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第四章
指数函数与对数函数
第5节
函数的应用（二）
1、基础巩固
1．（2020·全国高一课时练习）函数的零点是（
）
A．
B．
C．
D．不存在
2．（2020·全国高一课时练习）若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是（
）
A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
3．（2020·全国高一课时练习）下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·全国高一课时练习）某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：表示中午12：00，其后t取正值，则下午3时温度为（
）
A．8℃
B．78℃
C．112℃
D．18℃
5．（2020·浙江高一课时练习）某研究小组在一项实验中获得一组关于之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画与之间关系的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·浙江高一单元测试）利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表：
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
0.04
0.36
1.0
1.96[学
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程的一个根位于下列区间
（
）
A．（0.6，1.0）
B．（1.4，1.8）
C．（1.8，2.2）
D．（2.6，3.0）
7．（2020·浙江高一课时练习）设函数，则下列说法中正确的是（
）．
A．在区间，内均有零点
B．在区间，内均无零点
C．在区间内有零点，在区间内无零点
D．在区间内无零点，在区间内有零点
8．（2020·陕西新城?西安中学高二期末（文））若函数有且只有一个零点，则a的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
B．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）
C．[﹣1，0）
D．[0，+∞）
9．（2020·沈阳二中北校高三其他（文））函数的零点所在的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·黑龙江松北?哈九中高三三模（文））下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·全国高三其他（文））已知函数，，若恰有1个零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2020·全国高三课时练习（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（
）
A．10名
B．18名
C．24名
D．32名
13．（2020·全国高一课时练习）某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用（
）
A．一次函数
B．二次函数
C．指数型函数
D．对数型函数
14．（2020·全国高一课时练习）四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2
B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x
D．f4(x)＝2x
15．（2020·全国高一课时练习）能使不等式一定成立的x的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
16．（2020·浙江高一课时练习）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是(
)
A．75,25
B．75,16
C．60,25
D．60,16
17．（2020·全国高三其他（文））已知函数其中且，若，使得函数有2个零点，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
18．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他（理））已知函数，过点的直线与的图象有三个不同的交点，则直线斜率的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
19．（多选题）（2020·化州市第一中学高二月考）（多选）已知函数，则下列对于的性质表述正确的是（
）
A．为偶函数
B．
C．在上的最大值为
D．在区间上至少有一个零点
20．（多选题）（2019·山东枣庄?高二期末）有如下命题，其中真命题的标号为（
）
A．若幂函数的图象过点，则
B．函数（，且）的图象恒过定点
C．函数有两个零点
D．若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是
2、拓展提升
1．（2020·全国高一）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
（1）f（x）＝；
（2）f（x）＝x2＋2x＋4；
2．（2020·全国高一）函数f（x）＝x2－ax－b的两个零点是1和2，求函数g（x）＝ax2－bx－1的零点．
3．（2020·上海浦东新?华师大二附中高一期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.
（1）求及的值；
（2）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围.
4．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足P＝3﹣（其中0≤x≤2）.现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）万元/万件.
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润.
5．（2019·浙江高一期中）已知函数
（Ⅰ）若，求在上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若关于的方程在上有两个不相等实根，求实数的取值范围．
6．（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知函数
（1）若，求函数的零点；
（2）若函数在上为增函数，求a的取值范围.
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第四章
指数函数与对数函数
第5节
函数的应用（二）
1、基础巩固
1．（2020·全国高一课时练习）函数的零点是（
）
A．
B．
C．
D．不存在
【答案】C
【解析】函数的零点等价于方程的根，
函数的零点是，
故选：C.
2．（2020·全国高一课时练习）若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是（
）
A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
【答案】C
【解析】由题知，
所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，
又，
因此无法判断在区间上是否有零点.
3．（2020·全国高一课时练习）下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】随x的增大，指数函数的增长速度最快，
的增长速度最快，
故选：C.
4．（2020·全国高一课时练习）某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：表示中午12：00，其后t取正值，则下午3时温度为（
）
A．8℃
B．78℃
C．112℃
D．18℃
【答案】B
【解析】将的值代入解析式可得：，
故选：B.
5．（2020·浙江高一课时练习）某研究小组在一项实验中获得一组关于之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画与之间关系的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C：满足题意.故选C.
6．（2020·浙江高一单元测试）利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表：
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
0.04
0.36
1.0
1.96[学
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程的一个根位于下列区间
（
）
A．（0.6，1.0）
B．（1.4，1.8）
C．（1.8，2.2）
D．（2.6，3.0）
【答案】C
【解析】构造f(x)＝2x－x2，则f(1.8)＝0.242，f(2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f(x)＝2x－x2＝0，所以方程2x＝x2的一个根就位于区间(1.8,2.2)上．选C
7．（2020·浙江高一课时练习）设函数，则下列说法中正确的是（
）．
A．在区间，内均有零点
B．在区间，内均无零点
C．在区间内有零点，在区间内无零点
D．在区间内无零点，在区间内有零点
【答案】D
【解析】由题可知：
则
若，，函数单调递减
若，，函数单调递增
所以函数在，单调递减，
又，，
所以函数在无零点，在有零点
8．（2020·陕西新城?西安中学高二期末（文））若函数有且只有一个零点，则a的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
B．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）
C．[﹣1，0）
D．[0，+∞）
【答案】B
【解析】当x＞0时，因为log21＝0，所以有一个零点，所以要使函数有且只有一个零点，
则当x≤0时，函数f（x）没有零点即可，当x≤0时，0＜2x≤1，∴﹣1≤﹣2x＜0，∴﹣1﹣a≤﹣2x﹣a＜﹣a，
所以﹣a≤0或﹣1﹣a＞0，即a≥0或a＜﹣1.
故选：B
9．（2020·沈阳二中北校高三其他（文））函数的零点所在的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：∵，
，
则，
∴函数的零点所在区间是?，
当，且时，
，
，
，
ACD中函数在区间端点的函数值均同号，
根据零点存在性定理，B为正确答案.
故选：B.
10．（2020·黑龙江松北?哈九中高三三模（文））下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据函数奇偶性的概念可判断A选项与D选项所给函数不具有奇偶性；
对于B选项，为奇函数，但不存在零点；
对于C选项，为奇函数，且；
故答案选：C.
11．（2020·全国高三其他（文））已知函数，，若恰有1个零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】恰有1个零点即与的图像恰有一个交点，恒过点，
由得，所以曲线在点处的切线的斜率为1，
由得，所以曲线在点处的切线的斜率为1，
所以结合图像可知，恰有1个零点当且仅当.
故选：D
12．（2020·全国高三课时练习（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（
）
A．10名
B．18名
C．24名
D．32名
【答案】B
【解析】由题意，第二天新增订单数为，
故需要志愿者名.
故选：B
13．（2020·全国高一课时练习）某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用（
）
A．一次函数
B．二次函数
C．指数型函数
D．对数型函数
【答案】D
【解析】由题目信息可得：初期增长迅速，后来增长越来越慢，故可用对数型函数模型来反映y与x的关系.
故选：D.
14．（2020·全国高一课时练习）四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2
B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x
D．f4(x)＝2x
【答案】D
【解析】由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终最前面的具有的函数关系为，故选D．
15．（2020·全国高一课时练习）能使不等式一定成立的x的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】作出、（红色）、图像
由图像可知，当时，
16．（2020·浙江高一课时练习）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是(
)
A．75,25
B．75,16
C．60,25
D．60,16
【答案】D
【解析】由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4）==30，
可得出=30故=4，可得A=16
从而c=15=60
故答案为D
17．（2020·全国高三其他（文））已知函数其中且，若，使得函数有2个零点，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令，，则，
故问题转化为，的图像有两个交点，
显然当时，，的图像有两个交点；
当时，只需，解得；
综上所述，实数的取值范围为，
故选：B.
18．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他（理））已知函数，过点的直线与的图象有三个不同的交点，则直线斜率的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数，可得，
设直线l的斜率为，方程为，
由题意可得有三个不等的实根，
显然是其中的一个根，
则有两个不等的实根，且，即，
由的，可得，解得，
则的范围是.
19．（多选题）（2020·化州市第一中学高二月考）（多选）已知函数，则下列对于的性质表述正确的是（
）
A．为偶函数
B．
C．在上的最大值为
D．在区间上至少有一个零点
【答案】ABCD
【解析】因为，所以其的定义域为，
A选项，，所以函数为偶函数，故A正确；
B选项，，故B正确；
C选项，因为，当，单调递增，所以单调递减，因此，故C正确；
D选项，因为，所以，，
即，由零点存在性定理可得：在区间上存在零点，故D正确；
20．（多选题）（2019·山东枣庄?高二期末）有如下命题，其中真命题的标号为（
）
A．若幂函数的图象过点，则
B．函数（，且）的图象恒过定点
C．函数有两个零点
D．若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是
【答案】BD
【解析】A.
设幂函数，代入，得到，故A不成立；
B.
由于恒过定点，因此令，即时，恒有，即图象恒过定点，故B正确；
C.转化为
函数与在同一直角坐标系下的图像如图：
两个函数只有一个交点，故函数只有一个零点，C选项不正确.
D.函数的图像如图所示，
数形结合，可得若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是，D选项正确.
故选：BD
2、拓展提升
1．（2020·全国高一）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
（1）f（x）＝；
（2）f（x）＝x2＋2x＋4；
【解析】（1）令＝0，解得x＝－3，所以函数f（x）＝的零点是x＝－3．
（2）令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，所以函数f（x）＝x2＋2x＋4不存在零点．
2．（2020·全国高一）函数f（x）＝x2－ax－b的两个零点是1和2，求函数g（x）＝ax2－bx－1的零点．
【解析】因为函数f（x）＝x2－ax－b的两个零点是1和2，
所以，
所以g（x）＝3x2＋2x－1，
令，解得或，
故函数g（x）的零点为－1和．
3．（2020·上海浦东新?华师大二附中高一期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.
（1）求及的值；
（2）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围.
【解析】（1）是定义在上的偶函数，
且当时，，
；
（2）函数是定义在上的偶函数，
关于的方程有四个不同的实数解，
只需时，有两个解，
当时，，
所以
4．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足P＝3﹣（其中0≤x≤2）.现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）万元/万件.
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润.
【解析】（1）当促销费用为万元时，
付出的成本是：
销售收入是：，
故
整理可得，0≤x≤2.
（2）根据（1）中所求，
，当且仅当时取得最大值.
故当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元.
5．（2019·浙江高一期中）已知函数
（Ⅰ）若，求在上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若关于的方程在上有两个不相等实根，求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）若，则，
因为二次函数开口向上，对称轴为：；又，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
因此；又，，
所以；
（Ⅱ）由关于的方程在上有两个不相等实根，可得方程有两个不相等正根，
则，解得．
26．（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知函数
（1）若，求函数的零点；
（2）若函数在上为增函数，求a的取值范围.
【解析】（1）当时，由，得；
当时，由得或.
∴时，函数的零点为-2，0，.
（2）函数在上是增函数，且，
函数在上为增函数，且，
若在[-1，+∞）上为增函数，则，∴.
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