(共50张PPT)
1.了解空间向量坐标的定义.
2.掌握空间向量运算的坐标表示.
3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 空间中向量的坐标
一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是
，而且这三个向量
，称这组基底为
；在单位正交基底下向量的分解称为向量的
，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝
，其中x，y，z都称为p的
.
单位向量
两两垂直
单位正交基底
单位正交分解
(x，y，z)
坐标分量
知识点二 空间向量的坐标运算
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
向量运算
向量表示
坐标表示
相等
a＝b
____________________
加法
a＋b
_____________________
线性运算
μa＋vb
____________________________
数量积
a·b
______________
模
____________
夹角
_______________________
x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2
(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
(μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2)
x1x2＋y1y2＋z1z2
知识点三 空间向量的平行、垂直
a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，y2)(a≠0).
1.平行：a∥b?b＝λa?
x2＝
，
y2＝
，
z2＝
.
当a的每一个坐标分量都不为零时，a∥b?
.
2.垂直：a⊥b?a·b＝0?
.
λx1
λy1
λz1
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标是(x，y，z).( )
2.四边形ABCD是平行四边形，则向量
的坐标相同.( )
3.设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则a∥b?
.( )
4.设a＝(1,2，－1)，b＝(0，m，2)，若a⊥b，则m＝1.( )
×
√
×
√
2
题型探究
PART
TWO
一、空间向量的坐标运算
例1 (1)向量a＝(2,0,5)，b＝(3,1，－2)，c＝(－1,4,0)，则a＋6b－8c＝_________________.
(28，－26，－7)
解析 a＋6b－8c＝(2,0,5)＋6(3,1，－2)－8(－1,4,0)
＝(2,0,5)＋(18,6，－12)－(－8,32,0)
＝(28，－26，－7).
(2)已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b等于
A.(2，－4,2)
B.(－2,4，－2)
C.(－2,0，－2)
D.(2,1，－3)
√
解析 依题意，得b＝a－(－1,2，－1)＝a＋(1，－2,1)
＝2(1，－2,1)＝(2，－4,2).
反思感悟
空间向量坐标运算问题，一是直接计算，首先将空间向量用坐标表示，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；二是通过解方程组求其坐标.
跟踪训练1 已知a＋b＝(－2,5,4)，a－b＝(4，－1，2)，则a＝________，b＝__________.
(1,2,3)
(－3,3,1)
二、空间向量的数量积、模、夹角
例2 已知向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2).
求：(1)|a＋b－2c|；
解 a＋b－2c＝(2，－3,1)＋(2,0,3)－2(0,2,2)
＝(2，－3,1)＋(2,0,3)－(0,4,4)
＝(4，－7,0).
(2)cos〈a－b，b－c〉.
解 a－b＝(0，－3，－2)，b－c＝(2，－2,1)，
(a－b)·(b－c)＝0＋(－3)×(－2)＋(－2)×1＝4.
反思感悟
空间向量的数量积、模、夹角公式的坐标表示a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
①a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
跟踪训练2 (1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝_____.
2
解析 由题意，得c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，
由(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
(2)已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，〈a，b〉＝120°，则k＝_______.
三、空间向量平行、垂直的坐标表示
例3 已知a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2).
(1)若|c|＝3，且c∥(a－b)，求c；
解 a－b＝(2,1，－2).
∵c∥(a－b)，
设c＝λ(a－b)，
即c＝λ(2,1，－2)＝(2λ，λ，－2λ)，
∴c＝(2,1，－2)或c＝(－2，－1,2).
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
解 ∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).
又∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，
∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0.
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
反思感悟
(1)平行与垂直的判断
①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线.
②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.
(2)平行与垂直的应用
①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程.
②选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
跟踪训练3 (1)已知a＝(2x,1,0)，b＝(－2,3,1－z)，若a与b为共线向量，则x＝
_____，z＝____.
1
解析 ∵a＝(2x,1,0)与b＝(－2,3,1－z)共线，
(2)已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1).若a⊥(b－c)，则x的值为
A.－2
B.2
C.3
D.－3
√
解析 ∵b－c＝(－2,3,1)，
∴a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，解得x＝－2.
3
随堂演练
PART
THREE
1.已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于
A.(16,0,4)
B.(8，－16,4)
C.(8,16,4)
D.(8,0,4)
1
2
3
4
5
√
解析 4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)
＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4).
2.已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为
√
〈a，b〉∈[0，π].
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
3.与向量m＝(0,1，－2)共线的向量坐标是
A.(2,0，－4)
B.(3,6，－12)
C.(1,1，－2)
D.
√
1
2
3
4
5
4.已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝
，且λ>0，则λ等于
A.5
B.4
C.3
D.2
√
解析 λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，
＝2＋sin
2α≤3，
1
2
3
4
5
1.知识清单：
(1)空间向量的坐标.
(2)空间向量的坐标运算.
(3)空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直.
2.方法归纳：公式法.
3.常见误区：两向量共线时，两向量的坐标比例相同的前提是坐标分量均不为0.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
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16
1.已知两个非零向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是
A.
B.a1·b1＝a2·b2＝a3·b3
C.a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
D.存在非零实数k，使a＝kb
√
解析 根据空间向量平行的充要条件，易知选D.
2.已知a＝(x,3,1)，b＝(2，y,4)，若a＝zb且c＝(x，y，z)，则c等于
√
解析 由题意可得(x,3,1)＝z(2，y,4)，
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3.已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则x等于
A.4
B.－4
C.
D.－6
√
解析 由已知，得a＋b＝(－2,1,3＋x).
又(a＋b)⊥c，
所以－2－x＋2(3＋x)＝0，
解得x＝－4.
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4.已知向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是
A.a∥b，a∥c
B.a∥b，a⊥c
C.a∥c，a⊥b
D.a⊥b，a⊥c
√
解析 因为c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，
所以a∥c.
又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，
所以a⊥b.
5.(多选)已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－1,0)，单位向量n满足n⊥a，n⊥b，则n等于
√
√
解析 设n＝(x，y，z)，由n⊥a得n·a＝0，
即x－z＝0，同理由n⊥b得x－y＝0，
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6.(多选)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三个向量能构成空间的一个基底，则实数λ的值可为
√
√
√
解析 ∵a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，
假设a，b，c三个向量不能构成空间的一个基底，
则a，b，c三个向量共面，
又∵a与b不平行，
∴存在实数x，y，使得c＝xa＋yb，
即能作为一组基底.
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7.已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则x＝___，y＝____.
－4
解析 因为a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，
且(a＋2b)∥(2a－b)，
所以3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，
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8.已知a＝(cos
α，1，sin
α)，b＝(sin
α，1，cos
α)，则向量a＋b与a－b的夹角是______.
90°
解析 因为a＋b＝(cos
α＋sin
α，2，sin
α＋cos
α)，a－b＝(cos
α－sin
α，0，sin
α－cos
α)，
所以(a＋b)·(a－b)＝0，所以〈a＋b，a－b〉＝90°.
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9.已知向量a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
解得x＝2，y＝－4，
此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1).
又由b⊥c得b·c＝0，
故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，
得z＝2，此时c＝(3，－2,2).
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(2)求向量a＋c与向量b＋c夹角的余弦值.
解 由(1)得，
a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，
因此向量a＋c与向量b＋c夹角θ的余弦值为
10.已知a＝(1,2,3)，b＝(2,1,2)，c＝(1,1,2)，且向量p∥c，求(p－a)·(p－b)的最小值，并求此时向量p的坐标.
解 因为向量p∥c，所以设p＝λc，
则p－a＝λc－a＝(λ－1，λ－2,2λ－3)，p－b＝λc－b＝(λ－2，λ－1,2λ－2)，
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综合运用
11.已知向量a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为
√
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12.已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为
√
解析 由已知，得b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0).
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13.已知向量a＝(1，x2，－1)，b＝(y2－1,2,1)，若向量a⊥b，则xy的最大值为
_____.
解析 由题意，知1×(y2－1)＋2x2－1×1＝0，
即2＝2x2＋y2.
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120°
解析 a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，
故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，
所以〈a，c〉＝120°.
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拓广探究
15.已知向量a，b，c是空间的一个单位正交基底，向量a＋b，a－b，c是空间的另一组基底，若向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(1,3,4)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为
A.(2,1,4)
B.(2，－1,4)
C.(－2，－1,4)
D.(－2,1,4)
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√
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解析 不妨设a＝(1,0,0)，b＝(0,1,0)，c＝(0,0,1).
p＝a＋3b＋4c.
设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc.
所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(2，－1,4).
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16.已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a与b的夹角为钝角，求x的取值范围.
解 ∵〈a，b〉为钝角，
∴cos〈a，b〉<0且〈a，b〉≠π.
若cos〈a，b〉<0，则a·b<0，
即3×(－1)＋(－2)×(x－1)＋(－3)×1<0，解得x>－2.
若〈a，b〉＝π，则a与b反向，
则b＝λa(λ<0)，
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16(共61张PPT)
1.了解空间直角坐标系.
2.会求空间中的点的坐标，两点间的距离以及两点的中点坐标.
3.掌握空间向量坐标的简单应用.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 空间直角坐标系的建立
在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系
.然后过O过一条与
的数轴z轴，这将建立了空间直角坐标系，记作
.
(1)x轴、y轴、z轴两两互相
，都称为
.
(2)通过每两个坐标轴的平面都称为
，分别记为
，____
，
.
xOy
xOy平面垂直
垂直
坐标轴
Oxyz
坐标平面
xOy平面
yOz
平面
zOx平面
(3)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为
，z轴与y轴(或x轴)
.如图(1)(2)所示.
135°(或45°)
垂直
知识点二 空间直角坐标系下点的坐标与向量坐标
1.在空间直角坐标系中，点M坐标为(x，y，z)，x，y，z都称为点M的_______
，且x称为点M的
(或
)，y称为点M的
(或y坐标)，z称为点M的
(或
).
2.在空间直角坐标系下，如果指定e1，e2，e3为以O为原点，且与x轴，y轴，z轴正方向同向的单位向量，则{e1，e2，e3}为
，且
的坐标与P点坐标
.即
＝xe1＋ye2＋ze3＝
?P
.
坐标
分量
横坐标
x坐标
纵坐标
竖坐标
z坐标
单位正交基底
相同
(x，y，z)
(x，y，z)
知识点三 空间向量坐标的应用
在空间直角坐标系中，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则
＝
.
＝
.
线段AB中点M的坐标为
.
(x2－x1，y2－y1，z2－z1)
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.在建立空间直角坐标系时，需有三条两两垂直且相交于一点的直线，x，y，z轴可以随意确定.( )
2.在空间直角坐标系中，坐标平面xOy，yOz，zOx两两互相垂直.( )
3.在坐标系中，所有以原点O为起点的向量的坐标与终点的坐标相同.
( )
4.点A(1,2，－1)在第Ⅴ卦限.( )
×
√
√
√
2
题型探究
PART
TWO
一、空间向量的坐标表示
例1 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以
为基底，求下列向量的坐标.
方法二 以A为原点，以AB为x轴，AD为y轴，AA′为z轴建立空间直角坐标系Axyz，
∴A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A′(0,0,1)，B′(1,0,1)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，
解 以点D为原点，DA，DC，DD′分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，
∵A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A′(1,0,1)，B′(1,1,1)，C′(0,1,1)，D′(0,0,1)，
反思感悟
用坐标表示空间向量的步骤
跟踪训练1 设正四棱锥S－P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求
的坐标.
解 如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥y轴，P1P4⊥x轴，SO在z轴上.
∵|P1P2|＝2，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，
∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0).
在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，∴P3(－1，－1,0)，P4(1，－1,0).
(答案不唯一)
二、空间向量坐标的应用
例2 棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
证明 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
(3)求CE的长.
反思感悟
通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
解 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，
所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a，0)，
由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，
核心素养之数学运算
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
SHU
XUE
YUN
SUAN
空间向量在平行与垂直中的应用
典例 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝
，AF＝1，M是线段EF的中点.
求证：(1)AM∥平面BDE；
证明 ∵平面ABCD⊥平面ACEF，
平面ABCD∩平面ACEF＝AC，EC⊥AC，
∴EC⊥平面ABCD，又BC⊥DC，
如图，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
又NE与AM不共线，
∴NE∥AM.
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)AM⊥平面BDF.
又DF∩BF＝F，且DF?平面BDF，BF?平面BDF，
∴AM⊥平面BDF.
素养提升
解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题.通过向量的运算，来实现平行与垂直的判定，从而培养学生的数学运算与逻辑推理素养.
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随堂演练
PART
THREE
1.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(－1,2,1)，点B的坐标为(1,3,4)，则
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√
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√
3.已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则
的夹角为
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
√
∴θ＝60°.
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√
因为λ∶λ∶2λ＝1∶1∶2，
观察选项只有C符合.
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5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝
，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，
则E，F两点间的距离为_____.
解析 以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
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1.知识清单：
(1)空间直角坐标系.
(2)空间点与空间向量坐标.
(3)空间向量坐标的应用.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：x，y，z轴的选择不是随意的，x轴，y轴需按逆时针方向旋转.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
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课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
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2.已知A(1，－2,0)和向量a＝(－3,4,12)，且
＝2a，则点B的坐标为
A.(－7,10,24)
B.(7，－10，－24)
C.(－6,8,24)
D.(－5,6,24)
√
即点B的坐标为(－5,6,24).
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3.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，向量
＝(x2＋4,4－y,1＋2z)，
＝(－4x,9,7－z)且A，B两点关于y轴对称，则x，y，z的值依次是
A.1，－4,9
B.2，－5，－8
C.2,5,8
D.－2，－5,8
√
解析 由A，B两点关于y轴对称，
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A.(－2,3,1)
B.(2，－3，－1)
C.(0，－1,1)
D.(0,1，－1)
√
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解析 设P(x，y，z)，
∴点P(－2,3,1)；
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∴点P(0,1，－1).
6.(多选)在△ABC中，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(2，－3,1)，若△ABC为直角三角形，则k的值为
√
√
即9k2＋3k＋2＝0，方程无解；
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解析 ∵A(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，
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8.若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n＝_____.
0
所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0.
(1)求线段AB中点D的坐标；
解 设O是坐标原点，
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10.已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求三棱柱的侧棱长；
因为AB1⊥BC1，
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解 因为M为BC1的中点，
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综合运用
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12.已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
√
所以△ABC为直角三角形.
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13.已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，则满足DB∥AC，DC∥AB的点D的坐标为__________.
(－1,1,2)
解析 设点D(x，y，z)，
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14.已知点P(－2,3,1)，点P关于原点的对称点为P1，点P关于xOz平面的对称点为P2，则线段P1P2的长为______.
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解析 依题意P1(2，－3，－1)，P2(－2，－3,1)，
拓广探究
15.已知空间四点A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，D(x，－1,3)共面，则x的值为
A.4
B.1
C.10
D.11
√
即(x－4，－2,0)＝(－2λ－v,2λ＋6v，－2λ－8v)，
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16.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.
设M(1,1，m).
而D1M⊥平面EFB1，
所以D1M⊥EF，
且D1M⊥B1E，
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