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第四章
指数函数与对数函数
第1节
指数
1、基础巩固
1．（2020·全国高一课时练习）log5＋log53等于（
）
A．0
B．1
C．－1
D．log5
【答案】A
【解析】因为.
2．（2020·全国高一课时练习）（log29）?（log34）等于（
）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】D
【解析】解：（log29）?（log34）
=
=
=4．
3．（2020·全国高一课时练习）logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是（
）
A．ab＝N
B．ba＝N
C．aN＝b
D．bN＝a
【答案】B
【解析】由logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)，
则ba＝N
4．（2020·全国高一课时练习）若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，所以.
5．（2020·浙江杭州?高二期末）（
）
A．
B．6
C．
D．9
【答案】B
【解析】
故选：B
6．（2020·浙江高二学业考试）（
）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】
7．（2020·浙江温州?高二期中）计算(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
8．（2020·上海高一课时练习）下列各式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A选项，由换底公式，可得：，故A错；
B选项，，故B错；
C选项，，故C错；
D选项，，故D正确.
9．（2020·上海高一课时练习）若，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由，
则.
10．（2020·江苏南通?高二期末）已知，，，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：∵
，
，，
∴
，
11．（2020·林芝市第二高级中学高二期中（文））计算（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】
12．（2020·浙江高三其他）已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】,
13．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高一月考）若实数a，b满足，则（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】D
【解析】因为，所以，
．
14．（2020·全国高三课时练习（理））若a＝，b＝，c＝，则（
）
A．a
B．cC．cD．b【答案】C
【解析】因为a，b，c均为正数，所以：
＝＝＝log89>1，所以b>a，
＝＝＝log2532>1，
所以a>c，故b>a>c.
15．（2020·浙江高一课时练习）若，且，则为（
）
A．0
B．1
C．1或2
D．0或2
【答案】D
【解析】令，
则，，
，
依换底公式得
或.
当时，且，故；
当时，
.
16．（2020·定西市第一中学高三其他（理））天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”
的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是(当较小时，
)
A．1.24
B．1.25
C．1.26
D．1.27
【答案】C
【解析】根据题意可得：
可得，解得，
根据参考公式可得，
故与最接近的是.
17．（2020·河南濮阳?高一期末（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(
)
A．1010.1
B．10.1
C．lg10.1
D．10–10.1
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
18．（2020·黑龙江道里?哈尔滨三中高三其他（理））中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（
）附：
A．10%
B．20%
C．50%
D．100%
【答案】B
【解析】当时，，当时，
因为
所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20%
19．（2020·全国高三其他（文））里氏震级M的计算公式为，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，标准地震的振幅为0.001，则9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的（
）
A．10000倍
B．1000倍
C．100倍
D．10倍
【答案】A
【解析】根据题意，假设在一次地震中，标准地震的振幅为0.001，
设9级地震的最大振幅是x，5级地震的最大振幅是y，则，
解得，所以.
20．（2020·全国高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（
）（ln19≈3）
A．60
B．63
C．66
D．69
【答案】C
【解析】，所以，则，
所以，，解得.
2、拓展提升
1．（2020·全国高一课时练习）将下列指数式写成对数式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【解析】（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
（3）因为，所以.
（4）因为，所以.
2．（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））计算：
（1）；
（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
3．（2020·上海高一课时练习）计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）.
【解析】解：（1）.
（2）.
（3）
.
4．（2020·上海高一课时练习）已知，求的值.
【解析】依题意.
5．（2020·全国高一课时练习）求下列各式中x的值：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
【解析】（1）因为，所以.
（2）因为，所以，
又因为且，所以.
（3）因为，所以.
（4）.
（5）
.
6．（2020·全国高一课时练习）计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）lg(＋).
【解析】（1）原式＝；
（2）原式＝；
（3）原式＝.
（4）原式＝＋＝＝＝.
7．（2020·全国高一课时练习）（1）求的值.
（2）已知，，试用，表示
【解析】（1）原式
（2）由得到，
由，得到，即.
.
8．（2020·上海高一课时练习）已知，且，求的最小值．
【解析】解：令，，，．
由得，，
，，
，即，，
，
，
当时，．
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指数函数与对数函数
第1节
指数
1、基础巩固
1．（2020·全国高一课时练习）log5＋log53等于（
）
A．0
B．1
C．－1
D．log5
2．（2020·全国高一课时练习）（log29）?（log34）等于（
）
A．
B．
C．2
D．4
3．（2020·全国高一课时练习）logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是（
）
A．ab＝N
B．ba＝N
C．aN＝b
D．bN＝a
4．（2020·全国高一课时练习）若，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·浙江杭州?高二期末）（
）
A．
B．6
C．
D．9
6．（2020·浙江高二学业考试）（
）
A．
B．1
C．
D．
7．（2020·浙江温州?高二期中）计算(
)
A．
B．
C．
D．
8．（2020·上海高一课时练习）下列各式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·上海高一课时练习）若，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
10．（2020·江苏南通?高二期末）已知，，，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·林芝市第二高级中学高二期中（文））计算（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
12．（2020·浙江高三其他）已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
13．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高一月考）若实数a，b满足，则（
）
A．
B．
C．
D．1
14．（2020·全国高三课时练习（理））若a＝，b＝，c＝，则（
）
A．aB．cC．cD．b15．（2020·浙江高一课时练习）若，且，则为（
）
A．0
B．1
C．1或2
D．0或2
16．（2020·定西市第一中学高三其他（理））天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”
的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是(当较小时，
)
A．1.24
B．1.25
C．1.26
D．1.27
17．（2020·河南濮阳?高一期末（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(
)
A．1010.1
B．10.1
C．lg10.1
D．10–10.1
18．（2020·黑龙江道里?哈尔滨三中高三其他（理））中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（
）附：
A．10%
B．20%
C．50%
D．100%
19．（2020·全国高三其他（文））里氏震级M的计算公式为，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，标准地震的振幅为0.001，则9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的（
）
A．10000倍
B．1000倍
C．100倍
D．10倍
20．（2020·全国高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（
）（ln19≈3）
A．60
B．63
C．66
D．69
2、拓展提升
1．（2020·全国高一课时练习）将下列指数式写成对数式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
2．（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））计算：
（1）；
（2）．
3．（2020·上海高一课时练习）计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）.
4．（2020·上海高一课时练习）已知，求的值.
5．（2020·全国高一课时练习）求下列各式中x的值：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
6．（2020·全国高一课时练习）计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）lg(＋).
7．（2020·全国高一课时练习）（1）求的值.
（2）已知，，试用，表示
8．（2020·上海高一课时练习）已知，且，求的最小值．
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