4.4.2一次函数的应用(2)（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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北师大版八年级数学上册第四章一次函数
4.4
一次函数的应用
第2课时
一次函数的应用(2)
【知识清单】
一次函数与一元一次方程的关系：
1、从形上看：一次函数的一般形式为：y=kx+b，一元一次方程的一般形式可化为kx+b=0；
2、从函数值角度看：当一次函数y=kx+b函数值为0时，相应的自变量的值就是方程
kx+b=0的解；
3、从图象上看：一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点的横坐标就是方程kx+b=0的解；
【经典例题】
【例题】1、已知关于x的方程ax+b=0的解是x=5，则直线y=ax+b与x轴的交点坐标是____．
【考点】一次函数与一元一次方程．
【分析】求直线与x轴的交点坐标，需使直线y=ax+b的y值为0，则ax+b=0；已知此方程的解为x=5．因此可得答案．
【解答】∵方程的解为x=5，
∴当x=5时ax+b=0；
又∵直线y=ax+b与x轴的交点的纵坐标是0，
∴当y=0时，则有ax+b=0，
∴x=5时，y=0．
∴直线y=ax+b与x轴的交点坐标是(5，0)．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0
(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
【例题】2、在空中，自地面算起，每升高1km，气温下降若干度(°C)，某地空中气温t°C与高度h(km)间的函数图象如图所示，观察图象可知，地面气温为
°C．当高度为???
km时，气温为0°C.
(1)求t与h的函数解析式；(2)若该市空中气温为15°C，则此处离地面有多高？
【考点】函数的图象的应用．
【分析】根据图象的横坐标和纵坐标所表示的意义解答．
【解答】由图象知：横坐标表示某地高度h(km)、纵坐标表示某地空中气温t°C，
当高度为0(即地面)时，所对应的某地空中气温是24°C，
故答案为24°C．当高度为6km时，气温为0°C.
解:
(1)由题知设t=kh+b
由图像过点(0，24)，(6，0)
知k×0+b=24，k×6+b=0，
解得k=4，b=24
即t与h的函数解析式t=244h；
(2)由t=15，即244h=15，
解得h=，
故该市空中气温为15°C，则此处离地面有千米.
【点评】正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数与自变量的对应关系是解题的关键．
【夯实基础】
1、已知一次函数y=ax+b的图象如图所示，则关于x的方程ax+b=0的解为
(　　)
A．x=3
B．x=3
C．x=2
D．x=2
2、图象中所反映的过程是：刘辉从家跑步去火车站买票，排队买完票后，又去超市购买出发用
品，然后步行回家．其中x表示时间，y表示刘辉离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是(
)
A．火车站离刘辉家2千米
B．刘辉在火车站排队买票用了70分钟
C．火车站离超市0.8千米
D．刘辉从超市回家的平均速度是3.6千米/小时
3、如图直线l：y=kx+b经过A、B两点，则关于x的方程3kx+2b+6=0的解(
)
A．x=4
B．x=5
C．x=6
D．x=7
4、老王以每千克1.2元的价格从批发市场购进若干千克黄瓜到市场去销售，在销售了部分黄瓜之后，余下的每千克降价0.5
元，全部售完．销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图所示，那么老王赚了(
)
A．48元
B．50元
C．51元
D．55元
5、直线y=5x10与x轴的交点的横坐标x的值是方程3x2a=12的解，则a值为
.
6、已知一次函数y=mx+5和y=xn的图像都经过点A(5，2)，则关于x的方程mx+5=xn
的解是
.
7、(1)方程5x4=6的解是
，则函数y=5x4在自变量x等于
时的函数值是6.
(2)
在糖水中继续放入糖x(g)、水y(g)，并使糖完全溶解，如果甜度保持不变，那么y与x的函数关系一定是
.
8、一盘蚊香长105cm，点燃后每小时缩短10cm．(1)请写出点燃后蚊香的长y(cm)与蚊香
燃烧时间t(h)之间的函数关系式；(2)该蚊香可点燃多长时间？
9、李峰同学骑自行车到学校上学，学校离家16千米，他离家的距离s(千米)和时间t(分
钟)的关系如图所示.根据图象回答下列问题：
(1)李峰从家到学校用多少时间？
(2)李峰15分钟骑自行车行驶多少路程？
(3)李峰骑车行驶10千米，需多少时间？
(4)
李峰骑车的速度是多少？
【提优特训】
10、如图是一同学骑自行车出行的图象，从图象中得到的正确的信息是(
)
A．整个出行过程中的平均速度为5千米/小时
B．前30分钟的速度比后1小时的速度慢
C．前30分钟的速度比后1小时的速度快
D．从起点到达终点，该同学共用了1小时分钟
11、甲、乙两辆电动自行车同时从相距24km的A，B两地出发，相向而行．图中l1，l2分别表示
甲、乙两辆摩托车到A地的距离s(km)与行驶时间t(h)的函数关系．则下列说法错误的是(　)
A．经过0.
5小时两电动自行车相遇
B．经过0.6小时甲电动自行车行驶到A，B两地的中点
C．乙电动自行车的速度每小时比甲自行车的速度快4km
D．当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地20km
12、如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路线为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y．则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是(
)
13、在平面直角坐标系中，直线l：y=x1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正
方形A2B2C2C1…、正方形AnBnCnCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…
在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是(　　)
A.?(2n-1，2n1)???
?B.?(2n，2n1)???
?C.?(2n-1，2n+1)
????D.?(2n-1，2n)
14、如图所示的是一根蜡烛燃烧时剩余的长度h(厘米)与燃烧时间t(小时)之间的关系的图象，则蜡烛的总长度
cm，总共可以燃烧
小时，蜡烛点燃后每小时燃烧
厘米．
15、已知点A(0，3)、点B(4，5)两点，若P是x轴上的点，且PA+PB的最短，则的P的坐标为
．
16、在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A(5，4)与点B(0，6)．
(1)求次一次函数的表达式；
(2)若P点为此一次函数图象上一点，
且S△POB=S△AOB，求P点的坐标．
?17、已知，AB是一次函数y=kx+8的图象，直线DC是一次函数y=3x4的图象，直线AB和CD相交于点P，点P的坐标为(a，2a1).
(1)求点P的坐标和直线AB的表达式；
(2)求四边形AOCP的面积.
18、为了调到工人的积极性，某开发商每月给工人发的薪酬都是根据当月劳动时间所得奖励加上
基本工资.若某工人每月的劳动时间为x小时，该月可得的总费用为y(元)，则y(元)和
x(小时)之间的函数图象如图所示.?
(1)根据图象，请写出某工人每月的基本工资为多少元？开发商是如何奖励工人的？
(2)写出当0≤x≤176时，相应的y与x之间的函数关系式；
(3)若这名工人6月份希望有6570元工资，
则他6月份需工作多少小时？
【中考链接】
19、(2019?贵阳)
星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min后回家，图中的折线段OA-AB-BC是她出发后所在位置离家的距离s(km)与行走时间t(min)之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是(　　)
20、(2019?广安)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，
A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则An的坐标是
．
21、(2019?嘉兴)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(2，0)，
(1，0)，BC⊥x轴，将△ABC以y轴为对称轴作轴对称变换，得到△A′B′C′(A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点)，直线y=x+b经过点A，C′，则点C′的坐标是
．
22、(2019?泰安)在平面直角坐标系中，
直线l：y=x+1与x轴交于点A1，
如图所示，依次作正方形OA1B1C1、
正方形C1A2B2C2正方形C2A3B3C3，
正方形C3A4B4C4、…，点A1、A2、
A3、…在直线l上，点C1、C2、
C3、…在x轴正半轴上，则前n个
正方形对角线的和为
.
参考答案
1、B
2、B
3、D
4、C
5、3
6、x=5
7、(1)
x=2，x=2
(2)正比例函数
10、C
11、A
12、B
13、A
14、30，
6，5
15、
19、B
20、(2n-11，2n-1)
21、(1，3)
22、
8、一盘蚊香长105cm，点燃后每小时缩短10cm．(1)请写出点燃后蚊香的长y(cm)与蚊香
燃烧时间t(h)之间的函数关系式；(2)该蚊香可点燃多长时间？
解：t=10.5，(1)∵点燃后蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度，
∴y=10510t(0≤t≤10.5)；
(2)∵蚊香燃尽的时候蚊香的长度y=0，
∴10510t=0，
解得：t=10.5，
∴该蚊香可点燃10.5小时．
9、李峰同学骑自行车到学校上学，学校离家16千米，他离家的距离s(千米)和时间t(分
钟)的关系如图所示.根据图象回答下列问题：
(1)李峰从家到学校用多少时间？
(2)李峰15分钟骑自行车行驶多少路程？
(3)李峰骑车行驶10千米，需多少时间？
(4)
李峰骑车的速度是多少？
解：设s与t的函数关系式为：s=kt，
将t=25，s=8代入s=kt得，8=25k
解得k=，∴s与t的函数关系式为：s=t，
(1)李峰从家到学校用50分钟；
(2)当t=15时，骑自行车行驶路程为：(千米)；
(3)当s=10时，则10=t，解得t=(分钟)；
(4)16÷=19.2(千米/小时).
16、在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A(5，4)与点B(0，6)．
(1)求次一次函数的表达式；
(2)若P点为此一次函数图象上一点，且S△POB=S△AOB，求P点的坐标．
解：(1)设一次函数的解析式为y=kx+b，
将A(5，4)、B(0，6)代入得：5k+b=4，b=6，
解得：k=2，b=6，
∴一次函数表达式为y=2x6；
(2)设P(a，2a6)，PE=，
∵S△POB=S△AOB，
∴?OB?PE=?OB?AD，即×6×=××6×5，
解得：a=6或a=6，
∴点P的坐标为(6，6)或(6，18)．
?17、已知，AB是一次函数y=kx+8的图象，直线DC是一次函数y=3x4的图象，直线AB和CD相交于点P，点P的坐标为(a，2a1).
(1)求点P的坐标和直线AB的表达式；
(2)求四边形AOCP的面积.
解：(1)∵点P(a，2a1)在直线y=3x4上，
∴2a1=3a4，
解得a=3，2a1=5，
∴点P的坐标为(3，5)，
将点P(3，5)代入y=kx+8得，
5=3k+8，
解得k=1，
∴直线AB的表达式为：y=x+8；
(2)在一次函数y=3x4中，令x=0，y=4，令x=，y=0，
∴点C的坐标为(，0)，
在一次函数y=x+8中，令x=0，y=8，
∴点A的坐标为(0，8)，
∴AD=8(4)=18，点P到y轴的距离为3，
四边形AOCP的面积=S△ADPS△DOC
=×3ADOD·OC
=×3×12××4=.
18、为了调到工人的积极性，某开发商每月给工人发的薪酬都是根据当月劳动时间所得奖励加上
基本工资.若某工人每月的劳动时间为x小时，该月可得的总费用为y(元)，则y(元)和
x(小时)之间的函数图象如图所示.?
(1)根据图象，请写出某工人每月的基本工资为多少元？开发商是如何奖励工人的？
(2)写出当0≤x≤176时，相应的y与x之间的函数关系式；
(3)若这名工人6月份希望有6570元工资，
则他6月份需工作多少小时？
解：(1)∵x=0时，y=2000，
∴这名工人每月的基本工资为2000元；
如果这名每月工作时间不超过176小时，
每小时获奖励20元；如果这名每月
劳动时间超过176小时，每小时30元奖励.
(2)设当0≤x≤176时，相应的y与x之间的函数关系式为y=kx+2000，
将x=176，y=5520代入y=kx+2000，得5520=176k+2000，
解得k=20，
y与x之间的函数关系式为y=20x+2000；
(3)∵74405520=1920，1920÷(240176)=30，
当x≥176时，设y与x的函数关系式为：y=30x+b.
将x=176，y=5520代入y=30x+b，得5520=30×176+b，
解得b=240，
∴当x≥176时，设y与x的函数关系式为：y=30x+240.
当y=6570时，
由题意得，30x+240=6570
解得
x=211小时，
答：他6月份需工作211小时.
第18题图
第11题图
第2题图
第9题图
第14题图
第2题图
第22题图
第3题图
第20题图
第18题图
第13题图
第4题图
第1题图
第9题图
第13题图
A
B
C
D
第17题图
第19题图
第16题图
第17题图
第10题图
第16题图
第21题图
第16题图
A
B
C
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