§1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
学习目标 1.理解空间中直线的方向向量的意义及求法.2.了解空间中两条直线所成的角与两直线方向向量所成的角的关系，会求空间两条直线所成的角.3.了解空间中两条异面直线的公垂线．
知识点一 用向量表示点的位置
一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定．此时，称为点P的位置向量．
知识点二 直线的方向向量
定义：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l.
(1)如果A，B为直线l上的两个不同点，则v＝就是直线l的一个方向向量．
(2)若v为直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行．
(3)空间中直线l的位置可由方向向量v和l上的一个已知点唯一确定．
(4)v1，v2分别是直线l1，l2的一个方向向量，则v1∥v2?l1∥l2或l1与l2重合．
知识点三 空间中两条直线所成的角
v1，v2分别为空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ.
如图，则①θ的范围为.
②θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉．
③sin
θ＝sin〈v1，v2〉或cos
θ＝|cos〈v1，v2〉|.
④l1⊥l2?〈v1，v2〉＝?v1·v2＝0.
知识点四 异面直线与空间向量
1．异面直线的判定
如图(1)(2)所示，如果A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，可知v1，v2，是不共面的；反之，如果v1，v2，不共面，则l1与l2是异面的．也就是说，此时“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件．
2．异面直线间的距离
一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离．
1．直线l的方向向量是唯一的．( × )
2．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( √ )
3．不相交的直线就是异面直线．( × )
4．任意两条异面直线的公垂线段都只有一个．( √ )
一、直线的方向向量
例1 (1)(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C1，C重合的任一点，则能作为直线AA1的方向向量的是( )
A.
B.
C.
D.
答案 ABD
解析 由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量．
(2)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1,2,3)
B．(1,3,2)
C．(2,1,3)
D．(3,2,1)
答案 A
解析 由题意，可得直线l的一个方向向量＝(2,4,6)，
又＝(1,2,3)，所以向量(1,2,3)是直线l的一个方向向量．
反思感悟 对直线方向向量的两点说明
(1)方向向量的选取：在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量.
(2)方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．
跟踪训练1 已知直线l的方向向量v＝(2,1,3)，且l过A(0，y,3)和B(－1，－2，z)，则y＝________，z＝________.
答案 －
解析 ∵直线l的方向向量v＝(2,1,3)，且l过A(0，y,3)和B(－1，－2，z)，
∴＝(－1，－2－y，z－3)＝λ(2,1,3)，
∴λ＝－，－2－y＝λ，z－3＝3λ，解得y＝－，z＝.
二、用直线的方向向量处理直线的平行、垂直问题
例2 (1)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则( )
A．l1∥l2
B．l1⊥l2
C．l1，l2相交但不垂直
D．不能确定
答案 B
解析 ∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝－2＋6－4＝0，
∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为CC1的中点，M为CD的中点．
证明：①BF∥D1E；
②BE不与D1M平行；
③BE⊥C1M.
证明 如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系．
则B(1,0,0)，D1(0,1,1)，
E，F，
M，C1(1,1,1)．
①∵＝，＝，
∵＝－，
∴∥，
∴BF∥D1E.
②＝，＝，
∵≠，
∴不与平行，
∴直线BE不与直线D1M平行．
③＝，＝.
∴·＝(－1)×＋0×0＋×(－1)
＝－＝0，
∴⊥，
∴BE⊥C1M.
反思感悟 判定直线平行、垂直的向量法
v1，v2分别为l1与l2的一个方向向量．
(1)v1∥v2?l1∥l2.
(2)v1与v2不平行?l1与l2不平行．
(3)v1·v2＝0?v1⊥v2?l1⊥l2.
(4)v1·v2≠0?v1与v2不垂直?l1与l2不垂直．
跟踪训练2 (1)已知直线l1的方向向量a＝(－1,2，m)，直线l2的方向向量b＝(2，n，－12)，且l1∥l2，则m＋3n的值是( )
A．－6
B．6
C．14
D．－14
答案 A
解析 ∵l1∥l2，∴a∥b，
则＝＝，解得n＝－4，m＝6，
∴m＋3n＝6－12＝－6.
(2)如图，F是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有( )
A．B1E＝EB
B．B1E＝2EB
C．B1E＝EB
D．E与B重合
答案 A
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，
则D(0,0,0)，F(0,1,0)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，
设E(2,2，t)．则＝(0,1，－2)，＝(2,2，t)．
由D1F⊥DE，得(0,1，－2)·(2,2，t)＝0，
即2－2t＝0.
所以t＝1，即E为BB1的中点．
三、空间中两条直线所成的角
例3 已知三棱锥O—ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值．
解 设＝a，＝b，＝c，直线MN与AC所成的角为θ，
则＝－＝(b＋c)－a
＝(b＋c－a)，＝c－a，
所以||2＝(b＋c－a)2
＝(|a|2＋|b|2＋|c|2＋2b·c－2a·b－2a·c)
＝(42＋52＋32＋15－20－0)＝，
||2＝(c－a)2＝|a|2＋|c|2－2a·c
＝42＋32－02＝25，
·＝(b＋c－a)·(c－a)
＝(b·c＋|c|2－a·b－2a·c＋|a|2)
＝＝.
cos
θ＝|cos〈，〉|＝＝＝.
所以直线MN与AC所成角的余弦值为.
反思感悟 (1)向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是[0，π]，而异面直线所成角的范围是，故异面直线所成角的余弦值一定大于或等于0.
(2)求空间直线所成角的三种方法
①几何法：把空间中的两条直线平移到一个公共点，再通过解三角形求角．
②基底法：确定一个基底，用基底表示两直线的方向向量．
③坐标法：建立空间直角坐标系，用坐标表示两直线的方向向量．
跟踪训练3 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是侧面A1B1C1D1与侧面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．
解 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(2,0,0)，B(2,4,0)，
C1(0,4,2)，A1(2,0,2)，
∴E(1,2,2)，F(1,4,1)，
＝(－1,4,1)，
＝(－1，－2,2)，
∴||＝＝3，||＝＝3，
·＝1－8＋2＝－5，
∴cos〈，〉＝＝－.
∵异面直线所成角的范围是，
设AF与BE所成角为θ，则cos
θ＝|cos〈，〉|＝.
即异面直线AF与BE所成角的余弦值为.
两异面直线的公垂线
典例 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，棱长都为2，试找出异面直线BA1与CB1的公垂线，并求两条异面直线的距离．
解 如图，以AC中点O为原点，以OA，OB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系Oxyz.
A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)
A1(1,0,2)，B1(0，，2)，C1(－1,0,2)．
假设MN为BA1与CB1的公垂线，
即?M∈BA1，N∈CB1，使MN⊥BA1，MN⊥CB1，
令＝λ，＝v，
＝(1，－，2)，＝(1，，2)．
设M(x1，y1，z1)，
∴＝(x1，y1－，z1)，
∴(x1，y1－，z1)＝λ(1，－，2)，
∴x1＝λ，y1＝－λ＋，z1＝2λ，
即点M(λ，－λ＋，2λ)，
同理可求得点N(v－1，v,2v)，
∴＝(v－λ－1，v＋λ－，2v－2λ)．
又MN⊥BA1，MN⊥CB1，
∴⊥，⊥，
∴
解得
∴＝，
∴||＝＝.
故在BA1与CB1上存在点M，N，当BM＝BA1，CN＝CB1时，MN为BA1与CB1的公垂线且两条异面直线BA1与CB1之间的距离为.
[素养提升] 两条异面直线的公垂线有且仅有一条．即一条直线与两异面直线都相交且垂直，利用几何知识很难找到．利用空间直角坐标系，转化成方向向量之间的关系较为简单．求解时要注意先要建系，再设出M，N的坐标，利用MN与异面直线都垂直，即能找到M，N，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养．
1．下面各组向量为直线l1与l2的方向向量，则l1与l2一定不平行的是( )
A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B．a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)
C．a＝(2,3,0)，b＝(4,6,0)
D．a＝(－2,3,5)，b＝(－4,6,8)
答案 D
解析 l1与l2不平行，则其方向向量一定不共线，
A中b＝－2a，B中b＝－3a，C中b＝2a.
2．已知a＝(4，－1,0)，b＝(1,4,5)，c＝(－3,12，－9)分别为直线l1，l2，l3的方向向量，则( )
A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直
B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直
C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直
D．l1，l2，l3两两互相垂直
答案 A
解析 因为a·b＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，
a·c＝(4，－1,0)·(－3,12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0，
b·c＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，
所以a⊥b，a与c不垂直，b⊥c，
即l1⊥l2，l2⊥l3，但l1与l3不垂直．
3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系，
则＝，＝，
cos
〈，〉＝＝0.
∴〈，〉＝.
4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面垂直
D．异面不垂直
答案 C
解析 建立坐标系，如图所示，
设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，
＝(－1,0，－2)，＝(－2,0,1)，·＝0，
则直线NO，AM的位置关系是异面垂直．
5．已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．
答案
解析 设M(x，y，z)，
又＝(－1,1,0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，
由点M在直线AB上得与共线，＝λ，
即x＝－λ，y＝λ，z－1＝0，
又CM⊥AB，向量与向量的数量积为0，
即·＝0，得－(x－1)＋(y－2)＝0，
联立得所以x＝－，y＝，z＝1，
所以点M的坐标为.
1．知识清单：
(1)直线的方向向量．
(2)会利用直线的方向向量解决线线平行、垂直问题．
(3)求空间中两条直线所成的角．
(4)两异面直线的公垂线．
2．方法归纳：数形结合、转化与化归．
3．常见误区：两条直线所成的角与两直线方向向量所成的角之间的关系易混淆．
1．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量．若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15
D．x＝6，y＝
答案 D
解析 由l1∥l2得，＝＝(x≠0，y≠0)，解得x＝6，y＝.
2．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )
A．－
B.
C．－
D.
答案 B
解析 设l1与l2的夹角为θ，则cos
θ＝|cos〈a，b〉|＝＝＝.
3．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．以上都不对
答案 C
解析 ∵＝(－3，－2，－5)，＝(2,6,4)，
＝(－1,4，－1)．
∴·＝－3×(－1)＋(－2)×4＋(－5)×(－1)＝0，
∴AB⊥AC.且||≠||，
∴△ABC是直角三角形．
故选C.
4．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 如图所示，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系，设CA＝CB＝CC1＝1，则B(0,1,0)，M，A(1,0,0)，N.
故＝，＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.
5．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中与AB1垂直的直线有( )
A．A1C
B．BD1
C．AD1
D．CD1
答案 ABD
解析 如图所示，以A为原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，令正方体棱长为1，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)，
∴＝(1,0,1)，＝(1,1，－1)，＝(－1,1,1)，＝(0,1,1)，＝(－1,0,1)，
∵·＝0，·＝0，·＝1≠0，·＝0，
∴AB1⊥A1C，AB1⊥BD1，AB1⊥CD1.
6．(多选)已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，点D满足条件DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为( )
A．(1,1,1)
B．(－1，－1，－1)
C.
D.
答案 AD
解析 设D(x，y，z)，
则＝(x，y－1，z)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y，z)，＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)，＝(0，－1,1)．
又DB⊥AC，∴·＝0，∴－x＋z＝0.①
DC⊥AB，∴·＝0，∴－x＋y＝0.②
AD＝BC，∴||＝||，∴(x－1)2＋y2＋z2＝2.③
由①②③，解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－.
7．若直线l1的方向向量为v1＝(1,3,2)，直线l2上有两点A(1,0,1)，B(2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．
答案 垂直
解析 因为＝(1，－1,1)，
又v1·＝(1,3,2)·(1，－1,1)＝0，
故两直线的位置关系为垂直．
8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________．
答案 60°
解析 以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
∵M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，
∴M(1,2,0)，N(0,2,1)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，
∴＝(－1,0,1)，＝(－2,2,0)．
设异面直线AC和MN所成的角为θ，
则cos
θ＝＝＝，
∴θ＝60°，即异面直线AC和MN所成的角为60°.
9．如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点．
(1)求异面直线AO1与B1E所成角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于点D，求O1D的长．
解 (1)如图，以O为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系．
由题设，知A(2,0,0)，O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)，
所以＝(－2,0,2)，＝(－1,0，－2)，
因此cos〈，〉＝
＝＝－.
故异面直线AO1与B1E所成角的余弦值为.
(2)由题意得⊥，∥.
因为C(0,3,0)，设D(x，y,0)，
所以＝(x，y，－2)，＝(x－2，y,0)，＝(－2,3,0)，
于是解得
所以＝.
故||＝＝.
10．如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
(1)写出点E，F的坐标；
(2)求证：A1F⊥C1E；
(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋.
(1)解 E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．
(2)证明 因为A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，
所以＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，
所以·＝－ax＋a(x－a)＋(－a)2＝0，
所以⊥，所以A1F⊥C1E.
(3)证明 因为A1，E，F，C1四点共面，
所以，，共面．
选与为一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2，
即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，
所以解得λ1＝，λ2＝1.
于是＝＋.
11.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为( )
A．
B．－
C．－
D．
答案 A
解析 不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Sxyz，
则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，
S(0,0,0)，M，N.
因为＝，＝，
所以||＝，||＝，·＝－，
cos〈，〉＝＝－，
因为异面直线所成的角为锐角或直角，
所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为.
12．已知四面体O－ABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 ＝－＝－，＝－，
∴||＝，||＝1，且·＝·(－)＝－，
∴cos〈，〉＝＝＝－，
故异面直线BD与AC所成角的余弦值为.
13.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则( )
A．EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
答案 B
解析 如图，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为3，
则E(1,0,1)，F(2,1,0)，A1(3,0,3)，A(3,0,0)，C(0,3,0)，D(0,0,0)，B(3,3,0)，D1(0,0,3)，
∴＝(1,1，－1)，＝(－3,3,0)，＝(－3,0，－3)，
∴·＝0，·＝0，
∴EF⊥AC，EF⊥A1D.
＝(－3，－3,3)，∴＝－3，∴BD1∥EF.
14．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角为________．
答案 60°
解析 由题意，知，分别为直线a，b的方向向量，
因为＝＋＋，
所以·＝·＋2＋·，
即2×1×cos〈，〉＝1，所以cos〈，〉＝，
即〈，〉＝60°，得a与b所成的角是60°.
15．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上(包括A1，C两端点)，E，F分别为DD1，AD的中点．若异面直线EF与BM所成的角为θ，则θ的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，
设DA＝2，则F(1,0,0)，E(0,0,1)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，
所以＝(1,0，－1)，＝(－2,0,0)，＝(2，－2,2)．
设＝λ(0≤λ≤1)，
则＝(2λ，－2λ，2λ)，＝＋＝(2λ－2，－2λ，2λ)，
则cos
θ＝|cos〈，〉|，
即cos
θ＝＝
＝(0≤λ≤1)，
当λ＝时，cos
θ取到最大值，
当λ＝1时，cos
θ取到最小值，
又θ∈，所以θ的取值范围为.
16．已知空间四边形OABC中，点M为BC的中点，点N为AC的中点，点P为OA的中点，点Q为OB的中点，若AB＝OC.求证：PM⊥QN.
证明 设＝a，＝b，＝c.
因为＝(＋)＝(b＋c)，
＝(＋)＝(a＋c)，
所以＝＋＝－a＋(b＋c)＝(b＋c－a)，
＝＋＝－b＋(a＋c)＝(a＋c－b)．
所以·＝[c－(a－b)]·[c＋(a－b)]
＝[c2－(a－b)2]＝(||2－||2)．
因为||＝||，
所以·＝0，即⊥.
所以PM⊥QN.(共73张PPT)
1.理解空间中直线的方向向量的意义及求法.
2.了解空间中两条直线所成的角与两直线方向向量所成的角的关系，
会求空间两条直线所成的角.
3.了解空间中两条异面直线的公垂线.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 用向量表示点的位置
一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可
以由
唯一确定.此时，
称为点P的
.
位置向量
知识点二 直线的方向向量
定义：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l.
(1)如果A，B为直线l上的两个不同点，则v＝
就是直线l的一个方向向量.
(2)若v为直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行.
(3)空间中直线l的位置可由方向向量v和l上的一个已知点唯一确定.
(4)v1，v2分别是直线l1，l2的一个方向向量，则v1∥v2?l1∥l2或l1与l2重合.
知识点三 空间中两条直线所成的角
v1，v2分别为空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ.
如图，则①θ的范围为
.
②θ＝
或θ＝
.
③sin
θ＝
或cos
θ＝
.
④l1⊥l2?
?
.
〈v1，v2〉
π－〈v1，v2〉
sin〈v1，v2〉
|cos〈v1，v2〉|
v1·v2＝0
知识点四 异面直线与空间向量
1.异面直线的判定
充要
2.异面直线间的距离
一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，
，
，则称MN为l1与l2的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的
.
MN⊥l1
MN⊥l2
距离
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.直线l的方向向量是唯一的.( )
2.若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反.( )
3.不相交的直线就是异面直线.( )
4.任意两条异面直线的公垂线段都只有一个.( )
×
√
×
√
2
题型探究
PART
TWO
一、直线的方向向量
例1 (1)(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C1，C重合的任一点，则能作为直线AA1的方向向量的是
√
√
√
解析 由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，
则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量.
(2)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为
A.(1,2,3)
B.(1,3,2)
C.(2,1,3)
D.(3,2,1)
√
反思感悟
对直线方向向量的两点说明
(1)方向向量的选取：在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量
.
(2)方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量.解题时，可以选取坐标最简的方向向量.
跟踪训练1 已知直线l的方向向量v＝(2,1,3)，且l过A(0，y,3)和B(－1，－2，z)，
则y＝_____，z＝____.
解析 ∵直线l的方向向量v＝(2,1,3)，且l过A(0，y,3)和B(－1，－2，z)，
二、用直线的方向向量处理直线的平行、垂直问题
例2 (1)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则
A.l1∥l2
B.l1⊥l2
C.l1，l2相交但不垂直
D.不能确定
√
解析 ∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝－2＋6－4＝0，
∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为CC1的中点，M为CD的中点.
证明：①BF∥D1E；
则B(1,0,0)，D1(0,1,1)，
∴BF∥D1E.
②BE不与D1M平行；
∴直线BE不与直线D1M平行.
③BE⊥C1M.
∴BE⊥C1M.
反思感悟
判定直线平行、垂直的向量法
v1，v2分别为l1与l2的一个方向向量.
(1)v1∥v2?l1∥l2.
(2)v1与v2不平行?l1与l2不平行.
(3)v1·v2＝0?v1⊥v2?l1⊥l2.
(4)v1·v2≠0?v1与v2不垂直?l1与l2不垂直.
跟踪训练2 (1)已知直线l1的方向向量a＝(－1,2，m)，直线l2的方向向量b＝(2，n，－12)，且l1∥l2，则m＋3n的值是
A.－6
B.6
C.14
D.－14
√
解析 ∵l1∥l2，∴a∥b，
∴m＋3n＝6－12＝－6.
(2)如图，F是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有
A.B1E＝EB
B.B1E＝2EB
C.B1E＝
D.E与B重合
√
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，
则D(0,0,0)，F(0,1,0)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，
设E(2,2，t).
由D1F⊥DE，得(0,1，－2)·(2,2，t)＝0，
所以t＝1，即E为BB1的中点.
即2－2t＝0.
三、空间中两条直线所成的角
例3 已知三棱锥O—ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点.求直线MN与AC所成角的余弦值.
＝42＋32－02＝25，
反思感悟
(1)向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是[0，π]，而异面直线所成角的范围是
，故异面直线所成角的余弦值一定大于或等于0.
(2)求空间直线所成角的三种方法
①几何法：把空间中的两条直线平移到一个公共点，再通过解三角形求角.
②基底法：确定一个基底，用基底表示两直线的方向向量.
③坐标法：建立空间直角坐标系，用坐标表示两直线的方向向量.
跟踪训练3 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是侧面A1B1C1D1与侧面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值.
解 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(2,0,0)，B(2,4,0)，
C1(0,4,2)，A1(2,0,2)，
∴E(1,2,2)，F(1,4,1)，
设AF与BE所成角为θ，
核心素养之逻辑推理
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
LUO
JI
TUI
LI
两异面直线的公垂线
典例 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，棱长都为2，试找出异面直线BA1与CB1的公垂线，并求两条异面直线的距离.
解 如图，以AC中点O为原点，以OA，OB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系Oxyz.
假设MN为BA1与CB1的公垂线，
即?M∈BA1，N∈CB1，使MN⊥BA1，MN⊥CB1，
设M(x1，y1，z1)，
又MN⊥BA1，MN⊥CB1，
素养提升
两条异面直线的公垂线有且仅有一条.即一条直线与两异面直线都相交且垂直，利用几何知识很难找到.利用空间直角坐标系，转化成方向向量之间的关系较为简单.求解时要注意先要建系，再设出M，N的坐标，利用MN与异面直线都垂直，即能找到M，N，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养.
3
随堂演练
PART
THREE
1.下面各组向量为直线l1与l2的方向向量，则l1与l2一定不平行的是
A.a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B.a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)
C.a＝(2,3,0)，b＝(4,6,0)
D.a＝(－2,3,5)，b＝(－4,6,8)
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4
5
√
解析 l1与l2不平行，则其方向向量一定不共线，
A中b＝－2a，B中b＝－3a，C中b＝2a.
2.已知a＝(4，－1,0)，b＝(1,4,5)，c＝(－3,12，－9)分别为直线l1，l2，l3的方向向量，则
A.l1⊥l2，但l1与l3不垂直
B.l1⊥l3，但l1与l2不垂直
C.l2⊥l3，但l2与l1不垂直
D.l1，l2，l3两两互相垂直
1
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5
√
解析 因为a·b＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，
a·c＝(4，－1,0)·(－3,12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0，
b·c＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，
所以a⊥b，a与c不垂直，b⊥c，
即l1⊥l2，l2⊥l3，但l1与l3不垂直.
3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是
√
解析 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系，
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5
4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是
A.平行
B.相交
C.异面垂直
D.异面不垂直
√
解析 建立坐标系，如图所示，
设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，
则直线NO，AM的位置关系是异面垂直.
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5.已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M，
满足CM⊥AB，则点M的坐标为____________.
解析 设M(x，y，z)，
即x＝－λ，y＝λ，z－1＝0，
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4
5
1.知识清单：
(1)直线的方向向量.
(2)会利用直线的方向向量解决线线平行、垂直问题.
(3)求空间中两条直线所成的角.
(4)两异面直线的公垂线.
2.方法归纳：数形结合、转化与化归.
3.常见误区：两条直线所成的角与两直线方向向量所成的角之间的关系易混淆.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
√
1.已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量.若l1∥l2，则
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2.若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于
√
解析 设l1与l2的夹角为θ，
3.已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.以上都不对
√
∴△ABC是直角三角形.
故选C.
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4.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为
√
解析 如图所示，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系，设CA＝CB＝CC1＝1，
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5.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中与AB1垂直的直线有
A.A1C
B.BD1
C.AD1
D.CD1
√
√
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则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)，
∴AB1⊥A1C，AB1⊥BD1，AB1⊥CD1.
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6.(多选)已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，点D满足条件DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为
√
√
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解析 设D(x，y，z)，
①
②
③
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7.若直线l1的方向向量为v1＝(1,3,2)，直线l2上有两点A(1,0,1)，B(2，－1,2)，则两直线的位置关系是________.
垂直
故两直线的位置关系为垂直.
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8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为______.
60°
解析 以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
∵M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，
∴M(1,2,0)，N(0,2,1)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，
设异面直线AC和MN所成的角为θ，
∴θ＝60°，即异面直线AC和MN所成的角为60°.
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9.如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点.
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(1)求异面直线AO1与B1E所成角的余弦值；
由题设，知A(2,0,0)，O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)，
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(2)作O1D⊥AC于点D，求O1D的长.
因为C(0,3,0)，设D(x，y,0)，
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10.如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
(1)写出点E，F的坐标；
解 E(a，x,0)，F(a－x，a,0).
(2)求证：A1F⊥C1E；
证明 因为A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，
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证明 因为A1，E，F，C1四点共面，
即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，
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11.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为
综合运用
√
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则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，
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因为异面直线所成的角为锐角或直角，
12.已知四面体O－ABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为
√
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A.EF至多与A1D，AC之一垂直
B.EF⊥A1D，EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
√
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解析 如图，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为3，
则E(1,0,1)，F(2,1,0)，A1(3,0,3)，A(3,0,0)，C(0,3,0)，D(0,0,0)，B(3,3,0)，D1(0,0,3)，
∴EF⊥AC，EF⊥A1D.
14.已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角为________.
60°
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拓广探究
15.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上(包括A1，C两端点)，E，F分别为DD1，AD的中点.若异面直线EF与BM所成的角为θ，则θ的取值范围为
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设DA＝2，则F(1,0,0)，E(0,0,1)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，
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16.已知空间四边形OABC中，点M为BC的中点，点N为AC的中点，点P为OA的中点，点Q为OB的中点，若AB＝OC.求证：PM⊥QN.
所以PM⊥QN.
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