7.5 三角形内角和定理
(第1课时)
我的形状最小,那我的内角和最小.
我的形状最大,那我的内角和最大.
不对,我有一个钝角,所以我的内角和才是最大的.
一天,三类三角形通过对自身的特点,讲出了自己对三角形内角和的理解,请同学们作为小判官给它们评判一下吧.
情境引入
导入新知
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.
2. 会运用三角形内角和定理进行计算.
素养目标
我们在小学已经知道,任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关,所以它们的说法都是错误的.
思考 除了度量以外,你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?
折叠
还可以用拼接的方法,你知道怎样操作吗?
探究新知
知识点 1
三角形的内角和定理
剪拼
A
B
C
2
1
(小组合作,讨论剪拼方法.各小组代表演式剪拼过程)
探究新知
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠,还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程,你能发现证明的思路吗?
还有其他的拼接方法吗?
三角形的内角和定理的证明
在纸上任意画一个三角形,将它的内角剪下拼合在一起.
探究新知
验证结论
三角形三个内角的和等于180°.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
已知:△ABC.
证法1:过点A作l∥BC,
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°,
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
探究新知
证法2:延长BC到D,过点C作CE∥BA,
∴ ∠A=∠1 .(两直线平行,内错角相等)
∠B=∠2.(两直线平行,同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°,
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
探究新知
C
B
A
E
D
F
证法3:过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行,同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°,
(两直线平行,同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°,
∴∠A+∠B+∠C=180°.
想一想 同学们还有其他的方法吗?
探究新知
思考 多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么?
借助平行线的“移角”的功能,将三个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
探究新知
C
2
4
A
B
3
E
Q
D
F
P
G
H
1
B
G
C
2
4
A
3
E
D
F
H
1
试一试 同学们按照上图中的辅助线,给出证明步骤?
探究新知
知识要点
在这里,为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等,这种转化思想是数学中的常用方法.
作辅助线
探究新知
如图所示,在△ABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是△ABC的角平分线,求∠ADB的度数.
A
B
C
D
探究新知
三角形内角和的应用
知识点 2
例
A
B
C
D
解:在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理).
∵∠B=38°,∠C=62°(已知),
∴∠BAC=180°-38°-62°=80°(等式的性质).
∵AD平分∠BAC(已知)
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=
在△ ADB中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理).
∵∠B=38°(已知),∠BAD=40°(已证),
∴∠ADB=180°-38°-40°=102°(等式的性质).
×80°=40° (角平分线的定义)
探究新知
如图,在△ABC中, ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线,求∠ADB的度数.
A
B
C
D
解:由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线,得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中,
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
巩固练习
例1 如图,△ABC中,D在BC的延长线上,过D作DE⊥AB于E,交AC于F.已知∠A=30°,∠FCD=80°,求∠D.
解:∵DE⊥AB,
∴∠FEA=90°.
∵在△AEF中,∠FEA=90°,∠A=30°,
∴∠AFE=180°-∠FEA-∠A=60°.
又∵∠CFD=∠AFE,
∴∠CFD=60°.
∴在△CDF中,∠CFD=60°,∠FCD=80°,
∠D=180°-∠CFD-∠FCD=40°.
探究新知
素养考点 1
利用三角形的内角和定理求角的度数
?直线l1∥l2,把一块含45°角的直角三角尺如图放置,∠1=85°,则∠2=________.
40°
变式训练
巩固练习
例2 在△ABC 中, ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍,∠C 比∠B 大15°,求∠A,∠B,∠C的度数.
解:设∠B为x°,则∠A为(3x)°,∠C为(x + 15)°, 从而有
3x + x +(x + 15)= 180.
解得 x = 33.
所以 3x = 99 , x + 15 = 48.
答: ∠A, ∠B, ∠C的度数分别为99°, 33°,48°.
几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.
探究新知
素养考点 2
方程的思想与三角形内角和相结合的题目
②在△ABC中,∠A :∠B:∠C=1:2:3,则△ABC是
_________三角形 ;
①在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43 °,则∠C= ;
③在△ABC中, ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则∠A= , ∠ B= ,∠ C= .
102°
直角
60°
50°
70°
巩固练习
完成下列各题:
变式训练
北
.
A
D
北
.
C
B
.
东
E
例3 如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80 °方向,C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度?从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?
探究新知
素养考点 3
利用三角形的内角和定理解决实际问题
解: ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°.
由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°,
∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中,
∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB
=180°-60°-30° =90°,
答:从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.
北
.
A
D
北
.
C
B
.
东
E
探究新知
如图,一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向,另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向,那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度?
变式训练
巩固练习
解:因为在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向,
所以∠ABD=60°.
又因为∠DBE=90°,
所以∠ABE=90°-∠ABD=90°-60°=30°.
因为在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向,
所以∠ACE=90°-40°=50°.
所以∠BAC=∠ACE-∠ABE=50°-30°=20°.
即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°.
巩固练习
1.(2019?杭州)在△ABC中,若一个内角等于另外两个内角的差,则( )
A.必有一个内角等于30° B.必有一个内角等于45°
C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90°
D
2.(2019?百色)三角形的内角和等于( )
A.90° B.180° C.270° D.360°
B
连接中考
1.求出下列各图中的x值.
x=70
x=60
x=30
x=50
基础巩固题
课堂检测
3.如图,则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .
B
A
C
D
4
1
3
2
E
40°
(
280 °
课堂检测
2.在△ABC中,若∠A=30°,∠B=50°,则∠C= .
基础巩固题
100 °
如图,四边形ABCD中,点E在BC上,∠A+∠ADE=180°,∠B=78°,∠C=60°,求∠EDC的度数.
解:∵∠A+∠ADE=180°,
∴AB∥DE.
∴∠CED=∠B=78°.
又∵∠C=60°,
∴∠EDC=180°-(∠CED+∠C)
=180°-(78°+60°)
=42°.
能力提升题
课堂检测
如图,在△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,若∠BAC=60°,求∠BPC的度数.
解:∵△ABC中,∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°.
∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)=60°.
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°,
∴∠BPC=180°-60°=120°.
拓广探索题
课堂检测
通过本课时的学习,需要我们掌握:
求角度
证法
应用
转化为一个平角
或同旁内角互补
辅助线
三角形的
内角和等
于180 °
作平行线
转化思想
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习