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第四章
指数函数与对数函数
第4节
对数函数
1、基础巩固
1．（2020·全国高一课时练习）函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由对数函数的定义域只需，解得，所以函数的定义域为
.
2．（2020·吉林长春?高三二模（文））下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，在上为减函数.
A选项，的定义域为，在上为增函数，不符合.
B选项，的定义域为，不符合.
C选项，的定义域为，在上为减函数，符合.
D选项，的定义域为，不符合.
3．（2019·海南龙华?海口一中高二月考）函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在对数函数中，真数，所以.
4．（2020·西藏拉萨?高三二模（文））下列函数中，在区间上为减函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A选项，函数在区间上为增函数；
对于B选项，函数在区间上为增函数；
对于C选项，函数在区间上为减函数；
对于D选项，函数在区间上为增函数.
5．（2020·上海高一课时练习）若，则x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】且
6．（2020·绥德中学高二月考（文））下列函数中，在区间上为增函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对A，函数在上递增，所以在区间上为增函数，符合；
对B，函数在定义域上递减，不存在增区间，不符合；
对C，函数在上递减，不存在增区间，不符合；
对D，函数在上递减，在上递增，不符合．
7．（2020·北京高一期末）函数是（
）
A．上的增函数
B．上的减函数
C．上的增函数
D．上的减函数
【答案】A
【解析】的定义域为,
又,故在上为增函数,
故选:A.
8．（2020·安徽宿州?高一期末）函数的图象必不过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】由可判断为减函数，再根据函数平移法则，应由向左平移两个单位，如图，
故的图象必不过第一象限
9．（2017·内蒙古集宁一中高一期中（文））函数与的图象（
）
A．关于轴对称
B．关于轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线对称
【答案】D
【解析】由得，即，∴与互为反函数，其图象关于直线对称．
故选：D.
10．（2020·全国高一课时练习）函数的图像大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数是偶函数，且在上为增函数，结合各选项可知A正确．
故选A
11．（2018·平遥县综合职业技术学校高一期中）图中曲线分别表示，，，的图象，则，，，的关系是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图所示，由于在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象越向轴靠近，
所以．
12．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）若函数与互为反函数，则的单调递减区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数与互为反函数，，
则，根据同增异减的性质，可设，，可知外层函数为增函数，则内层函数应在定义域内取对应的减区间，即或，应取
13．（2019·浙江高一期中）函数的单调递增区间是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由，得到，令，则在上递减，而在上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到在上递增，
14．（2020·荆州市北门中学高一期末）已知函数f（x）=ln（–x2–2x+3），则f（x）的增区间为
A．（–∞，–1）
B．（–3，–1）
C．[–1，+∞）
D．[–1，1）
【答案】B
【解析】由，得,
当时，函数单调递增，
函数单调递增；
当时，函数单调递减，
函数单调递减,
选B.
15．（2020·浙江高一课时练习）函数的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，，，∴函数的值域为.
故选：A
16．（2020·浙江高一课时练习）若，且为整数，则满足条件的实数的个数为（
）．
A．12
B．13
C．14
D．15
【答案】C
【解析】令，，
则为增函数，且，，故的值域为．
又为整数，则一共能取14个整数值，
故相应的有14个．
17．（2020·浙江高一课时练习）在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称．而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵函数的图象与的图象关于直线对称，∴函数与互为反函数，则，又由的图象与的图象关于轴对称，∴，又∵，∴，，故选B.
18．（2020·全国高三其他（理））已知函数，若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】作出的图象如图，
由对数函数图象的变化趋势可知，要使，则，且，即对任意恒成立，所以.综上，.
故选：D.
19．（2020·全国高三一模（理））已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：∵对任意，存在，使得，
∴
∵，∴
，
∵，∴
∴
，解得，
故选：A.
20．（2020·江苏盐城?高一期末）设函数
若存在且，使得成立，则实数a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题知：，设，此时为减函数.
当时，设，此时为减函数，
若存在且，使得成立，
只需满足，即，解得.
当时，此时恒有且，使得成立.
综上：或.
21．（2019·河北路南?唐山一中高三期中（文））函数，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，所以或
因此或，或，即
故选:A
22．（2020·辽宁高三三模（文））设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，所以，当时，．当时，函数和在上都是增函数，所以在上单调递增，由奇函数的性质可知，在上单调递增，因为，故，即有，解得．
故选：D．
23．（多选题）（2019·全国高一课时练习）（多选）下面对函数与在区间上的衰减情况的说法中错误的有（
）
A．的衰减速度越来越慢,
的衰减速度越来越快
B．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越慢
C．的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越慢
D．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越快
【答案】ABD
【解析】在平面直角坐标系中画出与图象如下图所示：
由图象可判断出衰减情况为：衰减速度越来越慢；衰减速度越来越慢
故选：
24．（多选题）（2020·全国高一课时练习）已知函数，则下列说法正确的是（
）
A．
B．函数的图象与x轴有两个交点
C．函数的最小值为
D．函数的最大值为4
E.函数的图象关于直线对称
【答案】ABC
【解析】A正确，；
B正确，令，得，
解得或，即的图象与x有两个交点；
C正确，因为，所以当，
即时，取最小值；
D错误，没有最大值；
E错误，取，则.
25．（多选题）（2020·全国高一开学考试）已知函数，给出下述论述，其中正确的是（
）
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值；
C．当时，的值域为；
D．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
【答案】AC
【解析】对A,当时,解有,故A正确
对B,当时,,此时,,
此时值域为,故B错误.
对C,同B,故C正确.
对D,
若在区间上单调递增,此时对称轴.
解得.但当时在处无定义,故D错误.
故选AC
2、拓展提升
1．（2020·上海高一课时练习）求下列各式中x的取值范围：
（1）；
（2）；
（3）.
【解析】（1）,
,解得：或，
的取值范围是.
（2）
，解得：，
的取值范围是.
（3）
，解得：，
的取值范围是.
2．（2020·陕西咸阳?高一期末）已知函数的图象过点.
(1)求的值；
(2)计算的值.
【解析】(1)的图像过点，
，，得.
(2)由(1)知，，
.
3．（2019·安徽庐阳?合肥一中高一期中）己知函数.
（1）若，求实数a的值
（2）若，求实数a的取值范围.
【解析】解：（1）由得，即，
故，所以；
（2）由得，即，
当时，，无解；
当时，，得；
综上，实数a的取值范围为．
4．（2020·山西应县一中高二期中（文））设，且.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值.
【解析】解：(1)∵，
∴，
∴；
(2)由得，
∴函数的定义域为，
，
∴当时，是增函数；当时，是减函数，
∴函数在上的最大值是．
5．（2020·开鲁县第一中学高二期末（文））设f（x）＝loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1）且f（1）＝2．
（1）求a的值及f（x）的定义域；
（2）求f（x）在区间[0,]上的最大值和最小值．
【解析】（1）由题意知，，
解得﹣1＜x＜3；
故f（x）的定义域为（﹣1,3）；
再由f（1）＝2得，
loga（1+1）+loga（3﹣1）＝2；
故a＝2.
综上所述：函数定义域为，.
（2）f（x）＝log2（1+x）（3﹣x），
∵x[0,]，
∴（1+x）（3﹣x）[3,4]，
故f（x）在区间[0,]上的最大值为f（1）＝2；
f（x）在区间[0,]上的最小值为f（0）＝log23．
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指数函数与对数函数
第4节
对数函数
1、基础巩固
1．（2020·全国高一课时练习）函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·吉林长春?高三二模（文））下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2019·海南龙华?海口一中高二月考）函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·西藏拉萨?高三二模（文））下列函数中，在区间上为减函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·上海高一课时练习）若，则x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·绥德中学高二月考（文））下列函数中，在区间上为增函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·北京高一期末）函数是（
）
A．上的增函数
B．上的减函数
C．上的增函数
D．上的减函数
8．（2020·安徽宿州?高一期末）函数的图象必不过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
9．（2017·内蒙古集宁一中高一期中（文））函数与的图象（
）
A．关于轴对称
B．关于轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线对称
10．（2020·全国高一课时练习）函数的图像大致是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2018·平遥县综合职业技术学校高一期中）图中曲线分别表示，，，的图象，则，，，的关系是（
）．
A．
B．
C．
D．
12．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）若函数与互为反函数，则的单调递减区间是（
）
A．
B．
C．
D．
13．（2019·浙江高一期中）函数的单调递增区间是(
)
A．
B．
C．
D．
14．（2020·荆州市北门中学高一期末）已知函数f（x）=ln（–x2–2x+3），则f（x）的增区间为
A．（–∞，–1）
B．（–3，–1）
C．[–1，+∞）
D．[–1，1）
15．（2020·浙江高一课时练习）函数的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
16．（2020·浙江高一课时练习）若，且为整数，则满足条件的实数的个数为（
）．
A．12
B．13
C．14
D．15
17．（2020·浙江高一课时练习）在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称．而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
18．（2020·全国高三其他（理））已知函数，若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
19．（2020·全国高三一模（理））已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
20．（2020·江苏盐城?高一期末）设函数
若存在且，使得成立，则实数a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
21．（2019·河北路南?唐山一中高三期中（文））函数，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
22．（2020·辽宁高三三模（文））设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
23．（多选题）（2019·全国高一课时练习）（多选）下面对函数与在区间上的衰减情况的说法中错误的有（
）
A．的衰减速度越来越慢,
的衰减速度越来越快
B．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越慢
C．的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越慢
D．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越快
24．（多选题）（2020·全国高一课时练习）已知函数，则下列说法正确的是（
）
A．
B．函数的图象与x轴有两个交点
C．函数的最小值为
D．函数的最大值为4
E.函数的图象关于直线对称
25．（多选题）（2020·全国高一开学考试）已知函数，给出下述论述，其中正确的是（
）
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值；
C．当时，的值域为；
D．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
2、拓展提升
1．（2020·上海高一课时练习）求下列各式中x的取值范围：
（1）；
（2）；
（3）.
2．（2020·陕西咸阳?高一期末）已知函数的图象过点.
(1)求的值；
(2)计算的值.
3．（2019·安徽庐阳?合肥一中高一期中）己知函数.
（1）若，求实数a的值
（2）若，求实数a的取值范围.
4．（2020·山西应县一中高二期中（文））设，且.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值.
5．（2020·开鲁县第一中学高二期末（文））设f（x）＝loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1）且f（1）＝2．
（1）求a的值及f（x）的定义域；
（2）求f（x）在区间[0,]上的最大值和最小值．
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