(共58张PPT)
1.会用基底法表示空间向量.
2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 证明平行、共线、共面问题
(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使
.
(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使
.
a＝λb
p＝xa＋yb
思考 怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？
答案 平行和点共线都可以转化为向量共线问题；
点线共面可以转化为向量共面问题.
知识点二 求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cos
θ＝
.
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b?
.
a·b＝0
思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？
答案 几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围.
知识点三 求距离(长度)问题
思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？
答案 几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用数量积可以求得.
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
×
×
√
2
题型探究
PART
TWO
一、证明平行、共面问题
例1 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点.
求证：BF∥ED′.
∵直线BF与ED′没有公共点，∴BF∥ED′.
反思感悟
证明平行、共面问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行.
(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.
跟踪训练1 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝
BB1，DF＝
DD1.
求证：A，E，C1，F四点共面.
所以A，E，C1，F四点共面.
二、求夹角、证明垂直问题
例2 如图所示，在三棱锥A－BCD
中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点.
(1)证明：AE⊥BC；
又DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，
(2)求直线AE与DC的夹角的余弦值.
反思感悟
求夹角、证明线线垂直的方法
利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝
，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况.
跟踪训练2 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点.求异面直线MN与BC1所成角的余弦值.
三、求距离(长度)问题
例3 已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l
，在l上有两点A，B，线段AC?α
，线段BD?β
，并且AC⊥l
，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，则CD＝________.
26
解析 ∵平面α⊥平面β，且α∩β＝l，
在l上有两点A，B，线段AC?α，线段BD?β，
AC⊥
l
，BD⊥
l
，AB＝6，BD＝24，AC＝8，
∴CD＝26.
反思感悟
求距离(长度)问题的思路
选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量，利用基底表示向量，将距离(长度)问题转化为向量的模的问题.
√
3
随堂演练
PART
THREE
1.(多选)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是
√
√
因为2＋(－1)＋(－1)＝0≠1,1＋1＋(－1)＝1,
由上可知，BD满足要求.
1
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4
5
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.不确定
√
1
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5
同理，C，D均为锐角.
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
√
1
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4
5
解析 因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，
又AB⊥BC，AB＝BC＝2，
所以SC与AB所成角的大小为60°
.
1
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5
4.如图，已知?ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC的长为________.
1
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5
7
∴PC＝7.
5.已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝
，则cos〈a，b〉＝
_____.
1
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3
4
5
1.知识清单：
(1)空间向量基本定理.
(2)空间向量共线、共面的充要条件.
(3)向量的数量积及应用.
2.方法归纳：转化化归.
3.常见误区：
(1)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆.
(2)转化目标不清：表示向量时没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
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课时对点练
PART
FOUR
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基础巩固
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2.如图，已知空间四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连接各边中点P，Q，R，S，所得图形是
A.长方形
B.正方形
C.梯形
D.菱形
√
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所以四边形PQRS为平行四边形.
所以PS＝PQ，故四边形ABCD为菱形.
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3.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是
√
解析 根据题意可得，
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4.在正三棱柱ABC－A1B1C1
中，若AB＝
BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是
A.60°
B.75°
C.90°
D.105°
√
＝a·b＋b·c－a·c－c2
∴CA1与C1B所成的角的大小是
90°.
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5.如图，二面角α－l－β等于
，A，B是棱l上两点，BD,AC分别在平面α，β内，AC⊥l
，BD⊥l
，且
2AB＝AC＝BD＝2，则CD的长等于
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6.已知向量a，b满足条件|a|＝
，|b|＝4，若m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉
＝135°，m⊥n，则实数λ＝_____.
解析 因为m·n＝0，所以(a＋b)·(a＋λb)＝0，
所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，
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设直线AB与CD所成角为α，
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8.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝|AA1|＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是________.
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解 如图，连接AC，EF，D1F，BD1，
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10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.
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综合运用
A.－3
B.－1
C.1
D.3
√
解析 连接AG(图略)，
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12.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，
点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是
A.30°
B.45°
C.90°
D.60°
√
解析 因为点E，F分别是棱AB，BB1的中点，
设所求异面直线的夹角为θ，则
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13.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是______.
90°
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14.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1
，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是________.(填序号)
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①②
解析 以顶点A为端点的三条棱长都相等，
它们彼此的夹角都是60°，
可设棱长为1，
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所以②正确.
显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°
.
则③不正确.
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所以④不正确，故①②正确.
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15.(多选)在四面体P－ABC
中，以上说法正确的有
√
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拓广探究
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√
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16.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心.求证：B1O⊥平面PAC.
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证明 如图，连接BD，则BD过点O，
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又AC∩AP＝A，AC，AP?平面PAC，
∴OB1⊥平面PAC.
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16(共49张PPT)
1.掌握空间向量基本定理.
2.会用空间向量基本定理对向量进行分解
.
学习目标
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XI
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BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c
，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝
.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个
，a，b，c都叫做基向量.
不共面
xa＋yb＋zc
基底
思考 零向量能否作为基向量？
答案 不能.
零向量与任意两个向量a，b都共面.
知识点二 空间向量的正交分解
1.单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量
，且长度都是
，那么这个基底叫做单位正交基底
，常用{i，j，k}表示.
2.向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.
像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
两两垂直
1
思考辨析
判断正误
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1.只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底.( )
2.若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量.( )
3.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线.( )
4.对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(x，y，z)，使0＝xa1＋ya2＋za3.( )
×
√
√
×
2
题型探究
PART
TWO
一、空间的基底
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)
＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，
反思感悟
基底的判断思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底.
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
跟踪训练1 (1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
√
解析 因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面.
如图，
可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故选B.
(2)已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝_____.
0
解析 因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c).
所以x＋y＝0.
二、空间向量基本定理
解 连接A′N(图略).
延伸探究
解 因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点，
反思感悟
用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.
(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.
解 连接BO，
3
随堂演练
PART
THREE
1.下列结论错误的是
A.三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量
共线
C.若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}
构成空间的一个基底
√
解析 由基底的概念可知A，B，D正确，
对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误.
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2.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是
A.3a，a－b，a＋2b
B.2b，b－2a，b＋2a
C.a，2b，b－c
D.c，a＋c，a－c
√
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5
解析 对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；
同理可判断B，D中的向量共面.故选C.
3.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间一个基底的是
√
1
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解析 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
可以作为空间的一个基底.
√
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1.知识清单：
(1)空间的基底.
(2)空间向量基本定理.
2.方法归纳：
转化化归.
3.常见误区：
(1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件.
(2)运算错误：利用基底表示向量时计算要细心.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
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课时对点练
PART
FOUR
1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
√
基础巩固
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解析 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，
否则不能当基底，
当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量.
因此p?q，q?p.
√
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4.已知{a，b，c}是空间的一个基底，若p＝a＋b，q＝a－b，则
A.a，p，q是空间的一组基底
B.b，p，q是空间的一组基底
C.c，p，q是空间的一组基底
D.p，q与a，b，c中的任何一个都不能构成空间的一组基底
√
解析 假设c＝k1p＋k2q，即c＝k1(a＋b)＋k2(a－b)，
得(k1＋k2)a＋(k1－k2)b－c＝0，
这与{a，b，c}是空间的一个基底矛盾，
故c，p，q是空间的一组基底，故选C.
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解析 取PC的中点E，连接NE，
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解析 如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，
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3a＋3b－5c
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拓广探究
解析 如图所示，连接AG1交BC于点E，则点E为BC的中点，
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