高中数学第二章随机变量及其分布2.1.1离散型随机变量讲义新人教A版选修2_3(Word版)
文档属性
| 名称 | 高中数学第二章随机变量及其分布2.1.1离散型随机变量讲义新人教A版选修2_3(Word版) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 186.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-10 12:22:11 | ||
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文档简介
2．1.1 离散型随机变量
知识点 随机变量
(1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
(2)表示：随机变量常用字母表示．
知识点 随机变量与函数的关系
相同点 随机变量和函数都是一种映射
区别 随机变量是随机试验的结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射
联系 随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域
知识点 离散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
随机试验的特点
(1)试验的所有结果可以用一个数来表示；
(2)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前，却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．判断一个变量是否为离散型随机变量，首先看它是不是随机变量，其次看可能取值是否能一一列出，也就是说变量的取值若是有限的，或者是可以列举出来的，就可以视为离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的取值是任意的实数．( )
(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )
(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．( )
答案 (1)× (2)√ (3)×
2．做一做
(1)甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________．
(2)同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为________．
(3)在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件取到次品就停止，抽取次数为X，则X＝3表示的试验是________．
答案 (1)0,1,2,3 (2){0,1,2,3,4,5} (3)共抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品
解析 (1)甲可能3次全击中，也可能一次未中，中1次，2次，所以ξ的取值为0,1,2,3.
(2)当硬币全部为正面向上时，ξ＝0，硬币反面向上的个数还可能有1个，2个，3个，4个，也可能都反面向上，即5个．
(3)由随机试验可知X＝3表示抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品．
探究1 随机变量的概念
例1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量．
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数．
(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数．
(4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．
[解] (1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量．
拓展提升
随机变量的辨析方法
(1)随机试验的结果是否具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
(2)随机试验的结果的确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．
指出哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某人射击一次命中的环数；
(2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；
(3)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；
(4)某个人的属相随年龄的变化．
解 (1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0,1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．
(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，因此出现正面向上的次数是随机变量．
(3)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．
(4)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量．
探究2 离散型随机变量的判定
例2 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某超市5月份每天的销售额；
(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；
(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位监测站所测水位ξ.
[解] (1)某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．
(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
(3)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．
拓展提升
判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的关键是判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出，其具体方法如下：
(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的试验结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
某市公交公司规定：身高不超过120 cm的学生免费乘车，凡身高超过120 cm的学生，每次乘车0.5元，若学生每次乘车应交的车费为η(单位：元)，学生的身高用ξ(单位：cm)表示，那么ξ和η是不是离散型随机变量？若是，请写出相应的取值情况．
解 由于每个学生对应唯一的一个身高，并且可以一一列举出来，因此ξ是一个离散型随机变量，其取值为本市所有学生的身高．
η＝因此η也是一个离散型随机变量，其取值为0,0.5.
探究3 随机变量的应用
例3 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，每次取到的红球不放回，直到取出的球是白球为止所需要的取球次数；
(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．
[解] (1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，
X＝i表示前(i－1)次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2，…，11.
(2)设所取卡片上的数字之和为ξ，则ξ可取3,4，…，11，其中：
{ξ＝3}表示取出标有1,2的两张卡片；
{ξ＝4}表示取出标有1,3的两张卡片；
{ξ＝5}表示取出标有1,4或2,3的两张卡片；
{ξ＝6}表示取出标有1,5或2,4的两张卡片；
{ξ＝7}表示取出标有1,6或2,5或3,4的两张卡片；
{ξ＝8}表示取出标有2,6或3,5的两张卡片；
{ξ＝9}表示取出标有3,6或4,5的两张卡片；
{ξ＝10}表示取出标有4,6的两张卡片；
{ξ＝11}表示取出标有5,6的两张卡片．
拓展提升
解此类题主要是运用离散型随机变量的定义，随机变量X满足三个特征：①可以用数来表示；②试验前可以判断其可能出现的所有值；③在试验前不能确定取何值．
写出下列随机变量ξ的所有可能取值，并说明随机变量ξ＝4所表示的随机试验的结果．
(1)从10张已编号的卡片(编号从1号到10号)中任取2张(一次性取出)，被取出的卡片的较大编号为ξ；
(2)某足球队在点球大战中5次点球射进的球数为ξ.
解 (1)ξ的所有可能取值为2,3,4，…，10.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大号码为4”．基本事件有如下三种：取出的两张卡片编号分别为1和4,2和4或3和4.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“5次点球射进4个球”．
1.所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件.
2.离散型随机变量的特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值；(4)试验结果能一一列出.
1．下列变量中，不是随机变量的是( )
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
答案 B
解析 标准状态下，水沸腾时的温度是一个确定值，而不是随机变量．故选B.
2．若用随机变量X表示从一个装有1个白球、3个黑球、2个黄球的袋中取出的4个球中不是黑球的个数，则X的取值不可能为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 A
解析 由于白球和黄球的个数和为3，所以4个球不是黑球的个数分别可能是1,2,3，X不可能取0.故选A.
3．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是________．
答案 300,100，－100，－300
解析 可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．
4．连续不断地射击某一目标，首次击中目标需要的射击次数X是一个随机变量，则X＝4表示的试验结果是________．
答案 前3次未击中目标，第4次击中目标
解析 由于随机变量X表示首次击中目标需要的射击次数，所以当X＝k时，表示前k－1次均未击中目标，第k次击中目标，故X＝4表示的试验结果为前3次未击中目标，第4次击中目标．
5．同时掷两枚质地均匀的硬币．
(1)用X表示掷出正面的个数，要表示试验的全部可能结果，X应取哪些值？
(2)X<2和X>0各表示什么？
解 (1)掷两枚硬币时，掷出正面的个数可能是0,1,2中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的．
用X表示掷出正面的个数，X的值应随机地取0,1,2中的某个．
(2)X<2表示事件“正面个数小于2”，即事件“正面个数为0或1”；X>0表示事件“正面个数大于0”，即事件“正面个数为1或2”．
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知识点 随机变量
(1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
(2)表示：随机变量常用字母表示．
知识点 随机变量与函数的关系
相同点 随机变量和函数都是一种映射
区别 随机变量是随机试验的结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射
联系 随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域
知识点 离散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
随机试验的特点
(1)试验的所有结果可以用一个数来表示；
(2)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前，却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．判断一个变量是否为离散型随机变量，首先看它是不是随机变量，其次看可能取值是否能一一列出，也就是说变量的取值若是有限的，或者是可以列举出来的，就可以视为离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的取值是任意的实数．( )
(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )
(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．( )
答案 (1)× (2)√ (3)×
2．做一做
(1)甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________．
(2)同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为________．
(3)在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件取到次品就停止，抽取次数为X，则X＝3表示的试验是________．
答案 (1)0,1,2,3 (2){0,1,2,3,4,5} (3)共抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品
解析 (1)甲可能3次全击中，也可能一次未中，中1次，2次，所以ξ的取值为0,1,2,3.
(2)当硬币全部为正面向上时，ξ＝0，硬币反面向上的个数还可能有1个，2个，3个，4个，也可能都反面向上，即5个．
(3)由随机试验可知X＝3表示抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品．
探究1 随机变量的概念
例1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量．
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数．
(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数．
(4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．
[解] (1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量．
拓展提升
随机变量的辨析方法
(1)随机试验的结果是否具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
(2)随机试验的结果的确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．
指出哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某人射击一次命中的环数；
(2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；
(3)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；
(4)某个人的属相随年龄的变化．
解 (1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0,1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．
(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，因此出现正面向上的次数是随机变量．
(3)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．
(4)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量．
探究2 离散型随机变量的判定
例2 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某超市5月份每天的销售额；
(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；
(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位监测站所测水位ξ.
[解] (1)某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．
(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
(3)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．
拓展提升
判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的关键是判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出，其具体方法如下：
(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的试验结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
某市公交公司规定：身高不超过120 cm的学生免费乘车，凡身高超过120 cm的学生，每次乘车0.5元，若学生每次乘车应交的车费为η(单位：元)，学生的身高用ξ(单位：cm)表示，那么ξ和η是不是离散型随机变量？若是，请写出相应的取值情况．
解 由于每个学生对应唯一的一个身高，并且可以一一列举出来，因此ξ是一个离散型随机变量，其取值为本市所有学生的身高．
η＝因此η也是一个离散型随机变量，其取值为0,0.5.
探究3 随机变量的应用
例3 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，每次取到的红球不放回，直到取出的球是白球为止所需要的取球次数；
(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．
[解] (1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，
X＝i表示前(i－1)次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2，…，11.
(2)设所取卡片上的数字之和为ξ，则ξ可取3,4，…，11，其中：
{ξ＝3}表示取出标有1,2的两张卡片；
{ξ＝4}表示取出标有1,3的两张卡片；
{ξ＝5}表示取出标有1,4或2,3的两张卡片；
{ξ＝6}表示取出标有1,5或2,4的两张卡片；
{ξ＝7}表示取出标有1,6或2,5或3,4的两张卡片；
{ξ＝8}表示取出标有2,6或3,5的两张卡片；
{ξ＝9}表示取出标有3,6或4,5的两张卡片；
{ξ＝10}表示取出标有4,6的两张卡片；
{ξ＝11}表示取出标有5,6的两张卡片．
拓展提升
解此类题主要是运用离散型随机变量的定义，随机变量X满足三个特征：①可以用数来表示；②试验前可以判断其可能出现的所有值；③在试验前不能确定取何值．
写出下列随机变量ξ的所有可能取值，并说明随机变量ξ＝4所表示的随机试验的结果．
(1)从10张已编号的卡片(编号从1号到10号)中任取2张(一次性取出)，被取出的卡片的较大编号为ξ；
(2)某足球队在点球大战中5次点球射进的球数为ξ.
解 (1)ξ的所有可能取值为2,3,4，…，10.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大号码为4”．基本事件有如下三种：取出的两张卡片编号分别为1和4,2和4或3和4.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“5次点球射进4个球”．
1.所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件.
2.离散型随机变量的特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值；(4)试验结果能一一列出.
1．下列变量中，不是随机变量的是( )
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
答案 B
解析 标准状态下，水沸腾时的温度是一个确定值，而不是随机变量．故选B.
2．若用随机变量X表示从一个装有1个白球、3个黑球、2个黄球的袋中取出的4个球中不是黑球的个数，则X的取值不可能为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 A
解析 由于白球和黄球的个数和为3，所以4个球不是黑球的个数分别可能是1,2,3，X不可能取0.故选A.
3．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是________．
答案 300,100，－100，－300
解析 可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．
4．连续不断地射击某一目标，首次击中目标需要的射击次数X是一个随机变量，则X＝4表示的试验结果是________．
答案 前3次未击中目标，第4次击中目标
解析 由于随机变量X表示首次击中目标需要的射击次数，所以当X＝k时，表示前k－1次均未击中目标，第k次击中目标，故X＝4表示的试验结果为前3次未击中目标，第4次击中目标．
5．同时掷两枚质地均匀的硬币．
(1)用X表示掷出正面的个数，要表示试验的全部可能结果，X应取哪些值？
(2)X<2和X>0各表示什么？
解 (1)掷两枚硬币时，掷出正面的个数可能是0,1,2中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的．
用X表示掷出正面的个数，X的值应随机地取0,1,2中的某个．
(2)X<2表示事件“正面个数小于2”，即事件“正面个数为0或1”；X>0表示事件“正面个数大于0”，即事件“正面个数为1或2”．
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