(共60张PPT)
内
容
索
引
题型探究
随堂演练
课时对点练
题型探究
1
PART
ONE
一、利用空间向量证明面面平行
例1 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：平面ADE∥平面B1C1F.
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2).
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，
因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思感悟
证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β?n1∥n2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R).
跟踪训练1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点.设Q是CC1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO
?
则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0).
设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，
令x＝1，则y＝1，z＝2，
∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2).
若平面D1BQ∥平面PAO，
则n1也是平面D1BQ的一个法向量.
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
二、利用空间向量证明面面垂直
例2 三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝
，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点.证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
证明 方法一 如图，以点A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1,1,0)，
∴BC⊥AD，BC⊥AA1.
又A1A∩AD＝A，A1A，AD?平面A1AD，
∴BC⊥平面A1AD.
又BC?平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2).
令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，
∴n1＝(1，－1,0).
∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2，
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
反思感悟
利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.
跟踪训练2 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝
AA1＝a，E，F分别是BB1，CC1上的点，且BE＝a，CF＝2a，求证：平面AEF⊥平面ACF.
证明 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
∵x轴⊥平面ACF，∴可取平面ACF的一个法向量为m＝(1,0,0).
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
∵m·n＝0，∴m⊥n，
∴平面AEF⊥平面ACF.
三、三垂线定理及其逆定理
例3 如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.
证明 如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO.
因为PB＝PC，所以PO⊥BC.
又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，PO?平面PBC，
所以PO⊥平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO.
在直角梯形ABCD中，由于AB＝BC＝2CD，
易知Rt△ABO≌Rt△BCD，
所以∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°，
即AO⊥BD.
由三垂线定理的逆定理，得PA⊥BD.
反思感悟
利用三垂线定理及其逆定理证明垂直的关键是找到平面的垂线、斜线、射影，要区分三垂线定理与三垂线定理的逆定理.
跟踪训练3 下列命题中正确的是
A.如果直线l与平面α外的一条直线l′在平面α内的射影垂直，则l⊥l′
B.如果直线l与平面α外的一条直线l′垂直，则l与l′在平面α内的射影垂直
C.如果向量a和直线l在平面α内的射影垂直，则a⊥l
D.如果非零向量a和平面α平行，且和直线l垂直，直线l不与平面α垂直，则a
垂直于l在平面α内的射影
√
解析 由三垂线定理的逆定理，知D正确.
核心素养之逻辑推理
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
LUO
JI
TUI
LI
利用向量求解空间中的探索性问题
典例 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE.
解 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
设平面A1B1P的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
∴x1＝(a－1)z1，y1＝0.
令z1＝1，得x1＝a－1，
∴n1＝(a－1,0,1).
设平面C1DE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
令y2＝1，得x2＝－2，z2＝－1，
∴n2＝(－2,1，－1).
∵平面A1B1P⊥平面C1DE，
∴当P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.
素养提升
立体几何中探索性、存在性问题的思维层次较高，分析时应特别注意.本例由题意设出探求点的坐标，利用两平面垂直，法向量的位置关系及严密的逻辑推理，从而得出点P的坐标.通过该类问题培养逻辑推理、数学运算等素养.
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PART
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随堂演练
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1.若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则
A.α∥β
B.α⊥β
C.α，β相交但不垂直
D.以上均不正确
√
解析 ∵v＝－3u，∴v∥u.
故α∥β.
2.已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x等于
A.－4
B.－8
C.4
D.8
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√
解析 因为a·b＝x－2＋6＝0，所以x＝－4.
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3.已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是
√
解析 ∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行.
∴λ＝6.
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4.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为
A.1∶2
B.1∶1
C.3∶1
D.2∶1
√
解析 方法一 建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方形边长为1，PA＝a，
∴F为AD的中点，∴AF∶FD＝1∶1.
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方法二 连接AE(图略)，
∵PA⊥平面ABCD，且BF⊥PE，
由三垂线定理的逆定理可知，BF⊥AE，
∴∠EAD＝∠ABF，
∴△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE，即F为中点，
∴AF∶FD＝1∶1.
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5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点.则平面AED与A1FD1的位置关系是________.
垂直
解析 以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，
设平面AED的法向量为n1＝(x1，y1，z1).
令y1＝1，得n1＝(0,1，－2).
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同理，平面A1FD1的法向量为n2＝(0,2,1).
∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，
∴平面AED⊥平面A1FD1.
1.知识清单：
(1)利用空间向量判定或证明面面平行.
(2)利用空间向量判定或证明面面垂直.
(3)三垂线定理及其逆定理.
2.方法归纳：数形结合、转化与化归.
3.常见误区：三垂线定理与三垂线定理的逆定理易混淆.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
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课时对点练
PART
THREE
基础巩固
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1.若平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)，则
A.α∥β
B.α⊥β
C.α，β相交但不垂直
D.以上均不正确
√
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2.已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是
A.(4,2，－2)
B.(2,0,4)
C.(2，－1，－5)
D.(4，－2,2)
√
解析 ∵α∥β，∴两个平面的法向量平行，
∴与向量(2，－1,1)平行的向量都可以作为平面β的法向量.
只有D中向量与向量(2，－1,1)平行.
3.已知平面α的法向量是(－4,6,2)，平面β的法向量是(x，－3，－1)，若α∥β，则x的值是
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解析 α∥β，两个平面的法向量平行，
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√
解析 方法一 ∵SA⊥AC，SA⊥AB且AC∩AB＝A，
∴SA⊥平面ABC，又BC⊥AC，
由三垂线定理知，BC⊥SC，
∴BC与SC所成的角为90°.
方法二 如图，以A为坐标原点，AC，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
∴SC与BC所成的角为90°.
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5.(多选)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，n1＝(1,2，x)，n2＝(x，x＋1，x)，则x的值为
A.1
B.2
C.－1
D.－2
√
√
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解析 由题意可知，n1·n2＝(1,2，x)·(x，x＋1，x)＝x＋2x＋2＋x2＝x2＋3x＋2＝0，解得x＝－1或x＝－2.
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6.(多选)已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，那么下列说法中正确的有
A.n1∥n2?α∥β
B.n1⊥n2?α⊥β
C.v∥n1?l∥α
D.v⊥n1?l⊥α
√
√
解析 ∵平面α，β不重合，∴平面α，β的法向量平行等价于平面α，β
平行，∴A正确；
易知B正确；
当v∥n1时，l⊥α，故C错误；
当v⊥n1时，l∥α或l?α，故D错误.
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7.若平面α的一个法向量为v1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为v2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.
－3
所以y＝1，z＝－4，所以y＋z＝－3.
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8.两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是________.
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解析 ∵α⊥β，∴μ⊥v，∴μ·v＝0，
∴3×(－2)＋(－1)×(－y)＋z×1＝0，
∴－6＋y＋z＝0，∴y＋z＝6.
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9.如图所示，在直三棱柱ABC－DEF中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AD＝
，M是CF的中点，求证：AE⊥DM.
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∴Rt△ACF∽Rt△MFD，∴∠AFC＝∠MDF，
∴∠DMF＋∠AFC＝∠DMF＋∠MDF＝90°，
∴DM⊥AF.
又ABC－DEF为直三棱柱，∴CF⊥EF.
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又EF⊥DF，且DF∩CF＝F，DF，CF?平面ACFD，
∴EF⊥平面ACFD，且AE在平面ACFD内的射影为AF，
由三垂线定理，知AE⊥DM.
10.如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点.
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求证：平面DEA⊥平面ECA.
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证明 以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA＝2，
分别设平面CEA与平面DEA的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，
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因为n1·n2＝0，
所以两个法向量相互垂直.
所以平面DEA⊥平面ECA.
11.已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平行β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则
A.α∥β
B.α⊥β
C.α与β相交但不垂直
D.以上都不对
综合运用
√
∴n也为α的一个法向量.
又α与β不重合，∴α∥β.
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12.已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1).若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为
A.－1,2
B.1，－2
C.1,2
D.－1，－2
√
解析 c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，
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13.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝
，P为C1D1的中点，M为BC的中点.则AM与PM的位置关系为
A.平行
B.异面
C.垂直
D.以上都不对
√
解析 取CD的中点P′，连接PP′，AP′，MP′(图略)，
易知PP′⊥平面ABCD，
所以MP′为PM在平面ABCD内的射影.
所以AP′2＝AM2＋MP′2，所以AM⊥MP′，
由三垂线定理知AM⊥PM.
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14.如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ABC＝60°，PA＝AB＝2，PA⊥平面ABCD.若PC⊥BD，则
AD＝____，该四棱锥的体积为_____.
2
解析 ∵PA⊥平面ABCD，且BD⊥PC，
由三垂线定理的逆定理知，BD⊥AC.
又ABCD为平行四边形，
∴ABCD为菱形，∴AD＝AB＝2，
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拓广探究
15.若正三棱锥P－ABC侧面互相垂直，则棱锥的高与底面边长之比为_______.
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解析 设高为h，底面边长为1，O为△ABC的中点，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
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由平面PAB⊥平面PAC，知n1⊥n2，
16.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点.
(1)求证：A1E⊥BD；
证明 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示.
设正方体棱长为a，
则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a).
设E(0，a，e)(0≤e≤a).
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(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置.
解 设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).
取x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)，
由平面A1BD⊥平面EBD，得n1⊥n2.
所以当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.
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16(共66张PPT)
1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.
2.会利用直线的方向向量及平面的法向量证明直线与平面平行、垂直，
平面与平面平行、垂直.
3.了解三垂线定理及其逆定理.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
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知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
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知识梳理
PART
ONE
知识点一 平面的法向量
定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个
向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α
，则称n为平面α的一个
，也称n与平面α垂直，记作
.
性质：①如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个
都是平面α的一个
.
②如果n是平面α的一个法向量，则对任意实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都
.
③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α的一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量
一定与向量n垂直，即
·n＝
，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定.
非零
垂直
法向量
n⊥α
方向向量
法向量
平行
0
知识点二 直线与平面平行、垂直的判定
v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则
n∥v?
；
n⊥v?
，或
.
l⊥α
l∥α
l?α
知识点三 两平面平行、垂直的判定
n1，n2分别是平面α1，α2的法向量，则
n1⊥n2?
；
n1∥n2?
，或
.
α1⊥α2
α1∥α2
α1与α2重合
知识点四 三垂线定理及其逆定理
定理
如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的
垂直，则它也和这条
垂直.
?
逆定理
如果平面内的一条直线和这个平面的一条
垂直，则它也和这条斜线
在该平面内的
垂直.
射影
斜线
斜线
射影
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.已知直线l垂直于平面α，向量a平行直线l，则a是平面α的法向量.( )
2.若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行.( )
3.若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.( )
4.直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直.
( )
×
×
√
√
2
题型探究
PART
TWO
第1课时
空间中的平面与空间向量(一)
一、求平面的法向量
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝
，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.
解 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直.
设n＝(x，y，z)为平面ACE的一个法向量，
反思感悟
利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z).
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1).
(6)得结论：得到平面的一个法向量.
跟踪训练1 如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝1，AD＝AA1＝3，AB＝
.
试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACD1的一个法向量.
解 易知，AB，AD，AA1两两垂直.
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量.
二、利用空间向量证明线面平行
例2 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AB＝4，AA1＝2，点E，F，G分别是DD1，BD，AA1的中点，求证：D1G∥平面EFC.
则A(4,0,0)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,2)，G(4,0,1)，E(0,0,1)，F(2,2,0)，
设平面EFC的法向量为n＝(x，y，z)，
令x＝1，解得y＝1，z＝4.
∴n＝(1,1,4).
又D1G?平面EFC，
∴D1G∥平面EFC.
又GD1?平面EFC，所以GD1∥平面EFC.
反思感悟
应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示，即用平面向量基本定理证明线面平行.
跟踪训练2 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝
AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由.
解 以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，
∴(－1)×y－2(z－1)＝0，
①
∴存在E点，当点E为PD的中点时，CE∥平面PAB.
三、利用空间向量证明线面垂直
例3 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.
求证：AB1⊥平面A1BD.
证明 如图所示，取BC的中点O，连接AO.
因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
所以AO⊥平面BCC1B1.
即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.
又因为BA1∩BD＝B，BA1，BD?平面A1BD，
所以AB1⊥平面A1BD.
方法二 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
反思感悟
用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
方法一：(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
方法二：(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)求出平面的法向量.
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
跟踪训练3 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC＝2，E是PC的中点，求证：
(1)CD⊥AE；
证明 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以CD⊥AE.
(2)PD⊥平面ABE.
设向量n＝(x，y，z)是平面ABE的法向量，
所以PD⊥平面ABE.
3
随堂演练
PART
THREE
1.若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为
，则m等于
A.－4
B.－6
C.－8
D.8
√
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2.已知平面α的一个法向量是n＝(1,1,1)，A(2,3,1)，B(1,3,2)，则直线AB与平面α的关系是
A.AB∥α
B.AB⊥α
C.AB?α
D.AB∥α或AB?α
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√
∴AB∥α或AB?α.
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A.平行
B.垂直
C.在平面内
D.相交但不垂直
√
所以AP⊥AD，AP⊥AB，
又因为AB∩AD＝A，所以PA⊥平面ABCD.
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√
因为平面α的法向量为a＝(x，y，z)，
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取y＝3，则x＝2，z＝－4.
所以x∶y∶z＝2∶3∶(－4).
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5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC
上的点，A1M＝AN＝
，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________.
平行
解析 以C1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
又C1D1⊥平面BB1C1C，
又MN?平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C.
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1.知识清单：
(1)求平面的法向量.
(2)向量法证明线面平行.
(3)向量法证明线面垂直.
2.方法归纳：数形结合、转化与化归.
3.常见误区：直线的方向向量与平面的法向量垂直时，线面关系有两种，即线与面平行或线在面内，线在面内这种情况容易忽视.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
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课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
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1.直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥α，则x的值为
√
解析 由题意知，－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，
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2.已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面
A.xOy平行
B.xOz平行
C.yOz平行
D.yOz相交
√
所以AB∥平面yOz.
3.已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是
√
同理可排除C，D；
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4.已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为
A.(1,0，－2)
B.(1,0,2)
C.(－1,0,2)
D.(2,0，－1)
√
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得－x＋1－z＝0.
①
得2x＋z＝0，
②
联立①②得x＝－1，z＝2，
故点P的坐标为(－1,0,2).
5.(多选)若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是
√
√
√
解析 ∵n为平面α的法向量，
∴λn(λ≠0)也是平面α的法向量，
即与n共线的非零向量都是α的法向量.
由共线定理知，A，C，D中的向量都与n共线，
故能作为法向量.
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又AB∩AD＝A，
∴AP⊥平面ABCD，
∵AP⊥平面ABCD，
∴AP⊥BD.
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解析 由已知l⊥α，得a∥n，所以m＝4.
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证明 因为平面ABB1A1⊥平面ABC，四边形A1ABB1为正方形，
所以AA1⊥平面BAC.
又因为∠CAB＝90°，
即CA⊥AB，所以AB，AC，AA1两两互相垂直.
建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)，
A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2).
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设平面A1C1C的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，
即m＝(1，－1,1).
又AB1?平面A1C1C，
所以AB1∥平面A1C1C.
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10.如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝
.
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证明：A1C⊥平面BB1D1D.
证明 由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，
∴OA＝OB＝OA1＝1，
∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1).
∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，又BD∩BB1＝B，
∴A1C⊥平面BB1D1D.
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11.已知
＝(－3,1,2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－2，4)，点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为
A.AB⊥α
B.AB?α
C.AB与α相交但不垂直
D.AB∥α
综合运用
√
又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，
所以AB∥α.
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12.(多选)已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是
√
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设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z).
令x＝1，则y＝1，z＝1，∴n＝(1,1,1)，
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解析 方法一 以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示.
设M(a，a,1)，平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
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方法二 设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM?平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，
所以AM∥EO，
又O是正方形ABCD对角线交点，
所以M为线段EF的中点.
14.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的长度之和为_____.
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解析 以D1为原点，以直线D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，
设CE＝x，DF＝y，
则E(x,1,1)，F(0,0,1－y)，A(1,0,1)，B1(1,1,0)，
又B1E⊥平面ABF，所以B1E⊥AF，
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拓广探究
15.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________.
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a或2a
解析 建立空间直角坐标系，如图所示，依题意得B1(0,0,3a)，
要使CE⊥平面B1DE，即B1E⊥CE，
解得z＝a或2a.
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16.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点.
(1)求证：EF⊥CD；
证明 如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，
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(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论.
若使GF⊥平面PCB，
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