(共55张PPT)
掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点线距离、点到平面的距离、线面距和面面距.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 空间中两点之间的距离
空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的
，可借助向量构造三角形利用三角形法则求向量的模或建立空间直角坐标系求解.
线段长
知识点二 点到直线的距离
给定空间中一条直线l及l外一点A，过A可以作直线l的一条
，这条垂线段的
称为点A到直线l的距离，点到直线的距离也是这个点与直线上点的
连线的长度.
垂线段
长
最短
知识点三 点到平面的距离
给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条
，这条垂线段的
称为点A到平面α的距离，点到平面的距离也是这个点与平面内点的
连线的长度.如图，A为平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面
α的一个法向量，则点A到平面α的距离d＝
.
垂线段
长
最短
知识点四 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离
(1)直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的
称为直线与平面之间的
.
(2)平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离.
(3)与两个平行平面同时
的直线，称为这两个平面的
.
夹在平行平面之间的部分，称为这两个平面的
.
的长即为两个平行平面之间的距离.
(4)直线与平面的距离和平面与平面之间的距离都可以归结成点到平面的距离.
距离
距离
垂直
公垂线
公垂线
公垂线段
公垂线段
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.点A到平面α的距离就是点A与α内一点B所成向量的长度.( )
2.任意一条直线与任意一个平面都有距离.( )
3.当两个平面平行时，才有平面到平面的距离.( )
4.直线到平面的距离以及平面到平面的距离都能转化成点到平面的距离.
( )
×
×
√
√
2
题型探究
PART
TWO
第1课时 两点间的距离、点到直线的距离
一、空间中两点之间的距离
例1 (1)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，有AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD的中点，则AE的长为
√
(2)如图，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0
).
①求MN的长.
解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1).
且四边形ABCD，ABEF均为正方形，
②a为何值时，MN的长最小？
反思感悟
计算两点间的距离的两种方法
(1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，
一般用
求解.
(2)用坐标法求向量的模(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时.
跟踪训练1 (1)在空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与B(x，－1,6)间的距离为
，则x＝_________.
2或－8
解得x＝2或x＝－8.
√
解析 设B点坐标为(x，y，z)，
即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，
所以x＝18，y＝17，z＝－17.
得λ＝2，
二、点到直线的距离
例2 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离.
解 方法一 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图.
令M(x，y，z)，
∴(x－1，y，z－2)＝λ(1，－2,1)，
∴x＝λ＋1，y＝－2λ，z＝λ＋2，
∵AM⊥EF，
方法二 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图.
∴点A到直线EF的距离
反思感悟
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
方法一：利用空间向量找垂线段，再求模即可.
方法二：(1)建立空间直角坐标系.
(2)求直线的方向向量.
(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影.
(4)利用勾股定理求点到直线的距离.
另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
跟踪训练2 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离.
解 ∵AB＝1，BC＝2，AA′＝3，
∴A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1，0,0)，
∴点B到直线A′C的距离
3
随堂演练
PART
THREE
1.已知空间两点A，B的坐标分别为(1,1,1)，(2,2,2)，则A，B两点的距离为
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√
√
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3.在平面直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长为
√
解析 过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′，
1
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5
4.已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点
P(4,3,2)到l的距离为______.
又n与l垂直，
1
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4
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?AB1的距离为_____.
解析 取AC的中点D，建立如图所示的空间直角坐标系，
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1.知识清单：
(1)空间中两点之间距离.
(2)空间中点到直线的距离.
2.方法归纳：数形结合、转化法.
3.常见误区：不能转化为向量法求距离.
课堂小结
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课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
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1.在空间直角坐标系中，已知点A(2,3,4)，B(－2,1,0)，C(1,1,1)，那么点C到线段AB中点的距离是
√
2.已知A(0,
0,
2)
，B(1,
0,
2)
，C(0,
2,
0)
，则点A到直线BC的距离为
√
解析
∵A(0,
0,2)，B(1,
0,2)，C(0,
2,0)，
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3.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为
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√
解析 连接BD，AC交于点O，
4.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB?平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为
√
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5.已知三棱锥O－ABC，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，则点A到直线BC的距离为
√
解析 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由题意可知A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，
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6.(多选)如图，在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1上靠近B点的三等分点，P到正方体顶点的距离可能为
√
√
√
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解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方体的棱长AB＝3，
则A(3,0,0)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，D(0,0,0)，A1(3,0,3)，B1(3,3,3)，C1(0,3,3)，D1(0,0,3)，
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8.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线
BE的距离是______.
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9.正四面体A－BCD，棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，求EF的长.
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10.四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°.求点B到直线PD的距离.
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解 ∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴PA＝AD＝4，AB＝2.
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴
建立空间直角坐标系，如图所示.
设E(x，y，z)，∴(x，y－4，z)＝λ(0，－4,4)，
∴x＝0，y＝4－4λ，z＝4λ，
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∵BE⊥DP，
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综合运用
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解析 以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
12.已知空间直角坐标系Oxyz中有一点A(－1，－1,2)，点B是xOy平面内的直线x＋y＝1上的动点，则A，B两点间的最短距离为
解析 ∵点B在平面xOy内的直线x＋y＝1上，故设点B(a,1－a,0)，
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13.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是
√
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2).
根据题意，可设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，
点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，
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14.如图，在60°的二面角的棱上，有A，B两点，线段AC，BD分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD＝_______.
＝62＋42＋82＋2×6×8×cos
120°＝68，
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拓广探究
15.在直三棱柱A1B1C1－ABC中，底面ABC为直角三角形，∠BAC＝
，AB＝AC＝AA1＝1.已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和
AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段DF的长度的最小值为_____.
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解析 以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
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16.已知正方体的棱长为a，ABCD－A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，试求点M到直线AD1距离的最小值.
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解 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
∴A(a,0,0)，D1(0,0，a)，
设M(0，m，m)(0≤m≤a)，
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16(共65张PPT)
内
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题型探究
随堂演练
课时对点练
题型探究
1
PART
ONE
一、点到平面的距离
例1 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离.
解 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则G(0,0,2)，E(4，－2，0)，F(2，－4,0)，B(4,0,0)，
设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z).
∴x＝－y，z＝－3y.
取y＝1，则n＝(－1,1，－3).
反思感悟
利用向量法求点到平面的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求出该平面的一个法向量.
(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.
(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离.
跟踪训练1 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2.
(1)求证：A1C∥平面AB1D；
证明 如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA所在直线为x轴，y轴，过点D且与AA1平行的直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，
设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，
令z＝1，则y＝0，x＝2，∴n＝(2,0,1).
∵A1C?平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D.
(2)求点C1到平面AB1D的距离.
解 由(1)知平面AB1D的法向量n＝(2,0,1)，
二、线面距离与面面距离
例2 在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝
，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离.
解 如图，以D为坐标原点，
分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(1,0,2)，
设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，
∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1,0,1).
∴直线A1B1与平面ABE的距离
反思感悟
(1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可.
(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可.
跟踪训练2 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
解 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A1(1，0,1)，B(1,1,0)，
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1,1,1).
∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
核心素养之逻辑推理
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
LUO
JI
TUI
LI
利用空间向量求异面直线之间的距离
典例 已知四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD为正方形，SD⊥平面ABCD，且SD＝AD＝1.求异面直线SB与AC间距离.
解 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则A(1,0,0)，C(0,1,0)，S(0,0,1)，B(1,1,0)，
所以可取n＝(1,1,2).
素养提升
求异面直线间的距离，一是利用几何法，找两条异面直线的公垂线，通过解三角形求公垂线段长.二是在两异面直线l1与l2上各取一点P，Q，n为与直线l1，l2都垂直的直线的方向向量，得到异面直线l1与l2间的距离d＝
.通过空间向量把几何问题转化为向量的坐标运算，体现了逻辑推理和数学运算核心素养.
2
PART
TWO
随堂演练
1.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为
√
解析 方法一 以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，易知
＝(－2,2,0)为平面B1D1DB的一个法向量.
方法二 由题意可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面的距离.
连接A1C1，交B1D1于O1，A1O1即为所求.
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2.若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是
√
解析 分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1).
可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，
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3.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为
√
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4.已知直线AB∥平面α，平面α的法向量为n＝(1,0,1)，平面α内一点C的坐标为
(0,0,1)，直线AB上点A的坐标为(1,2,1)，则直线AB到平面α的距离为_____.
解析 由于直线与平面平行，故直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离，
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5.点E(1,2,3)，F(1,1,0)分别为异面直线a，b上的两点，且向量n＝(1,0,3)是同时
垂直于直线a，b的向量，则异面直线a，b的距离为_______.
又n＝(1,0,3)是同时垂直于直线a，b的向量，
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5
1.知识清单：
(1)点到面的距离.
(2)直线到平面、平面到平面的距离.
(3)异面直线之间的距离.
2.方法归纳：数形结合、转化法.
3.常见误区：线到平面，平面到平面的距离，前提是线与面平行、平面与平面平行，并不是所有的线面、面面都有距离.
课堂小结
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课时对点练
PART
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基础巩固
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1.已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则平面外一点P(－2,1,4)到α的距离为
√
2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则点C1到平面A1BD的距离是
√
解析 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图.
由于AC1⊥平面A1BD，
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3.如图，已知直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝
，AO＝2，BO＝6，D为A1B1的中点，且异面直线OD与A1B垂直，则直线A1B1到平面ABO的距离为
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解析 由直棱柱的性质，知直线A1B1到平面ABO的距离为棱柱的高，不妨设为t(t>0).
以OA，OB，OO1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,6,0)，
A1(2,0，t)，B1(0,6，t)，
所以t＝4.
4.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝2AB＝2BC＝2，M，N分别为PD，AD的中点，则平面PAB与平面CMN之间的距离为
√
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解析 ∵△PAD中，M，N分别为PD，AD中点，
∴MN∥PA，
∴MN∥平面PAB.
又AN∥BC，且AN＝BC＝1，
∴四边形ABCN为平行四边形，∴CN∥AB.
又CN?平面PAB，AB?平面PAB，
又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB，
又AD⊥AB，AD⊥PA，且AB∩PA＝A，
∴AD⊥平面PAB，AD⊥平面CMN，
∴线段AN为平面PAB与平面CMN的公垂线段，且AN＝1，
∴平面PAB与平面CMN之间的距离为1.
∵MN?平面PAB，PA?平面PAB，
∴CN∥平面PAB，
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5.在三棱锥P－ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝45°，则点C到平面PAB的距离是
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解析 方法一 建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，
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方法二 ∵PC⊥底面ABC，
∴PC⊥AB，又AB⊥AC，且PC∩AC＝C，PC，AC?平面PAC，
∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PA，
∴令点C到平面PAB的距离为d，
∴VP－ABC＝VC－PAB，
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6.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是
√
解析 ∵B1C1∥BC，且B1C1?平面A1BCD1，BC?平面A1BCD1，
∴B1C1∥平面A1BCD1.
从而点B1到平面A1BCD1的距离为所求距离.
则C(0,12,0)，D1(0,0,5)，
设B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x>0)，平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，
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令c＝12，则b＝5，
∴n＝(0,5,12)为平面A1BCD1的一个法向量.
方法二 过点B1作B1E⊥A1B于点E(图略).
∵BC⊥平面A1ABB1，且B1E?平面A1ABB1，
∴BC⊥B1E.
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又BC∩A1B＝B，
∴B1E⊥平面A1BCD1.
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7.设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离
为________.
解析 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z).
令z＝－2，则n＝(3,2，－2).
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8.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，
则点B1到平面ABC1的距离为______.
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y,1)，
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9.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动.
(1)证明：D1E⊥A1D；
证明 以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，D(0,0,0)，设E(1，y,0)，
故D1E⊥A1D.
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(2)当E点为AB的中点时，求点E到平面ACD1的距离.
设平面D1AC的法向量为n＝(x，y，z)，
取y＝1，得n＝(2,1,2).
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10.已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC和AC的中点.PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点.
(1)求证：AE∥平面PFQ；
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证明 如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系.
∵AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，
又E，F分别是BC，AC的中点，
∴AE∥FQ.
又FQ?平面PFQ，AE?平面PFQ，
∴AE∥平面PFQ.
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(2)求AE与平面PFQ间的距离.
解 由(1)知，AE∥平面PFQ，
∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离.
设平面PFQ的法向量为n＝(x，y，z)，
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11.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为
综合运用
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√
解析 以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则G(2，λ，2)，D1(0,0,2)，E(2,0,1)，F(2,2,1)，
设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)，
取x＝1，得n＝(1,0,2)为平面D1EF的一个法向量，
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12.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，则直线DA1与AC间的距离为
√
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解析 建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，C(0,1,0)，
令x＝1，则n＝(1,1，－1).
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13.如图所示，在直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为
_____.
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解析 取AB的中点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，
设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，
令y＝1，∴n＝(－1,1，－1).
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14.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，则平面
AB1O1与平面BC1O间的距离为_____.
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解析 如图，连接OO1，根据题意，OO1⊥底面ABC，
则以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
∵AO1∥OC1，OB∥O1B1，AO1∩O1B1＝O1，OC1∩OB＝O，
∴平面AB1O1∥平面BC1O，
∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为点O1到平面BC1O的距离.
设n＝(x，y，z)为平面BC1O的法向量，
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∴可取n＝(0,2，－1).
点O1到平面BC1O的距离记为d，
拓广探究
15.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，
则BD到平面EFD1B1的距离为____.
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解析 方法一 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面EFD1B1的法向量为n＝(x，y，z)，
令x＝2，则y＝－2，z＝－1.
则n＝(2，－2，－1)，由题易知BD∥平面EFD1B1，
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方法二 设AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，EF∩AC＝G，平面ACC1A1⊥平面EFD1B1，交线为O1G，过O作OH⊥O1G，
则OH⊥平面EFD1B1，
又由题意知BD∥平面EFD1B1，OH的长即为BD到平面EFD1B1的距离.
16.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ABC＝90°，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，问：在线段PA上是否存在一点M，使其到平面PCD的距离为
？若存在，试确定M点的位置；若不存在，请说明理由.
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解 如图所示，以点A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设直线PA上有一点M(0,0，z0)，
平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
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当z0＝3时，M(0,0,3)在线段AP的延长线上，故舍去；
当z0＝1时，M(0,0,1)是线段AP的中点.