(共60张PPT)
1.掌握空间向量的坐标表示.
2.掌握空间两点间距离公式.
3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
a＋b＝_______________________
减法
a－b
a－b＝_______________________
数乘
λa
λa＝______________，λ∈R
数量积
a·b
a·b＝________________
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3)
a1b1＋a2b2＋a3b3
思考 空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？
答案 空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致；如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
知识点三 空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
思考 已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
×
√
√
2
题型探究
PART
TWO
一、空间向量的坐标运算
因此，a＝(0,1，－2).
反思感悟
空间向量坐标运算的规律及注意点
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算.
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标.
4
∴a·b＝1＋0＋3＝4.
二、向量的坐标表示的应用
命题角度1 空间平行垂直问题
例2 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝
，AF＝1，M是线段EF的中点.
求证：(1)AM∥平面BDE；
证明 如图，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
又NE与AM不共线，∴NE∥AM.
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE.
(2)AM⊥平面BDF.
又DF∩BF＝F，且DF?平面BDF，BF?平面BDF，
∴AM⊥平面BDF.
命题角度2 夹角、距离问题
例3 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点.
(1)求BN的长；
解 如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.
依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值.
解 依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
又异面直线所成角为锐角或直角，
反思感悟
利用空间向量的坐标运算的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标.
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算.
(4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题.
跟踪训练2 如图，长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝
CD，H为C1G的中点.
(1)求证：EF⊥B1C；
证明 如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，
(2)求FH的长.
(3)求EF与C1G所成角的余弦值；
核心素养之逻辑推理与数学运算
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
LUO
JI
TUI
LI
YU
SHU
XUE
YUN
SUAN
利用空间向量解决探索性问题
典例 正方体ABCD－A1B1C1D1中，若G是A1D的中点，点H在平面ABCD上，且GH∥BD1，试判断点H的位置.
设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)
，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
因为点H在平面ABCD上，设点H的坐标为(m，n，0)，
即当H为线段AB的中点时，GH∥BD1.
素养提升
(1)解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数运算问题.
(2)通过计算解决几何中的探索性问题，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
3
随堂演练
PART
THREE
A.(－1,3，－3)
B.(9,1,1)
C.(1，－3,3)
D.(－9，－1，－1)
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√
A.5
B.4
C.3
D.2
√
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解析 λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，
3.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是
√
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解析 依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，
所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
4.在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝
，则m的值为________.
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－7或13
所以(3－m)2＝100,3－m＝±10.
所以m＝－7或13.
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1.知识清单：
(1)向量的坐标的运算.
(2)向量的坐标表示的应用.
2.方法归纳：类比、转化.
3.常见误区：
(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等.
(2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b等于
A.(2，－4,2)
B.(－2,4，－2)
C.(－2,0，－2)
D.(2,1，－3)
√
基础巩固
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解析 b＝a－(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2).
解析 设点C的坐标为(x，y，z)，
√
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3.已知向量a＝(2,3)，b＝(k，1)，若a＋2b与a－b平行，则k的值是
√
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解析 由题意得a＋2b＝(2＋2k，5)，且a－b＝(2－k，2)，
又因为a＋2b和a－b平行，则2(2＋2k)－5(2－k)＝0，
4.已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝
，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
√
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解析 a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，
故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，
所以〈a，c〉＝120°.
解析 由已知，可得C1(0,2,3)，
√
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6.若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n＝_____.
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0
所以m＝0，n＝0，m＋n＝0.
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(－1,3,3)
得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，
即P(－1,3,3).
解 由空间两点间的距离公式得
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10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝
，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点.
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(1)求AC与PB所成角的余弦值；
解 由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
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(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标.
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解 由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，
由NE⊥平面PAC可得，
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11.一束光线自点P(1,1,1)出发，被xOy平面反射到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经过的距离是
√
综合运用
解析 P关于xOy平面对称的点为P′(1,1，－1)，
则光线所经过的距离为
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13.若a＝(x，2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是____________.
(－∞，－2)
解析 由题意，得a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，
又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，
所以x<－2.
又a，b不会反向，
所以实数x的取值范围是(－∞，－2).
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14.三棱锥P－ABC各顶点的坐标分别为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，则三棱锥P－ABC的体积为____.
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解析 由A，B，C，P四点的坐标，知△ABC为直角三角形，
AB⊥AC，PA⊥底面ABC.由空间两点间的距离公式，
得AB＝1，AC＝2，PA＝3，
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拓广探究
即1×3＋5×1＋(－2)×z＝0，所以z＝4.
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16.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？
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解 以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
又点N在CC1上，可设N(0,2，m)(0≤m≤2)，
如果异面直线AB1和MN所成的角等于45°，
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这与0≤m≤2矛盾.
所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.
