(共55张PPT)
1.了解空间直角坐标系.
2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k
的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：
，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个_____________
.
(2)相关概念：
叫做原点，i，j，k
都叫做坐标向量，通过
的平面叫做坐标平面，分别称为
平面、
平面、
平面，它们把空间分成八个部分.
x轴、y轴、z轴
空间直角坐标
系Oxyz
O
每两个坐标轴
Oxy
Oyz
Ozx
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向
的正方向，食指指向
的正方向，如果中指指向
的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
x轴
y轴
z轴
思考 空间直角坐标系有什么作用？
答案 可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化.
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量
，且点A的位置由向量
唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使
＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量
对应的
叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作
，其中
叫做点A的横坐标，
叫做点A的纵坐标，
叫做点A的竖坐标.
知识点二 空间一点的坐标
有序实数组(x，y，z)
A(x，y，z)
x
y
z
思考 空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？
答案 x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0,0).
y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0).
z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z).
知识点三 空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作
＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z).
思考 空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？
答案 点A在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，那么向量
的坐标也为(x，y，z).
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式.( )
2.空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a，0，c)的形式.( )
3.关于坐标平面yOz对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反.( )
×
√
√
2
题型探究
PART
TWO
一、求空间点的坐标
例1 (1)画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则
①顶点A，C的坐标分别为______________；
②棱C1C中点的坐标为_________；
③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为__________.
(0,0,0)，(1,1,0)
(2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
解 ∵正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，
以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则正四棱锥各顶点的坐标分别为
A(2，－2,0)，B(2,2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,
).
答案不唯一.
反思感悟
(1)建立空间直角坐标系的原则
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面.
②充分利用几何图形的对称性.
(2)求某点M的坐标的方法
作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z).
跟踪训练1 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝
CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标.
解 建立如图所示的空间直角坐标系.
点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0，
而E为DD1的中点，
由F作FM⊥AD，FN⊥CD，垂足分别为M，N，
(答案不唯一)
二、空间点的对称问题
例2 在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4).
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
解 由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，
所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4).
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；
解 由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，
所以对称点坐标为P2(－2,1，－4).
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标.
解 设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐标为(6，－3，－12).
反思感悟
空间点对称问题的解题策略
(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.
跟踪训练2 已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为____________.
(2，－3,1)
解析 点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，
点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，
点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1).
三、空间向量的坐标
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
＝－4i＋4j＋4k＝(－4,4,4).
反思感悟
向量坐标的求法
(1)点A的坐标和向量
的坐标形式完全相同；
(2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得.
跟踪训练3 已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，设点A，B在yOz平面上的射影分别为A1，B1，则向量
的坐标为____________.
(0，－1,10)
解析 点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的射影分别为A1(0,5，－7),
B1(0,4,3)，
3
随堂演练
PART
THREE
1.点P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在
A.y轴上
B.xOy面上
C.xOz面上
D.yOz面上
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2.在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是
A.(－1,3，－5)
B.(1,3,5)
C.(1，－3,5)
D.(－1，－3,5)
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3.在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面yOz的距离是
√
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4.点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为__________；点P关于z轴的对称点P2的坐标为____________.
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(1,1，－1)
(－1，－1,1)
解析 点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)，
点P关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1,1).
5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则向量
的坐标为________.
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(－4,2,3)
＝－4i＋2j＋3k＝(－4,2,3).
1.知识清单：
(1)空间直角坐标系的概念.
(2)点的坐标.
(3)向量的坐标.
2.方法归纳：
数形结合、类比联想.
3.常见误区：
混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是
A.(1,0,0)
B.(1,0,1)
C.(1,1,1)
D.(1,1,0)
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基础巩固
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解析 点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.
2.点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是
A.在x轴上
B.在xOy平面内
C.在yOz平面内
D.在xOz平面内
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解析 ∵点A的横坐标为0，
∴点A(0，－2,3)在yOz平面内.
3.在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是
A.关于x轴对称
B.关于yOz平面对称
C.关于坐标原点对称
D.以上都不对
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解析 当三个坐标均相反时，两点关于原点对称.
解析 由于垂足在平面yOz上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0.
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6.点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝_____.
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0
解析 点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(1,0，－1)，
∴x＝1，y＝0，z＝－1，
∴x＋y＋z＝1＋0－1＝0.
7.已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为__________.
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(4,0，－1)
解析 设中点坐标为(x0，y0，z0)，
∴中点坐标为(4,0，－1).
8.已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为________.
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(5,4,1)
解析 设B点的坐标为(x，y，z)，
解得x＝5，y＝4，z＝1，
故B点的坐标为(5,4,1).
9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标.
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解 正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，且E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，
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解 由题意知，点B的坐标为(1,1,0).
由点A与点B关于x轴对称，得A(1，－1,0)，
由点C与点B关于y轴对称，得C(－1,1,0)，
由点D与点C关于x轴对称，得D(－1，－1,0).
又P(0,0,2)，E为AP的中点，F为PB的中点，
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11.已知空间中点A(1,3,5)，点A与点B关于x轴对称，则向量点B的坐标为______________.
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综合运用
(1，－3，－5)
12.在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是________.
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(2,0,3)
解析 由题意，知点M1的坐标为(－2,0,
－3)，
所以点M1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3).
13.如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为2，则图中的点M关于y轴的对称点的坐标为________________.
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(－1，－2，－1)
解析 因为D(2，－2,0)，C′(0，－2,2)，
所以线段DC′的中点M的坐标为(1，－2,1)，
所以点M关于y轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1).
14.如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心
G的坐标是__________.
解析 由题意知A(a，0,0)，B(0，b，0)，C(0,0，c).
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15.已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为____________.
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拓广探究
(1,1,1)
解析 由题意知p＝2a＋b－c，
则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1,1,1).
设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，
则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
又∵p＝2a＋b－c，
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16.如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标.
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解 过点D作DE⊥BC，垂足为E.
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，
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