2.9 有理数的乘方（含答案）
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 有理数及其运算
9 有理数的乘方
考点知识清单
考点1 有理数乘方的意义
例1 把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么。
（－2）×（－2）×（－2）；（2）2015×2015×2015×2015×2015×2015；
（3）××××； （4）。
思路提示：（1）乘方是一种特殊的乘法运算（因数都相同），没有运算符号，它是利用数字的相对位置来指明运算的，书写时注意n应写在a的右上角，一个数可以看作是它本身是一次方，指数1通常省略不写，例如2＝21。（2）幂是乘方运算的结果，具体如下：
方法归纳
当底数是分数或负数时，要用括号括起来。
确定乘方指数时，当指数是1时，可以省略不写；确定乘方的底数时，一定要按照其定义进行。
题组训练
216表示（ ）
2乘16 B. 2个16相乘 C. 16个2相加 D. 16个2相乘
2.（舟山）13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头毛驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为（ ）
A. 42 B. 49 C. 76 D. 77
3.把下列各式写成乘方运算的形式，并指出底数、指数各是什么。
（1）（－1.2）×（－1.2）×（－1.2）×（－1.2）×（－1.2）；
（2）×××××。
考点2 有理数的乘方运算
例2 计算：
（－5）4；（2）－54；（3）（－）3；（4）－；（5）（－1）2014；（6）（1）3.
思路提示：在计算中，可以把乘方运算转化为乘法运算。注意负数的乘方与乘方的相反数不同，例如：
（－2）4＝（－2）×（－2）×（－2）×（－2）＝16，而－24＝－2×2×2×2=－16.
方法归纳
乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算），幂是乘方的结果。乘方是利用乘法来定义的，乘方是乘法的特例。进行乘方运算时首先要确定符号，然后再计算底数绝对值的幂。
题组训练
4. 43的底数是_________，指数是_________，计算的结果是__________。
5. －32的底数是__________，指数是_________，结果是___________。
6. 计算：（1）53；（2）（－3）4；（3）（－）3；（4）（－）2；（5）（）2.
考点3 有理数乘方运算的符号规律
例3 不做运算，确定下列各式运算结果的符号：
（－1）2016，22015，0100，（－2）99，－（－3）11.
思路提示：进行有理数的乘方运算，主要有以下两步：
定符号：幂的符号是由底数和指数决定的，通常是“先看底数，再看指数”。
定绝对值：即计算底数绝对值的幂。
方法归纳
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；0的任何正次幂都是0.
互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等。
题组训练
7.一个数的平方是81，则这个数是（ ）
A. ±9 B. 9 C. －9 D. 92
8.已知，则a＝__________，b＝_________。
9.不做运算，判断各运算结果的符号。
（－3）13，（－2）24，（－1.7）2013，（）5，－（－2）23.
提分突破
A 基础巩固
24的意义（ ）
2乘4 B. 2个4相乘 C. 4个2相乘 D. 4个2相加
（－1）4可表示为（ ）
（－1）×4 B. （－1）＋（－1）＋（－1）＋（－1）
C. －1×1×1×1 D. （－1）×（－1）×（－1）×（－1）
3. 计算（－3）3的结果是（ ）
A. 9 B. －9 C. 27 D. －27
4. 10n是这样一个数（ ）
A. 10个n相乘的积 B. n个10相乘的积
C. 1后面有（n－1）个零点整数 D. 1后面有（n＋1）个零的整数
5. 计算12009＋（－1）2009的结果是（ ）
A. 0 B. 2 C. －2 D. 4018
6. 比较（－4）3和－43，下列说法正确的是（ ）
A. 它们底数相同，指数也相同 B. 它们底数相同，但指数不相同
C. 它们所表示但意义相同，但运算结果不相同 D. 虽然它们底数不同，但运算结果相同
7.下列说法正确得是（ ）
A. 23表示2×3 B. －32与（－3）2互为相反数
C. （－4）2中－4是底数，2是幂 D. a3＝（－a）3
8.你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗但面条拉成了许多细的面条，如图所示。这样捏合到第8次后可拉出______根细面条。
9.不做运算，判断下列各运算结果的符号：
（－3）13，（－2）24，（－1.7）2007，（）5，－（－2）23，02004.
10.计算：
（1）（－1）3；（2）（－1）2012；（3）（－0.1）3；（4）（）4；（5）103；（6）02012.
B 综合运用
11.下列各组数中，数值相等的是（ ）
A. 和（）2 B. －12013和（－1）2013 C. －32和（－3）2 D. －和
12.在－22，（－2）2，－（－2），－中，负数有（ ）
A. 1个 2. 2个 3. 3个 4. 4个
13.有一张厚度是0.2毫米的纸，如果将它连续对折6次，则折叠6次后的厚度为__________毫米。
14.计算：－24＋（－2）4＝____________。
15.已知，，且a与（y＋4）2互为相反数。
求x，y的值；
求yx的值。
C 拓展探究
阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22013的值。
解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22012＋22013，将等式两边同时乘2得：
2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22013＋22014，将下式减去上式得：
2S－S＝22014－1，即1＋2＋22＋23＋24＋…＋22013＝22014－1。
请你仿照此法计算1＋3＋32＋33＋34＋…＋32014的值。
参考答案
考点1
例1 解：（1）原式＝（－2）3，底数是－2，指数是3；（2）原式＝20156，底数是2015，指数是6；（3）原式＝（）5，底数是，指数是5；（4）原式＝，底数是a，指数是2n。
题组训练
D 2.C
3.解：（1）原式＝（－1.2）5，其中，底数是－1.2，指数是5；
（2）原式＝（）6，其中，底数是，指数是6.
考点2
例2 解：（1）原式＝（－5）×（－5）×（－5）×（－5）＝625；
（2）原式＝－5×5×5×5＝－625；
（3）原式＝（－）×（－）×（－）＝－；
（4）原式＝－；（5）原式＝1；（6）原式＝。
题组训练
4. 4；3；64 5. 3，2，－9
6.解：（1）53＝125；（2）（－3）4＝81；（3）（－）3＝－；
（4）（－）2＝；（5）（）2＝.
考点3
例3 解：正号；正号；0；负号；正号。
题组训练
A 8. －2，3
9.解：（－3）13的运算结果的符号是负，（－2）24的运算结果的符号是正，（－1.7）2013的运算结果的符号是负，（）5的运算结果的符号是正，－（－2）23的运算结果的符号是正。
提分突破
A 基础巩固
C 2. D 3. D 4. B 5. A 6. D 7. B
256
解：（－3）13是负号，（－2）24是正号，（－1.7）2007是负号，（）5是正号，－（－2）23是正号，02004是0.
解：（1）（－1）3＝－1；（2）（－1）2012＝1；（3）（－0.1）3＝－0.001；（4）（）4＝；（5）103＝1000；（6）02012＝0.
B 综合运用
B 12. B 13. 12.8 14. 0
解：因为，，所以a＝±3，b＝±2。因为a＜b，所以a＝－3，b＝±2，故(a＋b)2＝(－3＋2)2＝1，或(a＋b)2＝(－3－2)2＝25，综上所述，(a＋b)2的值为1或25。
解：（1）因为与(y＋4)2互为相反数，所以＋(y＋4)2＝0，∴x＝2，y＝－4。
（2）把x＝2，y＝－4代入。
C 拓展探究
解：设：S＝1+3+32+33+…+32014，则3S＝3+32+33+…+32014+32015，所以3S－S＝32015－1，
所以S＝。
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_
第二章 有理数及其运算
9 有理数的乘方
考点知识清单
考点1 有理数乘方的意义
例1 把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么。
（－2）×（－2）×（－2）；（2）2015×2015×2015×2015×2015×2015；
（3）××××； （4）。
思路提示：（1）乘方是一种特殊的乘法运算（因数都相同），没有运算符号，它是利用数字的相对位置来指明运算的，书写时注意n应写在a的右上角，一个数可以看作是它本身是一次方，指数1通常省略不写，例如2＝21。（2）幂是乘方运算的结果，具体如下：
方法归纳
当底数是分数或负数时，要用括号括起来。
确定乘方指数时，当指数是1时，可以省略不写；确定乘方的底数时，一定要按照其定义进行。
题组训练
216表示（ ）
2乘16 B. 2个16相乘 C. 16个2相加 D. 16个2相乘
2.（舟山）13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头毛驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为（ ）
A. 42 B. 49 C. 76 D. 77
3.把下列各式写成乘方运算的形式，并指出底数、指数各是什么。
（1）（－1.2）×（－1.2）×（－1.2）×（－1.2）×（－1.2）；
（2）×××××。
考点2 有理数的乘方运算
例2 计算：
（－5）4；（2）－54；（3）（－）3；（4）－；（5）（－1）2014；（6）（1）3.
思路提示：在计算中，可以把乘方运算转化为乘法运算。注意负数的乘方与乘方的相反数不同，例如：
（－2）4＝（－2）×（－2）×（－2）×（－2）＝16，而－24＝－2×2×2×2=－16.
方法归纳
乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算），幂是乘方的结果。乘方是利用乘法来定义的，乘方是乘法的特例。进行乘方运算时首先要确定符号，然后再计算底数绝对值的幂。
题组训练
4. 43的底数是_________，指数是_________，计算的结果是__________。
5. －32的底数是__________，指数是_________，结果是___________。
6. 计算：（1）53；（2）（－3）4；（3）（－）3；（4）（－）2；（5）（）2.
考点3 有理数乘方运算的符号规律
例3 不做运算，确定下列各式运算结果的符号：
（－1）2016，22015，0100，（－2）99，－（－3）11.
思路提示：进行有理数的乘方运算，主要有以下两步：
定符号：幂的符号是由底数和指数决定的，通常是“先看底数，再看指数”。
定绝对值：即计算底数绝对值的幂。
方法归纳
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；0的任何正次幂都是0.
互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等。
题组训练
7.一个数的平方是81，则这个数是（ ）
A. ±9 B. 9 C. －9 D. 92
8.已知，则a＝__________，b＝_________。
9.不做运算，判断各运算结果的符号。
（－3）13，（－2）24，（－1.7）2013，（）5，－（－2）23.
提分突破
A 基础巩固
24的意义（ ）
2乘4 B. 2个4相乘 C. 4个2相乘 D. 4个2相加
（－1）4可表示为（ ）
（－1）×4 B. （－1）＋（－1）＋（－1）＋（－1）
C. －1×1×1×1 D. （－1）×（－1）×（－1）×（－1）
3. 计算（－3）3的结果是（ ）
A. 9 B. －9 C. 27 D. －27
4. 10n是这样一个数（ ）
A. 10个n相乘的积 B. n个10相乘的积
C. 1后面有（n－1）个零点整数 D. 1后面有（n＋1）个零的整数
5. 计算12009＋（－1）2009的结果是（ ）
A. 0 B. 2 C. －2 D. 4018
6. 比较（－4）3和－43，下列说法正确的是（ ）
A. 它们底数相同，指数也相同 B. 它们底数相同，但指数不相同
C. 它们所表示但意义相同，但运算结果不相同 D. 虽然它们底数不同，但运算结果相同
7.下列说法正确得是（ ）
A. 23表示2×3 B. －32与（－3）2互为相反数
C. （－4）2中－4是底数，2是幂 D. a3＝（－a）3
8.你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗但面条拉成了许多细的面条，如图所示。这样捏合到第8次后可拉出______根细面条。
9.不做运算，判断下列各运算结果的符号：
（－3）13，（－2）24，（－1.7）2007，（）5，－（－2）23，02004.
10.计算：
（1）（－1）3；（2）（－1）2012；（3）（－0.1）3；（4）（）4；（5）103；（6）02012.
B 综合运用
11.下列各组数中，数值相等的是（ ）
A. 和（）2 B. －12013和（－1）2013 C. －32和（－3）2 D. －和
12.在－22，（－2）2，－（－2），－中，负数有（ ）
A. 1个 2. 2个 3. 3个 4. 4个
13.有一张厚度是0.2毫米的纸，如果将它连续对折6次，则折叠6次后的厚度为__________毫米。
14.计算：－24＋（－2）4＝____________。
15.已知，，且a
求x，y的值；
求yx的值。
C 拓展探究
阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22013的值。
解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22012＋22013，将等式两边同时乘2得：
2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22013＋22014，将下式减去上式得：
2S－S＝22014－1，即1＋2＋22＋23＋24＋…＋22013＝22014－1。
请你仿照此法计算1＋3＋32＋33＋34＋…＋32014的值。
参考答案
考点1
例1 解：（1）原式＝（－2）3，底数是－2，指数是3；（2）原式＝20156，底数是2015，指数是6；（3）原式＝（）5，底数是，指数是5；（4）原式＝，底数是a，指数是2n。
题组训练
D 2.C
3.解：（1）原式＝（－1.2）5，其中，底数是－1.2，指数是5；
（2）原式＝（）6，其中，底数是，指数是6.
考点2
例2 解：（1）原式＝（－5）×（－5）×（－5）×（－5）＝625；
（2）原式＝－5×5×5×5＝－625；
（3）原式＝（－）×（－）×（－）＝－；
（4）原式＝－；（5）原式＝1；（6）原式＝。
题组训练
4. 4；3；64 5. 3，2，－9
6.解：（1）53＝125；（2）（－3）4＝81；（3）（－）3＝－；
（4）（－）2＝；（5）（）2＝.
考点3
例3 解：正号；正号；0；负号；正号。
题组训练
A 8. －2，3
9.解：（－3）13的运算结果的符号是负，（－2）24的运算结果的符号是正，（－1.7）2013的运算结果的符号是负，（）5的运算结果的符号是正，－（－2）23的运算结果的符号是正。
提分突破
A 基础巩固
C 2. D 3. D 4. B 5. A 6. D 7. B
256
解：（－3）13是负号，（－2）24是正号，（－1.7）2007是负号，（）5是正号，－（－2）23是正号，02004是0.
解：（1）（－1）3＝－1；（2）（－1）2012＝1；（3）（－0.1）3＝－0.001；（4）（）4＝；（5）103＝1000；（6）02012＝0.
B 综合运用
B 12. B 13. 12.8 14. 0
解：因为，，所以a＝±3，b＝±2。因为a＜b，所以a＝－3，b＝±2，故(a＋b)2＝(－3＋2)2＝1，或(a＋b)2＝(－3－2)2＝25，综上所述，(a＋b)2的值为1或25。
解：（1）因为与(y＋4)2互为相反数，所以＋(y＋4)2＝0，∴x＝2，y＝－4。
（2）把x＝2，y＝－4代入。
C 拓展探究
解：设：S＝1+3+32+33+…+32014，则3S＝3+32+33+…+32014+32015，所以3S－S＝32015－1，
所以S＝。
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_