华东师大版八年级数学上册 第14章勾股定理测试题(word版，含答案）

检测内容：勾股定理
得分________　卷后分________　评价________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是(
)
A．1　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　D．
2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是(
)
A．3，4，5
B．1，1，
C．8，12，13
D．，，
3．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边长为(
)
A．13
B．13或
C．13或15
D．15
4．如图，如果半圆的直径恰为直角三角形的一条直角边，那么这个半圆的面积为(
)
A．4π
cm2
B．6π
cm2
C．12π
cm2
D．24π
cm2
　　　　　　
5．等腰三角形底边长为10，腰长为13，则此三角形的面积为(
)
A．40
B．50
C．60
D．70
6．直角三角形中，斜边长为2
cm，周长为(2＋)
cm，则它的面积为(
)
A．1.5
cm2
B．2
cm2
C．3
cm2
D．6
cm2
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3
cm，AC＝5
cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕为DE，则△ABE的周长为(
)
A．5
cm
B．6
cm
C．7
cm
D．8
cm
8．用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若x，y表示直角三角形的两直角边长(x＞y)，给出下列四个结论：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＝45；④x＋y＝9.其中正确的结论是(
)
A．①②③
B．①②③④
C．①③
D．②④
9．如图，某学校A与直线公路l的距离为3
000
m，与该公路上某车站D的距离为5
000
m，现要在公路边建一个小商店C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该商店与车站之间的距离是(
)
A．1
800
m
B．2
000
m
C．3
000
m
D．3
125
m
10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是由图①放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，若D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为(
)
A．90
B．100
C．110
D．121
　　　　　　
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．一个三角形的三个内角之比为1∶1∶2，则这个三角形三边之比为(
)．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝40，b＝9，则c＝__41__；若c＝25，b＝15，则a＝(
)．
13．如图，在长方形ABCD中，AD＝4，CD＝3，AE⊥BD，则AE的长为(
)．
14．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3
cm，AB＝8
cm，则图中阴影部分面积为(
)cm2.
15．如图，圆柱形玻璃杯，高为12
cm，底面周长为18
cm，在杯内离杯底4
cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4
cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短矩离为(
)cm.
三、解答题(共75分)
16．(8分)已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．用反证法证明：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
17．(8分)如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；
(3)在图③中，画一个正方形，使它的面积是10.
18．(8分)如图，∠AOB＝90°，OA＝45
cm，OB＝15
cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，那么机器人行走的路程BC是多少？
19．(8分)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
20．(8分)已知，DA，DB，DC是从点D出发的三条线段，且DA＝DB＝DC.
(1)如图①，若点D在线段AB上，连接AC，BC，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如图②，连结AC，BC，AB，且AB与CD相交于点E，若AC＝BC，AB＝16，DC＝10，求CE和AC的长．
21．(10分)如图①是第七届国际数学教育大会的会徽．它的主体图案是由一连串如图②的直角三角形演化而来的．其中第一个三角形A1A2O是等腰直角三角形，且有OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A8A9＝1.
(1)求出OA4，OA9的长；
(2)计算(OA2)2，(OA3)2，…，并填写下表：
(OA1)2
(OA2)2
(OA3)2
(OA4)2
(OA5)2
…
(OAn)2
…
1
2
3
4
5
…
n
…
22．(12分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类).
(1)当△ABC三边分别为6，8，9时，△ABC为(
)三角形；当△ABC三边分别为6，8，11时，△ABC为(
)三角形；
(2)猜想，当a2＋b2(
)c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2_(
)c2时，△ABC为钝角三角形；
(3)判断当a＝2，b＝4时△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．
23．(13分)阅读下面材料：
实际问题：如图①，一圆柱的底面半径为5厘米，BC是底面直径，高AB为5厘米，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线．
解决方案：
路线1：侧面展开图中的线段AC，如图②所示，
设路线1的长度为l1：则l12＝AC2＝AB2＋BC2＝52＋(5π)2＝25＋25π2；
路线2：高线AB＋底面直径BC，如图①所示．
设路线2的长度为l2：则l22＝(AB＋dBC)2＝(5＋10)2＝225.
为比较l1，l2的大小，我们采用“作差法”：
∵l12－l22＝25(π2－8)>0，∴l12>l22，∴l1>l2，
小明认为应选择路线2较短．
(1)问题类比：小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1厘米，高AB为5厘米．”请你用上述方法帮小亮比较出l1与l2的大小；
(2)问题拓展：请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r厘米时，高为h厘米，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C，当满足什么条件时，选择路线2最短？请说明理由；
(3)问题解决：如图③为2个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5厘米，当蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r.(注：按上面小明所设计的两条路线方式)
检测内容：勾股定理（答案版）
得分________　卷后分________　评价________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是(
B
)
A．1　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　D．
2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是(
C
)
A．3，4，5
B．1，1，
C．8，12，13
D．，，
3．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边长为(
B
)
A．13
B．13或
C．13或15
D．15
4．如图，如果半圆的直径恰为直角三角形的一条直角边，那么这个半圆的面积为(
B
)
A．4π
cm2
B．6π
cm2
C．12π
cm2
D．24π
cm2
　　　　　　
5．等腰三角形底边长为10，腰长为13，则此三角形的面积为(
C
)
A．40
B．50
C．60
D．70
6．直角三角形中，斜边长为2
cm，周长为(2＋)
cm，则它的面积为(
A
)
A．1.5
cm2
B．2
cm2
C．3
cm2
D．6
cm2
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3
cm，AC＝5
cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕为DE，则△ABE的周长为(
C
)
A．5
cm
B．6
cm
C．7
cm
D．8
cm
8．用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若x，y表示直角三角形的两直角边长(x＞y)，给出下列四个结论：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＝45；④x＋y＝9.其中正确的结论是(
A
)
A．①②③
B．①②③④
C．①③
D．②④
9．如图，某学校A与直线公路l的距离为3
000
m，与该公路上某车站D的距离为5
000
m，现要在公路边建一个小商店C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该商店与车站之间的距离是(
D
)
A．1
800
m
B．2
000
m
C．3
000
m
D．3
125
m
10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是由图①放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，若D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为(
C
)
A．90
B．100
C．110
D．121
　　　　　　
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．一个三角形的三个内角之比为1∶1∶2，则这个三角形三边之比为__1∶1∶__．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝40，b＝9，则c＝__41__；若c＝25，b＝15，则a＝__20__．
13．如图，在长方形ABCD中，AD＝4，CD＝3，AE⊥BD，则AE的长为____．
14．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3
cm，AB＝8
cm，则图中阴影部分面积为__30__cm2.
15．如图，圆柱形玻璃杯，高为12
cm，底面周长为18
cm，在杯内离杯底4
cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4
cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短矩离为__15__cm.
三、解答题(共75分)
16．(8分)已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．用反证法证明：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
证明：假设∠A，∠B，∠C中没有一个角大于或等于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A＋∠B＋∠C＜180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不成立．因此，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°
17．(8分)如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；
(3)在图③中，画一个正方形，使它的面积是10.
解：(1)三边分别为3，4，5(如图①)
(2)三边分别为，，(如图②)
(3)画一个边长为的正方形(如图③)
18．(8分)如图，∠AOB＝90°，OA＝45
cm，OB＝15
cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，那么机器人行走的路程BC是多少？
解：BC＝25
cm
19．(8分)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：由已知得a4－b4－a2c2＋b2c2＝0，(a2＋b2)(a2－b2)－c2(a2－b2)＝0，(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2＝b2或a2＋b2＝c2，即a＝b(a＞0，b＞0)或a2＋b2＝c2，∴△ABC是等腰三角形或△ABC是直角三角形
20．(8分)已知，DA，DB，DC是从点D出发的三条线段，且DA＝DB＝DC.
(1)如图①，若点D在线段AB上，连接AC，BC，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如图②，连结AC，BC，AB，且AB与CD相交于点E，若AC＝BC，AB＝16，DC＝10，求CE和AC的长．
解：(1)△ABC是直角三角形，理由：∵DA＝DB＝DC，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，∵∠A＋∠ACD＋∠B＋∠BCD＝180°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形
(2)∵DA＝DB，∴点D在线段AB的垂直平分线上，∵AC＝BC，∴点C在线段AB的垂直平分线上，∴CD垂直平分AB，∴∠AEC＝∠AED＝90°，∵AB＝16，DC＝10，∴AE＝8，AD＝CD＝10，∴DE＝＝6，∴CE＝CD－DE＝4，∴AC＝＝＝4
21．(10分)如图①是第七届国际数学教育大会的会徽．它的主体图案是由一连串如图②的直角三角形演化而来的．其中第一个三角形A1A2O是等腰直角三角形，且有OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A8A9＝1.
(1)求出OA4，OA9的长；
(2)计算(OA2)2，(OA3)2，…，并填写下表：
(OA1)2
(OA2)2
(OA3)2
(OA4)2
(OA5)2
…
(OAn)2
…
1
2
3
4
5
…
n
…
解：(1)(OA4)2＝(A3A4)2＋(OA3)2＝(A3A4)2＋(A2A3)2＋(OA2)2＝(A3A4)2＋(A2A3)2＋(A1A2)2＋(OA1)2＝1＋1＋1＋1＝4，则OA4＝2，同理得OA9＝3　(2)表格从左到右依次填3，4，5，n
22．(12分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类).
(1)当△ABC三边分别为6，8，9时，△ABC为__锐角__三角形；当△ABC三边分别为6，8，11时，△ABC为__钝角__三角形；
(2)猜想，当a2＋b2__＞__c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2__＜__c2时，△ABC为钝角三角形；
(3)判断当a＝2，b＝4时△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．
解：(3)∵c为最长边，2＋4＝6，∴4≤c＜6，a2＋b2＝22＋42＝20，①a2＋b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；②a2＋b2＝c2，即c2＝20，c＝2，∴当c＝2时，这个三角形是直角三角形；③a2＋b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形
23．(13分)阅读下面材料：
实际问题：如图①，一圆柱的底面半径为5厘米，BC是底面直径，高AB为5厘米，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线．
解决方案：
路线1：侧面展开图中的线段AC，如图②所示，
设路线1的长度为l1：则l12＝AC2＝AB2＋BC2＝52＋(5π)2＝25＋25π2；
路线2：高线AB＋底面直径BC，如图①所示．
设路线2的长度为l2：则l22＝(AB＋dBC)2＝(5＋10)2＝225.
为比较l1，l2的大小，我们采用“作差法”：
∵l12－l22＝25(π2－8)>0，∴l12>l22，∴l1>l2，
小明认为应选择路线2较短．
(1)问题类比：小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1厘米，高AB为5厘米．”请你用上述方法帮小亮比较出l1与l2的大小；
(2)问题拓展：请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r厘米时，高为h厘米，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C，当满足什么条件时，选择路线2最短？请说明理由；
(3)问题解决：如图③为2个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5厘米，当蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r.(注：按上面小明所设计的两条路线方式)
解：(1)如图②.∵圆柱的底面半径为1厘米，高AB为5厘米，
∴路线1：l12＝AC2＝AB2＋BC2＝25＋π2；
路线2：l2＝AB＋dBC＝5＋2＝7，l22＝(AB＋dBC)2＝49.
∵l12－l22＝25＋π2－49＝π2－24<0，∴l12(2)如图②.∵圆柱的底面半径为r厘米，高为h厘米，
∴路线1：l12＝AC2＝AB2＋BC2＝h2＋(πr)2＝h2＋π2r2，路线2：l22＝(AB＋dBC)2＝(h＋2r)2，
∴l12－l22＝h2＋(πr)2－(h＋2r)2＝r(π2r－4r－4h)＝r[(π2－4)r－4h]；
∵r恒大于0，∴当(π2－4)r－4h>0，即>时，l12>l22，即此时选择的路2最短
(3)如图③，圆柱的高为5厘米．l12＝AC2＝AB2＋BC2＝25＋(2πr)2，
l22＝(AB＋dBC)2＝(5＋4r)2，由题意，得25＋(2πr)2＝(5＋4r)2，解得r＝.
即当圆柱的底面半径r为厘米时，蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条线段相等
5