北师大版数学八年级上册7.5 三角形的内角和定理课件（第2课时 32张）

7.5 三角形的内角和定理
（第2课时）

在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？
导入新知
想一想
1.了解并掌握三角形的外角的定义．

2. 能利用三角形内角和定理及其两个推论进行简单的计算和证明.
素养目标
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
？
●
●
●
问题 发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？
探究新知
知识点 1
三角形的外角的概念
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
思考 像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
？
●
●
●
由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
探究新知
定义 如图，把△ABC的一边BC 延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角.
C
B
A
D
探究新知
问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；
C
B
A
D
∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.
问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
探究新知
A
B
C
画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢?
每一个三角形都有6个外角．
每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
探究新知


三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
每一个三角形都有6个外角．
探究新知
归纳总结
F
A
B
C
D
E
如图,∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
巩固练习
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
三角形内角和定理的推论（一）
问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
探究新知
知识点 2
问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
探究新知
D
证明：过C作CE平行于AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B，（两直线平行，同位角相等）.
∠2= ∠A ，（两直线平行， 内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
探究新知
验证结论
三角形内角和定理的推论（一）
A
B
C
D
(
(
(
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
探究新知
知识要点
说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80 °
60 °
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50 °
32 °
(2)
∠1=40 °, ∠2=140 °
∠1=18 °, ∠2=130 °
探究新知
做一做
已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,
∠B=∠C. 求证:AD∥BC.
A
C
D
B
E
例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实.
探究新知
分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等”
或“内错角相等”或“同旁内角互补”.
证明:∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和
它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知),
∵AD平分∠EAC(已知).
∴∠DAC=∠C(等量代换).
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
∴∠C= ∠EAC(等式的性质).
∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义).
你还有其他证明方法吗？
例
A
C
D
B
E
探究新知
还可以有如下证法：
证明:推理可得:∠DAC=∠C (已证),
∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形内角和定理).
∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180° (等量代换).
∴ AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).
该方法是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.
如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.
∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE.
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF.
∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°，
∴ ∠BFC=88°.
解：
F
A
C
D
E
B
巩固练习
例 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
E
通过作辅助线求角的度数
素养考点
探究新知
解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A.
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°=120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
探究新知
如图，求证：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.
证明：延长BO交AC于点D,
因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
所以∠BDC＝∠A＋∠B，∠BOC＝∠BDC＋∠C，
所以∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.
巩固练习
变式训练
D
如图 ，试比较∠2 、∠1的大小；
如图 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
?
?
图?
图?
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
探究新知
知识点 3
三角形内角和定理的推论（二）
定理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
B
C
E
D
A
A
C
B
D
如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC.∠B=∠C. 求证:∠BPC＞∠A.
证明:如图，延长BP，交AC于点D.
∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角定义),

A
B
C
P
D
还有其他证明方法吗？
探究新知
∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角
大于和它不相邻的任何一个内角).
∵ ∠PDC是△ABD的一个外角 (外角定义),
∴ ∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).
∴ ∠BPC>∠A .（不等式的性质）
例
如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　　 )
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A
C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
B
巩固练习
（2019?赤峰）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数
为（　　）
A．65° B．70° C．75° D．85°
连接中考
B
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ）
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ）
（3）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ）
（4）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ）
课堂检测
基础巩固题
2.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
3.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．85°
课堂检测
基础巩固题
C
C
4.如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（　 　）
A．24° B．59° C．60° D．69°
课堂检测
基础巩固题
B
(1)如图，∠BDC是________ 的外角,
也是 的外角；
(2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
A
B
C
D
E
△ADE
△ADC
解：∵∠ADC= ∠B+ ∠BCE,
∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.
∴∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE=45 °+20 °+36 °=101 °.
能力提升题
课堂检测
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180?,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E
= 180?.
如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
拓广探索题
课堂检测
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习