] 因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8.
联立可解得或
当时，q3＝－，故a1＋a10＝＋a7q3＝－7；
当时，q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7.
即a1＋a10的值为－7.
等比数列的设法与求解
[探究问题]
1．类比等差数列中相邻三项的设法，想一想：等比数列中的相邻三项如何设运算更方便？
[提示] 可设为，a，aq或a，aq，aq2(q≠0)．
2．如果四个数成等比数列，如何设更方便运算？
[提示] 可设为，a，aq，aq2或，，aq，aq3(q≠0)．
【例3】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
[解] 法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得解得或
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
法二：设四个数依次为－a，，a，aq(a≠0)，
由条件得解得或
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝3，q＝时，
所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
合理地设出所求数中的三个数，根据题意再表示出另一个数是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.
3．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．
[解] 设三个数依次为，a，aq，
∵·a·aq＝512，∴a＝8.
∵＋(aq－2)＝2a，
∴2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝，
∴这三个数为4,8,16或16,8,4.
1．在数列{an}中，a＝an－k·an＋k(n，k∈N＋，n>k)是{an}成等比数列的必要不充分条件．
2．等比数列的常用性质：
(1)如果m＋n＝k＋l，则有aman＝akal；
(2)如果m＋n＝2k，am·an＝a；
(3)若m，n，p成等差数列，am，an，ap成等比数列；
(4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列；
(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|；
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝….
3．根据等比中项和等比数列的性质巧设等比数列中的项：
当三个数成等比数列且知这三个数的积时，一般将这三个数设为，a，aq；当有五个数成等比数列时，常设为，，a，aq，aq2.
1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
D [因为a＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．]
2．等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为( )
A．±4
B．4
C．±
D.
A [a4＝a1q3＝×23＝1，
a8＝a1q7＝×27＝16，
∴a4与a8的等比中项为±＝±4.]
3．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________.
7 [∵a6a10＝a，a3a5＝a，∴a＋a＝41.
又a4a8＝4，∴(a4＋a8)2＝a＋a＋2a4a8＝41＋8＝49.
∵数列{an}各项都是正数，∴a4＋a8＝7.]
4．在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值．
[解] 在等比数列{an}中，
∵a1·a9＝a3·a7，
∴由已知可得a3·a7＝64且a3＋a7＝20.
联立得或
∵{an}是递增等比数列，∴a7>a3.
∴取a3＝4，a7＝16，
∴16＝4q4，∴q4＝4.
∴a11＝a7·q4＝16×4＝64.
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