(共65张PPT)
1.会识别空间向量的夹角.
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 空间向量的夹角
1.定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作
＝a，
＝b，则
叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉.
∠AOB
2.范围：
.
特别地，当〈a，b〉＝
时，a⊥b.
0≤〈a，b〉≤π
思考
当〈a，b〉＝0和〈a，b〉＝π时，向量a与b有什么关系？
答案 当〈a，b〉＝0时，a与b同向；
当〈a，b〉＝π时，a与b反向.
知识点二 空间向量的数量积
定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos
〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b＝
.
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质
①a⊥b?_______
②a·a＝a2＝|a|2
运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交换律).
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
|a||b|cos〈a，b〉
a·b＝0
思考1 向量的数量积运算是否满足结合律？
答案 不满足结合律，(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的.
答案 不能，向量没有除法.
知识点三
向量a的投影
1.如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉
，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2)).
2.如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到
，向量
称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，
的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
2.若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
3.对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.( )
4.若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
×
×
√
2
题型探究
PART
TWO
一、数量积的计算
例1 如图所示，在棱长为1的正四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
＝cos
60°－cos
60°＝0.
反思感悟
求空间向量数量积的步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.
跟踪训练1 (1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于
A.1
B.2
C.3
D.4
√
解析 ∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，
∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2
＝3＋0－2＝1.
2
＝4－0＋0－2＝2.
二、利用数量积证明垂直问题
例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
又∵OG∩BD＝O，OG?平面GBD，BD?平面GBD，
∴A1O⊥平面GBD.
反思感悟
用向量法证明几何中垂直关系问题的思路
(1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可.
(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可.
跟踪训练2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.
证明 在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，
所以AD2＋BD2＝AB2，
三、用数量积求解夹角和模
例3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点.
延伸探究
2.(变条件)本例中，若CA＝CB＝AA1＝1，其他条件不变，求异面直线CA1与AB的夹角.
所以异面直线CA1与AB的夹角为60°.
反思感悟
求向量的夹角和模
(1)求两个向量的夹角：利用公式cos〈a，b〉＝
求cos〈a，b〉，进而确定〈a，b〉.
(2)求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量；
②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝
，计算出|a|，即得所求长度(距离).
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
√
(2)已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为
√
且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
3
随堂演练
PART
THREE
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是
1
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3
4
5
√
2.设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有
√
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√
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4.若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝_____.
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5
解析 |a－b＋2c|2＝(a－b＋2c)2
＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝5.
1
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60°
1
即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，
方法二 根据向量的线性运算可得
1
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4
5
1.知识清单：
(1)空间向量的夹角、投影.
(2)空间向量数量积、性质及运算律.
2.方法归纳：化归转化.
3.常见误区：空间向量的数量积的三点注意
(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定.
(2)当a≠0，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－
b)·a等于
√
基础巩固
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解析 (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos
120°
2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝
，则两直线的夹角为
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
√
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所以θ＝120°，
则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.
3.已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为
A.－6
B.6
C.3
D.－3
√
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解析 由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，
所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
所以2k－12＝0，
所以k＝6.
4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则
的值为
√
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5.已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是
√
解析 可用排除法.因为PA⊥平面ABCD，
又由AD⊥AB，AD⊥PA可得AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，
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6.已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝____.
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22
解析 |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，
∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，
故|a－b|＝22.
7.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝_____.
60°
解析 由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，
代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，
所以〈a，b〉＝60°.
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0°
0°
90°
由题意知OO1是正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高，
故OO1⊥平面A1B1C1D1，
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9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角.
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解 不妨设正方体的棱长为1，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.
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10.如图，正四棱锥P－ABCD的各棱长都为a.
(1)用向量法证明BD⊥PC；
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∴BD⊥PC.
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＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos
60°＋2a2cos
60°＝5a2，
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
√
综合运用
即△ABC是等腰三角形.
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12.已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
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∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴a与b所成的角是60°.
13.已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为
A.－13
B.－5
C.5
D.13
√
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解析 ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
14.
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则
的值为______.
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拓广探究
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16.如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长.
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解 由AC⊥α，可知AC⊥AB，
过点D作DD1⊥α，
D1为垂足，连接BD1，
则∠DBD1为BD与α所成的角，
即∠DBD1＝30°，
所以∠BDD1＝60°，
因为AC⊥α，DD1⊥α，所以AC∥DD1，
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因为BD⊥AB，AC⊥AB，
＝242＋72＋242＋2×24×24×cos
120°＝625，
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