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第四章
指数函数与对数函数
第2节
指数函数
1、基础巩固
1．（2020·全国高一课时练习）下列各函数中，是指数函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·全国高一课时练习）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（
）
A．(－1，5)
B．(－1，4)
C．(0，4)
D．(4，0)
3．（2020·全国高一课时练习）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（
）
A．且
B．且
C．且
D．
4．（2020·全国高一课时练习）函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（
）
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
5．（2020·浙江高一单元测试）函数的值域是（
）．
A．
B．
C．
D．
6．（2020·浙江高一课时练习）二次函数与指数函数的图像的交点个数为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
7．（2020·内蒙古集宁一中高二月考（文））若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c
8．（2018·平遥县综合职业技术学校高一期中）函数（且）恒过定点（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2018·重庆市綦江中学高一期中）已知函数的图象恒过定点，则点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·河北鹿泉区第一中学高二月考）若函数是指数函数，则（
）
A．
B．
C．或
D．且
11．（2019·江苏高一期中）函数是R上的单调减函数，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2020·陆良县联办高级中学高一开学考试）函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
13．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高一月考）函数为增函数的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2019·浙江高一期中）函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是
(
)
A．
B．
C．
D．
15．（2020·全国高一课时练习）在如图所示的图象中，二次函数与函数的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
16．（2020·江苏鼓楼?南京师大附中高二期末）函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
17．（2020·湖南雁峰?衡阳市八中高二期中）已知m=，n=，则m，n之间的大小关系是（
）
A．m>n
B．mC．m=n
D．m≤n
18．（2020·林芝市第二高级中学高二期中（文））函数y＝a|x|(a>1)的图像是( )
A．
B．
C．
D．
19．（2020·全国高一开学考试）若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
20．（2020·江苏鼓楼?南京师大附中高二期末）已知函数，则满足的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
21．（多选题）（2020·全国高一课时练习）若函数（，且）是指数函数，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
E.
22．（多选题）（2019·晋江市子江中学高一期中）下列结论中错误的是（
）
A．函数是指数函数
B．函数既是偶函数又是奇函数
C．函数的单调递减区间是
D．所有的单调函数都有最值
23．（多选题）（2019·福建三明?高一期中）下列说法正确的是（
）
A．函数在定义域上是减函数
B．函数有且只有两个零点
C．函数的最小值是1
D．在同一坐标系中函数与的图象关于轴对称
24．（多选题）（2019·全国高一课时练习）（多选）设指数函数（且），则下列等式中不正确的有（
）
A．
B．
C．
D．
25．（多选题）对于函数定义域中任意的，，当时，下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2、拓展提升
1．（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域、值域.
（1）y＝；（2）y＝4x－2x＋1.
2．（2020·全国高一课时练习）已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式.
3．（2020·山西应县一中高二期中（文））已知且（且）的图象经过点.
（1）求的值；
（2）已知，求.
4．（2020·林芝市第二高级中学高二期中（文））已知函数的图象经过点其中
（1）求a的值；
（2）若,求x的取值范围.
5．（2020·江苏盐城?高一期末）设函数
（1）若函数y＝f（x）的图象关于原点对称，求函数的零点；
（2）若函数在的最大值为－2，求实数a的值.
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第四章
指数函数与对数函数
第2节
指数函数
1、基础巩固
1．（2020·全国高一课时练习）下列各函数中，是指数函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据指数函数的定义知，，
A选项底数错误，B选项系数错误，C选项指数错误；
D正确.
2．（2020·全国高一课时练习）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（
）
A．(－1，5)
B．(－1，4)
C．(0，4)
D．(4，0)
【答案】A
【解析】当，即时，，为常数，
此时，即点P的坐标为(－1，5).
3．（2020·全国高一课时练习）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（
）
A．且
B．且
C．且
D．
【答案】C
【解析】由于函数（是自变量）是指数函数，则且，
解得且.
4．（2020·全国高一课时练习）函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（
）
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
【答案】D
【解析】由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，
所以0＜a＜1.
函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，
所以b＜0.
5．（2020·浙江高一单元测试）函数的值域是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：∵
∴，
∴，
∴函数值域为．
6．（2020·浙江高一课时练习）二次函数与指数函数的图像的交点个数为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】C
【解析】二次函数，且时，；时，.
指数函数,当时，；时，.
两个函数上均单调递减，在坐标系中画出与的图象，如图所示，由图可得，两个函数图像的交点个数为1.
故选：C.
7．（2020·内蒙古集宁一中高二月考（文））若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c
【答案】D
【解析】∵y＝x
(x>0)是增函数，∴a＝>b＝.
∵y＝x是减函数，∴a＝＜c＝，∴b＜a＜c.
8．（2018·平遥县综合职业技术学校高一期中）函数（且）恒过定点（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令，解得：，此时，故函数恒过.
9．（2018·重庆市綦江中学高一期中）已知函数的图象恒过定点，则点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：由指数函数的图像恒过定点，
故可令，解得，当时，，
即无论取何值，当时，都恒成立，即恒过点，
故选：D.
10．（2020·河北鹿泉区第一中学高二月考）若函数是指数函数，则（
）
A．
B．
C．或
D．且
【答案】B
【解析】由指数函数的定义，得，解得．
11．（2019·江苏高一期中）函数是R上的单调减函数，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数是R上的单调减函数，
所以，解得，
12．（2020·陆良县联办高级中学高一开学考试）函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】要是函数有意义须满足，即，解得，
因此，函数的定义域为.
13．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高一月考）函数为增函数的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵是减函数，在上递增，在上递减，
∴函数的增区间是．
14．（2019·浙江高一期中）函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数单调递增，所以排除AC选项；
当时，与轴交点纵坐标大于1，函数单调递增，B选项错误；
当时，与轴交点纵坐标大于0小于1，函数单调递减；D选项正确.
15．（2020·全国高一课时练习）在如图所示的图象中，二次函数与函数的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据选项中二次函数图象，可知，
根据选项中指数函数的图象，可知，所以，
所以二次函数的对称轴在轴左侧，且，
所以可排除B、C、D，只有A符合题意.
16．（2020·江苏鼓楼?南京师大附中高二期末）函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，，可得，即或.
17．（2020·湖南雁峰?衡阳市八中高二期中）已知m=，n=，则m，n之间的大小关系是（
）
A．m>n
B．mC．m=n
D．m≤n
【答案】A
【解析】由于m=，当a-2=1时取得等号，即a=3取得．而n=，结合指数函数的性质可知其范围(0,4),那么可知m>n,选A
考点：本试题主要考查了均值不等式的运用，求解最值．
18．（2020·林芝市第二高级中学高二期中（文））函数y＝a|x|(a>1)的图像是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，所以，且在上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B．
19．（2020·全国高一开学考试）若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数满足对任意的实数都有，
所以函数是上的增函数，
则由指数函数与一次函数单调性可知应满足，
解得，
所以数的取值范围为，
20．（2020·江苏鼓楼?南京师大附中高二期末）已知函数，则满足的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由，知是偶函数，
不等式等价为，
当时，，在区间上单调递增，
解得：.
21．（多选题）（2020·全国高一课时练习）若函数（，且）是指数函数，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
E.
【答案】AC
【解析】因为函数是指数函数，所以，所以，
所以，所以，，，
故B、D、E错误，A、C正确.
22．（多选题）（2019·晋江市子江中学高一期中）下列结论中错误的是（
）
A．函数是指数函数
B．函数既是偶函数又是奇函数
C．函数的单调递减区间是
D．所有的单调函数都有最值
【答案】ACD
【解析】对于A，由指数函数的定义可知，错误；
对于B，x2=2018，y=0，既是奇函数又是偶函数，正确；
对于C，函数在整个定义域上不单调，错误；
对于D，比如定义域为开区间时，单调函数没有最值，错误.
23．（多选题）（2019·福建三明?高一期中）下列说法正确的是（
）
A．函数在定义域上是减函数
B．函数有且只有两个零点
C．函数的最小值是1
D．在同一坐标系中函数与的图象关于轴对称
【答案】CD
【解析】对于A，在定义域上不具有单调性，故命题错误；
对于B，函数有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；
对于C，∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴函数y＝2|x|的最小值是1，故命题正确；
对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2﹣x的图象关于y轴对称，命题正确.
故选CD
24．（多选题）（2019·全国高一课时练习）（多选）设指数函数（且），则下列等式中不正确的有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】，A
正确；
，B正确；
，，C不正确；
，，D不正确.
25．（多选题）对于函数定义域中任意的，，当时，下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由已知，，，故A对；
，故B错；
为减函数，所以当时，有，有
，故C对；
，，由基本不等式知，
，（因为，故等号不成立），
所以，故D对.
2、拓展提升
1．（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域、值域.
（1）y＝；（2）y＝4x－2x＋1.
【解析】（1）∵对一切x∈R，3x≠－1；
∴函数的定义域为R；
∵y＝＝1－；
又∵3x>0，1＋3x>1；
∴0<<1，∴－1<－<0；
∴0<1－<1，∴值域为(0，1).
（2）函数的定义域为R；
y＝(2x)2－2x＋1＝2＋；
∵2x>0，∴2x＝，即x＝－1时，y取最小值；
同时y可以取一切大于的实数；
∴值域为.
2．（2020·全国高一课时练习）已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式.
【解析】设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(3，π)代入，
得到f（3）＝π，
即a3＝π，解得a＝，于是f(x)＝.
3．（2020·山西应县一中高二期中（文））已知且（且）的图象经过点.
（1）求的值；
（2）已知，求.
【解析】（1）由的图象经过点得
，又，所以
（2）由（1）得，由，
得，解得（舍去）
由解得.
4．（2020·林芝市第二高级中学高二期中（文））已知函数的图象经过点其中
（1）求a的值；
（2）若,求x的取值范围.
【解析】解：（1）∵函数的图象经过点，即，可得；
（2）由（1）得，即
，，
5．（2020·江苏盐城?高一期末）设函数
（1）若函数y＝f（x）的图象关于原点对称，求函数的零点；
（2）若函数在的最大值为－2，求实数a的值.
【解析】解：的图象关于原点对称，
，
，即，
（注：若用赋值法求解，没有检验，扣1分）
令，
则，
，又，
所以函数的零点为.
（2），
令，
，
对称轴，
①
当，即时，
，
；
②
当，即时，
，
（舍）；
综上：实数a的值为.
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