(共62张PPT)
1.了解空间向量的相关概念.
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.了解向量加法
的交换律和结合律.
3.掌握数乘向量运算的意义及运算律.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 空间向量的概念
1.空间中既有
又有
的量称为空间向量，向量的大小也称为向量的
(或
).空间向量可用有向线段表示，有向线段的
表示向量的模，向量a的始点是A，终点是B，则向量a也可记作
，其模记为_____
.
大小
方向
模
长度
长度
|a|或
2.几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
始点与终点
的向量称为零向量，记为
，|0|＝0
单位向量
模等于
的向量称为单位向量
相等向量
大小
、方向
的向量称为相等向量
两个向量平行
(两个向量共线)
方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，记作a∥b.此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合
相反向量
与向量a方向
、大小
的向量称为向量a的相反向量，记____
相同
0
1
相等
相同
相反
相等
－a
知识点二 共面向量
一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在
内，则称这些向量共面.
同一平面
知识点三 空间向量的加减运算及运算律
1.类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.
2.空间向量加法交换律
a＋b＝
，
空间向量加法结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
b＋a
知识点四 数乘向量
1.与平面向量一样，给定一个实数λ与任意一个空间向量a，规定它们的乘积是一个空间向量，记作
，其中
(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，即|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa与向量a方向
；当λ<0时，λa与向量a方向
.
(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝
.
2.空间向量数乘运算满足以下运算律
(1)λa＋μa＝(λ＋μ)a.
(2)λ(a＋b)＝
.
λa
相同
相反
0
λa＋λb
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.零向量没有方向.( )
2.两个有公共终点的向量，一定是共线向量.( )
3.空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向.( )
×
×
×
2
题型探究
PART
TWO
一、空间向量概念的理解
例1 (1)(多选)下列关于空间向量的说法中正确的是
A.任一向量与它的相反向量不相等
B.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C.在空间中，任意一个向量都可以平移
D.相等向量其方向必相同
√
√
解析 A中，零向量的相反向量还是零向量，二者相等；
B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；
C中，向量在空间中可以平移，故选CD.
(2)给出以下结论：
①空间向量就是空间中的一条有向线段；
②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝
③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是
A.0
B.1
C.2
D.3
√
解析 零向量不能用有向线段表示，故①不正确；
③显然正确.故选B.
反思感悟
解答空间向量有关概念问题的注意点
(1)空间向量的两大要素：大小和方向；两向量相等的充要条件：大小相等，方向相同.
(2)两个特殊向量：
①零向量：长度为0的向量，方向任意；
②单位向量：长度为1的向量，方向不确定.
A.1
B.2
C.3
D.4
√
故互为相反向量的有2对.
(2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：
①单位向量共有多少个？
解 由于长方体的高为1，
共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，
故单位向量共有8个.
二、空间向量的加减运算
例2 如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出表示化简结果的向量.
延伸探究
解 结合加法运算
反思感悟
空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.
A.a＋b＋c
B.a－b＋c
C.a＋b－c
D.－a＋b＋c
√
解析 由四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，
(2)如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简下列运算，并在图中标出表示化简结果的向量.
作出向量如图所示：
三、空间向量的数乘运算
延伸探究
反思感悟
利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
核心素养之逻辑推理
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
LUO
JI
TUI
LI
对空间向量的有关概念理解不清致误
典例 (多选)下列说法中，正确的是
A.空间中的任意两个向量都是共面向量
√
√
解析 A正确，两个空间向量平移后都是共面向量；
B错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小；
素养提升
掌握空间向量的相关概念是正确解答本题的关键.准确把握推理的形式和规则，有利于培养学生的逻辑推理的核心素养.
3
随堂演练
PART
THREE
1.(多选)下列命题中，真命题是
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个非零向量相加一定可以用平行四边形法则
C.只有零向量的模等于0
D.空间中任意两个单位向量必相等
1
2
3
4
5
√
√
2.空间向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是
A.a＝b
B.a＋b为实数0
C.a与b方向相同
D.|a|＝3
1
2
3
4
5
√
解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确.
1
2
3
4
5
√
√
又ABCD是正方形，G是它的中心，
1
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1
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3
4
5
1.知识清单：
(1)空间向量的相关概念.
(2)空间向量的加法、减法运算.
(3)空间向量的数乘运算.
2.方法归纳：数形结合、对比.
3.常见误区：忽略特殊情形(如零向量).
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
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2
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√
A.a＋b－c
B.c－a－b
C.c＋a－b
D.c＋a＋b
√
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解析 如图所示，由向量共面的定义知①②中的向量一定共面；
④中三向量不能平移到同一个平面内，故不共面.
故共有3组共面.
√
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5.(多选)下列关于空间向量的命题中正确的是
A.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
B.长度不相等、方向相反的两向量一定是共线向量
C.由于零向量方向不确定，故零向量不能与任何向量平行
D.对于任意向量a，b，有|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
√
√
解析 对于A，其终点构成一个球面，故A错；
对于B，由共线向量的概念知，长度不相等、方向相反的两向量一定是共线向量，故B正确；
对于C，规定0的方向是任意的，与任何向量平行，故C错误；
对于D，由向量模的性质知，对于任意向量a，b有|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，故D正确.
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√
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7.已知空间向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝____.
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9.如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，化简下列表达式.
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10.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
解 因为M是BB1的中点，
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11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是
综合运用
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√
12.如图，在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是
1
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√
0
解析 如图所示，
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解析 每一条体对角线对应两个向量，正方体共有4条体对角线.
拓广探究
15.已知正方体ABCD－A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的共有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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③同①，也是正确的；
16.如图所示，在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中.
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16(共55张PPT)
1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.
2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.
3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断
向量的共线与垂直.
学习目标
XUE
XI
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内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 两个向量的夹角
1.定义：给定两个非零向量a，b，在空间中任意选定一点O，作
＝a，
＝b，则大小在[0，π]内的
称为a与b的夹角，记作〈a，b〉.
2.如果〈a，b〉＝
，则称向量a与向量b互相
，记作
.
3.规定，零向量与任意向量都垂直.
∠AOB
垂直
a⊥b
知识点二 空间向量的数量积
1.定义：已知两个非零向量a，b，则
叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
2.投影：一般地，给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α)，过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线，假设垂足为A，B，则向量
称为a在直线l(或平面α)上的投影．
a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的
.
|a||b|cos〈a，b〉
乘积
知识点三 空间向量数量积的性质
1.a⊥b?
.
2.a·a＝
＝a2.
3.|a·b|≤|a||b|.
4.(λa)·b＝
.
5.a·b＝
(交换律).
6.(a＋b)·c＝
(分配律).
a·b＝0
|a|2
λ(a·b)
b·a
a·c＋b·c
思考辨析
判断正误
SI
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2.对任意向量a，b满足|a·b|≤|a||b|.( )
3.对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c).( )
4.若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.( )
√
×
×
√
2
题型探究
PART
TWO
一、空间向量的夹角
90°
120°
解析 ∵AB⊥平面BCC1B1，
∴AB⊥C1B，
∵△A1BD为等边三角形，
∴∠A1BD＝60°，
反思感悟
找两向量的夹角关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π].
跟踪训练1 在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则
的夹角为
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
√
二、数量积的计算
例2 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
＝cos
60°－cos
60°＝0.
反思感悟
(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算.
(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算.
跟踪训练2 已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为上底面A1B1C1D1的中心.求
解 取AB的中点E，∴O1E⊥AB，
三、数量积性质的应用
例3 (1)已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为
A.－6
B.6
C.3
D.－3
√
解析 由a⊥b，得a·b＝0，
所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
所以2k－12＝0，所以k＝6.
(2)已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝
，a·b＝－2，则〈a，b〉＝_____.
解析 ∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
又∵〈a，b〉∈[0，π]，
(3)已知空间向量a，b，|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝_____.
22
解析 ∵|a＋b|＝24，∴(a＋b)2＝576，
则a2＋2a·b＋b2＝576，
∴2a·b＝576－132－192＝46.
又|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
＝132＋192－46＝484，
∴|a－b|＝22.
反思感悟
利用数量积的公式可求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题.
(1)a⊥b?a·b＝0.
跟踪训练3 (1)已知空间向量a，b，c，若a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则cos〈a，b〉等于
√
解析 ∵a＋b＋c＝0，
∴a＋b＝－c，平方得(a＋b)2＝c2，
即a2＋b2＋2a·b＝c2，
∴4＋9＋2a·b＝16，
∴2a·b＝3，
(2)(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们互不共线，下列选项，正确的是
A.(a·b)·c－(c·a)·b＝0
B.|a|－|b|<|a－b|
C.(b·a)·c－(c·a)·b与c垂直
D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
√
√
解析 结合向量的数量积运算律，只有BD正确.
3
随堂演练
PART
THREE
1.(多选)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的假命题是
A.若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B.若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C.若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D.若a·b>0，则〈a，b〉是锐角
1
2
3
4
5
√
√
√
解析 对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；
对于C，a2＝b2，只能推出|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；
对于D，当a，b同向时，a·b>0，而〈a，b〉不是锐角.
2.已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于
A.14
B.
C.4
D.2
1
2
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5
√
解析 由|a－2b＋3c|2＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2－4a·b＋6a·c－12b·c＝14，
1
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√
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5
5.已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长
为_____.
＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos
120°＋0＋2×1×cos
120°)＝2，
1
2
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4
5
1.知识清单：
(1)向量夹角.
(2)空间向量的数量积投影.
(3)空间向量数量积的性质.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：求向量夹角时需平移到同一个起点，向量的投影仍是一个向量.
课堂小结
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课时对点练
PART
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基础巩固
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1.已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是
A.垂直
B.共线
C.不垂直
D.以上都可能
√
解析 由题意知|a|＝|b|，
∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b).
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2.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于
A.12
B.8＋
C.4
D.13
√
解析 (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos
120°＝2×4－2×5×
＝13.
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3.已知空间向量a，b，|b|＝4，|a|＝2，〈a，b〉＝
，则b在a上的投影的数量为
A.1
B.－1
C.2
D.－2
√
√
解析 由正四面体A－BCD的棱长为1，
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5.(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，体对角线AC1与BD1相交于点O，则有
√
√
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√
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解析 易知AB正确；
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7.已知空间向量a，b，|a|＝
，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝
135°，若m⊥n，则λ的值为_______.
解析 由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
所以a2＋λb2＋(1＋λ)a·b＝0，
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8.已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为_______.
－13
解析 ∵a＋b＋c＝0，
∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
9.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
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解 由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，
所以〈a，b〉＝60°.
10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD＝4.
解 如图所示，
＝180°－∠C1DC＝135°，
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又四边形CDD1C1为正方形，
∴DC1⊥CD1，
∴CD1⊥AB1，
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综合运用
11.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是
√
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√
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＝9×25＋4－6×5×2×cos
60°＝199.
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14.已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝
，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为________.
－4
解析 ∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，
即t·m·n＋n2＝0，
∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，
解得t＝－4.
拓广探究
15.已知长方体ABCD－A1B1C1D1，则下列向量的数量积一定不为0的是
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√
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(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
∵BB1⊥平面ABC，
又△ABC为正三角形，
∴AB1⊥BC1.
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