(共56张PPT)
1.理解向量共线、向量共面的定义.
2.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 共线向量
1.空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使
.
2.直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把
称为直线l的方向向量.
a＝λb
与向量a平行的非零向量
思考1 对于空间向量a，b，c，若a∥b且b∥c，
是否可以得到a∥c?
答案 不能.若b＝0，则对任意向量a，c都有a∥b且b∥c.
思考2 怎样利用向量共线证明A，B，C三点共线？
知识点二 共面向量
1.共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段
所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
2.向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使
.
p＝xa＋yb
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
2.若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.( )
3.空间中任意三个向量一定是共面向量.( )
×
×
×
×
2
题型探究
PART
TWO
一、向量共线的判定及应用
证明 ∵E，H分别是AB，AD的中点，
又F不在直线EH上，
∴四边形EFGH是梯形.
反思感悟
向量共线的判定及应用
(1)本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别.
(2)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.
(3)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使
所以m＋n＝1.
1
求证：E，F，B三点共线.
二、向量共面的判定
(2)判断M是否在平面ABC内.
而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，
∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内.
反思感悟
解决向量共面的策略
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.
(2)已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
①E，F，G，H四点共面.
证明 如图，连接EG，BG.
即E，F，G，H四点共面.
②BD∥平面EFGH.
所以EH∥BD.
又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
核心素养之逻辑推理与数学运算
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
LUO
JI
TUI
LI
YU
SHU
XUE
YUN
SUAN
空间共线向量定理的应用
典例 如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN.
证明 ∵M，N分别是AC，BF的中点，
又四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
∵点C不在MN上，∴CE∥MN.
素养提升
证明空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向向量共线问题.这里关键是利用向量的线性运算，从而确定
中的λ的值.
3
随堂演练
PART
THREE
1.满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是
√
1
2
3
4
5
A.P∈直线AB
B.P?直线AB
C.点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D.以上都不对
√
解析 因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
1
2
3
4
5
3.下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是
√
1
2
3
4
5
∴点M，A，B，C共面.
且M，A，B，C四点共面，
√
1
2
3
4
5
5.已知非零向量e1，e2不共线，则使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是_____.
1
2
3
4
5
±1
解析 若ke1＋e2与e1＋ke2共线，
则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
所以k＝±1.
1.知识清单：
(1)空间向量共线的充要条件，直线的方向向量.
(2)空间向量共面的充要条件.
2.方法归纳：转化化归.
3.常见误区：
混淆向量共线与线段共线、点共线.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
A.A，B，D
B.A，B，C
C.B，C，D
D.A，C，D
√
基础巩固
所以A，B，D三点共线.
1
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3
4
5
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15
16
2.对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是
A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线也不共面的向量
√
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16
A.有相同起点的向量
B.等长向量
C.共面向量
D.不共面向量
√
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又∵P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，
但四点共面，
√
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5.(多选)下列命题中错误的是
B.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
√
√
√
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解析 显然A正确；
若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|
－|b||，故B错误；
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16
只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故D错误.
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1
即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2，
故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0，
又∵e1，e2不共线，
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解析 由题意知A，B，C，D共面的充要条件是：对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，
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－1
因此，2x＋3y＋4z＝－1.
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A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
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综合运用
√
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令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.
√
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A.在平面BAD1内
B.在平面BA1D内
C.在平面BA1D1内
D.在平面AB1C1内
√
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16
于是M，B，A1，D1四点共面.
14.有下列命题：
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2
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16
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.
其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上).
②③④
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15
16
则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；
易知④也正确.
解析 根据P，A，B，C四点共面的条件，知存在实数x，y，z，
拓广探究
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16.如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.
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求证：B，G，N三点共线.
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又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线.
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16(共52张PPT)
1.理解空间向量的有关概念.
2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.
3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 空间向量的概念
1.定义：在空间，具有
和
的量叫做空间向量.
2.长度或模：向量的
.
3.表示方法：
①几何表示法：空间向量用
表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作
，其模记为|a|或|
|.
大小
方向
大小
有向线段
4.几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
的向量叫做零向量，记为0
单位向量
的向量称为单位向量
相反向量
与向量a长度
而方向
的向量，称为a的相反向量，记为－a
共线向量
(平行向量)
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量
方向
且模
的向量称为相等向量
长度为0
模为1
相等
相反
相同
相等
思考 空间中的两个向量是不是共面向量？
答案 是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.
知识点二 空间向量的线性运算
空间向量的线性运算
加法
?
减法
数乘
?
运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
当λ＝0时，λa＝0
思考1 怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？
答案 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和.加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
思考2 由数乘λa＝0，可否得出λ＝0?
答案 不能.λa＝0?λ＝0或a＝0.
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.两个有公共终点的向量，一定是共线向量.( )
2.在空间中，任意一个向量都可以进行平移.( )
3.空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算.( )
×
√
×
√
2
题型探究
PART
TWO
一、向量概念的应用
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是
A.方向相反的两个向量是相反向量
B.空间中任意两个单位向量必相等
D.相等向量其方向必相同
√
解析 A中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；
B中，单位向量模都相等而方向不确定；
C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.
(2)(多选)下列说法中正确的是
A.若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B.若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C.空间向量的加法满足结合律
D.任一向量与它的相反向量不相等
√
√
解析 |a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；
对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；
空间向量的加法满足结合律，C正确；
零向量的相反向量仍是零向量.故选BC.
反思感悟
空间向量的概念问题
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.
跟踪训练1 下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________.
①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
②平行且模相等的两个向量是相等向量；
③若a≠b，则|a|≠|b|；
④两个向量相等，则它们的起点与终点相同.
①
解析 根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；
平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；
当a＝－b时，也有|a|＝|b|，③不正确；
只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，④不正确.
综上可知只有①正确.
二、空间向量的加减运算
例2 如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.
延伸探究
解 在平行四边形ACC′A′中，
在平行四边形ABCD中，
反思感悟
空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
跟踪训练2 (多选)如图，在正方体ABCD
－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为
的是
√
√
三、空间向量的线性运算
例3 在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式.
所以由向量的加法法则，
解 如图所示，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，
反思感悟
利用数乘运算进行向量表示的注意点
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题.
√
3
随堂演练
PART
THREE
1.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
√
1
2
3
4
5
2.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是
A.a＝b
B.a＋b为实数0
C.a与b方向相同
D.|a|＝3
√
1
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5
解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反，故选D.
3.设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是
√
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3
4
5
A.平行四边形
B.空间四边形
C.等腰梯形
D.矩形
√
1
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5
∴四边形ABCD为平行四边形.
5.化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.
1
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4
5
3a－2b
1.知识清单：
(1)向量的概念.
(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘).
(3)向量的线性运算的运算律.
2.方法归纳：
三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想.
3.常见误区：对空间向量的理解
应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.(多选)下列说法中，正确的是
A.模为0是一个向量方向不确定的充要条件
√
基础巩固
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√
解析 A正确，模不为0的向量方向是确定的.
B错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.
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4.在正方体ABCD
－A1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是
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8.已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝_____.
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9.如图所示的是平行六面体ABCD
－A1B1C1D1，化简下列各式：
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因为E，F，G分别为BC，CD，DB的中点，
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解析 如图，
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－c－a＋b
＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.
14.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.
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解析 在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，
拓广探究
6
∴x＋y＋z＝6.
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解 ∵P是C1D1的中点，
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解 ∵N是BC的中点，
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解 ∵M是AA1的中点，
