(共75张PPT)
1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的
二面角的平面角.
2.掌握求二面角的基本方法步骤.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 二面角及其度量
1.二面角的定义：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的
所组成的图形称为二面角.如图所示，其中，直线l叫做二面角的
，两个半平面叫做二面角的
，如图中的α，β.
两个半平面
棱
面
2.二面角的平面角
在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的
.二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的_________
.特别地，平面角是直角的二面角称为
.
平面角
平面角
大小
直二面角
3.二面角的范围：[0，π].
4.两个平面所成的角
两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小.
知识点二 用空间向量求二面角的大小
设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，α1与α2所成的角的大小为θ.
θ＝
或θ＝
，
sin
θ＝sin〈n1，n2〉.
〈n1，n2〉
π－〈n1，n2〉
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.二面角是两个平面所成的角.( )
2.二面角的大小范围是
.( )
3.若二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－l－β的大小是π－θ.( )
×
×
×
2
题型探究
PART
TWO
一、二面角及其度量
例1
(1)已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则
A.∠ADE是二面角A－PC－B的平面角
B.∠AED是二面角A－PB－C的平面角
C.∠DAE是二面角B－PA－C的平面角
D.∠ACB是二面角A－PC－B的平面角
√
解析 因为PA⊥BC，AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC.
又AD?平面PAC，所以AD⊥BC.
又AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC，所以AD⊥PB.
又AE⊥PB，所以PB⊥平面ADE，所以DE⊥PB，
所以∠AED为二面角A－PB－C的平面角.
①二面角B1－AC－B的大小；
解 如图所示，∵BB1⊥平面ABCD，
过点B作BO⊥AC，O为垂足，连接OB1，
由三垂线定理知，AC⊥OB1，
∴∠B1OB为二面角B1－AC－B的一个平面角，
又Rt△B1BO中，OB＝BB1＝2，
②△AB1C的面积.
方法二 依题意cos∠B1OB＝
，
反思感悟
几何法作二面角，求二面角
(1)定义法：在二面角的棱上找一特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，如图①所示，∠AOB为二面角α－l－β的平面角.
(2)三垂线定理法：过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面所在平面的垂线，从垂足出发向棱引垂线，利用三垂线定理(线面垂直的性质)即可找到所求二面角的平面角
或其补角，如图②所示，∠AOB为二面角
α－l－β的平面角.
(3)射影面积公式法：cos
θ＝
，该方法的关键在于找出其中一个
半平面内的多边形在另一个平面内的射影.
跟踪训练1 (1)如图，在正四棱锥P－ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为
∶8，则侧面与底面所成的二面角为
√
解析 设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h′，
(2)若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝
，则二面角P－BC－A的大小为______.
90°
解析 取BC的中点O，连接PO，AO，
则∠POA就是二面角P－BC－A的平面角.
所以∠POA＝90°.
二、利用空间向量求二面角大小
例2 在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD所成角的大小.
解 方法一 如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz.
设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD，与AC交于点O，取AD中点F，连接EF，EO，FO，则C(b,0,0)，B(0，a,0).
∴D(b，－a,0)，P(0,0，a)，
∴∠EOF等于平面EAC与平面ABCD所成角.
∴平面EAC与平面ABCD所成角为45°.
方法二 建系如方法一，
∵PA⊥平面ABCD，
设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z).
∴x＝0，y＝z.
∴取m＝(0,1,1)，
又平面EAC与平面ABCD所成角为锐角，
∴平面EAC与平面ABCD所成角为45°.
反思感悟
利用坐标法求二面角的步骤
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的大小，如图.用坐标法解题的步骤如下：
(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系.
(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个平面的法向
量n1，n2.
(3)计算：设n1与n2所成锐角为θ，cos
θ＝
.
(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M为PC的中点，PA＝PD＝2，BC＝
AD＝1，CD＝
.
(1)求证：PQ⊥AB.
证明 在△PAD中，PA＝PD，Q为AD的中点，
所以PQ⊥AD.
因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD＝AD，PQ?平面PAD，
所以PQ⊥底面ABCD.
又AB?平面ABCD，所以PQ⊥AB.
(2)求二面角P－QB－M的余弦值.
Q为AD的中点，所以DQ＝BC，DQ∥BC，
所以四边形BCDQ为平行四边形.
因为AD⊥DC，所以AD⊥QB.
由(1)，可知PQ⊥平面ABCD，故以Q为坐标原点，建立空间直角坐标系Qxyz，如图所示，
因为AQ⊥PQ，AQ⊥BQ，PQ∩BQ＝Q，PQ，BO?平面PQB，
所以AQ⊥平面PQB，
设平面MQB的法向量为m＝(x，y，z)，
由题意，知二面角P－QB－M为锐角，
核心素养之逻辑推理
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
LUO
JI
TUI
LI
与二面角有关的探索性问题
(1)求证：AD⊥BM；
∴AM＝BM＝2，∴BM⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，BM?平面ABCM，
∴BM⊥平面ADM，
∵AD?平面ADM，
∴AD⊥BM.
(2)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E－AM－D的
余弦值为
.
解 取AM的中点O，则OD⊥AM，
又平面ADM⊥平面ABCM，所以OD⊥平面ABCM，
以O为原点，OA，ON，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，M(－1,0,0)，D(0,0,1)，B(－1,2,0)，
设平面AME的一个法向量为m＝(x，y，z)，
平面AMD的一个法向量为n＝(0,1,0)，
所以E为BD的中点.
素养提升
(1)解决探究性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在.
(2)探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用.
(3)利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题进行处理.体现了逻辑推理和数学运算等核心素养.
3
随堂演练
PART
THREE
√
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5
2.正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PBC与平面ABCD的夹角为
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
√
解析 如图所示，PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.
又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB，
∴∠PBA为平面PBC与平面ABCD所成角的一个平面角，
Rt△PAB中，PA＝AB，
∴△PAB为等腰直角三角形，∴∠PBA＝45°.
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3.如图，在正方体ABCD中，棱长为1，过AB作平面α交棱CC1，DD1分别为E，F.若平面α与底面ABCD所成的角为30°，则截面ABEF的面积为
√
解析 截面ABEF在底面的射影为四边形ABCD，
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4.已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成角的余弦值
为____.
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z).
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5.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，
则二面角B1－A1C－C1的大小为_____.
解析 如图所示，建立空间直角坐标系，
则由题意可知B(0,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，
设AC的中点为M，连接BM，
则BM⊥AC，又由题意知BM⊥CC1，
又AC∩CC1＝C，所以BM⊥平面A1C1C，
设平面A1B1C的法向量是n＝(x，y，z).
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令z＝1，可得n＝(0,1,1).
显然θ为锐角.
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1.知识清单：
(1)二面角及其度量.
(2)利用空间向量求二面角的大小.
2.方法归纳：数形结合、转化、代入法.
3.常见误区：二面角的大小与两个平面法向量夹角间的关系易混淆.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
1.平面α的一个法向量n1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量n2＝(－3,1,3)，则α与β所成的角为
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
√
解析 由于n1·n2＝(1,0,1)·(－3,1,3)＝0，
所以n1⊥n2，
故α⊥β，α与β所成的角是90°.
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2.在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B—AC—D的余弦值为
√
解析 设菱形对角线AC与BD交于O点，
则∠BOD为二面角B—AC—D的平面角，
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3.如图，已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1上的点，且截面AEFD1的面积为
，则截面AEFD1与底面ABCD所成的角的大小为
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
√
解析 ∵截面AEFD1在底面的射影为直角梯形AECD，
∴设截面AEFD1与底面ABCD所成的锐二面角为θ，
又0°<θ<90°，故θ＝30°.
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4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成角的余弦值为
√
解析 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设棱长为1，则A1(0,0,1)，
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，
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5.若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
√
解析 设二面角大小为θ，则其互补角为π－θ，
所以π－θ＝60°，所以θ＝120°.
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6.(多选)一个二面角的两个半平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则这个二面角的大小为
A.45°
B.60°
C.90°
D.135°
√
√
解析 设二面角的平面角为θ，
∴θ＝45°或135°.
解析 平面α与平面β所成的角为θ，
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8.已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，
CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的角的正切值为_____.
解析 方法一 延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示.
设正方体的棱长为3，则GB＝BC＝3，
作BH⊥AG于点H，连接EH，
则∠EHB为所求锐二面角的平面角.
方法二 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
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设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
平面AEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，
令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3)，
取平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1)，
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9.如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值.
解 如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，
设平面SAD的法向量为m＝(x，y，z)，
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设平面SAB的法向量为n＝(a，b，c)，
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10.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝
，E为棱AD的中点，PA⊥CD.
(1)证明：CD⊥平面PAD.
证明 ∵∠ADC＝90°，
∴CD⊥AD，
又PA⊥CD，PA∩AD＝A，PA，PD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
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(2)若二面角P－CD－A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
解 ∵PA⊥CD，PA⊥AB，AB与CD相交，
∴PA⊥平面ABCD.
又PD⊥CD，AD⊥CD，
∴∠PDA为二面角P－CD－A的平面角，
∴∠PDA＝45°.
如图，以A为原点，AD，AP所在直线分别为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
设BC＝1，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，E(1,0,0)，C(2,1,0)，
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设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则n＝(2，－2,1)为平面PCE的一个法向量.
设直线PA与平面PCE所成的角为α，
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11.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为
综合运用
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√
解析 如图，以C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，
设AD＝a(a>0)，则点D的坐标为(1,0，a)，
设平面B1CD的法向量为n＝(x，y，z)，
得n＝(a,1，－1).
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又平面C1DC的一个法向量为m＝(0,1,0)，
12.A，B是二面角α—l—β的棱l上两点，P是平面β上一点，PB⊥l于B，PA与l成45°角，PA与平面α成30°角，则二面角α—l—β的大小是
A.30°
B.60°
C.45°
D.75°
√
解析 如图，作PO⊥α于O，连接AO，BO，
则∠PAO为PA与平面α所成角，∠PBO为二面角α—l—β的平面角，
由∠PAO＝30°，∠PAB＝45°，取PA＝2a，
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13.如图，三棱锥D－ABC的三条棱DA，DB，DC两两垂直，A1是DA的中点，M，N是棱AB上的点，BM＝
BN＝
BA.记二面角D－A1N－C，D－A1M－C，D－A1B－C的平面角分别为α，β，γ，则以下结论中正确的是
A.γ>β>α
B.α>β>γ
C.α>γ>β
D.γ>α>β
√
解析 设D到A1N，A1M，A1B的距离分别为d1，d2，d3.
所以d1>d2>d3.
所以α<β<γ.
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解析 如图①，△ABC为等腰直角三角形，D为AB的中点，
则CD⊥AB，翻折之后如图②，
CD⊥DA，CD⊥DB，
∠ADB即为二面角A－CD－B的一个平面角.
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拓广探究
15.在三棱锥P－ABC中，点P在底面的正投影恰好是等边△ABC的边AB的中点，且点P到底面ABC的距离等于底面边长.设△PAC与底面所成的二面角的大小为α，△PBC与底面所成的二面角的大小为β，则tan(α＋β)的值是
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解析 如图，设点P在边AB上的射影为H，作HF⊥BC，HE⊥AC，连接PF，PE.
依题意，∠HEP＝α，∠PFH＝β.
不妨设等边△ABC的边长为2，
则PH＝2，AH＝BH＝1.
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16.如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧
所在平面垂直，M是
上异于C，D的点.
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
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证明 由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.
因为BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，
又DM?平面CMD，
故BC⊥DM.
因为M为
上异于C，D的点，且DC为直径，
所以DM⊥CM.
又BC∩CM＝C，BC，CM?平面BMC，
所以DM⊥平面BMC.
又DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
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(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.
当三棱锥M－ABC体积最大时，M为
的中点.
由题设得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，
设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，
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可取n＝(1,0,2)，
