2019-2020学年陕西省商洛市高二下学期期末（文科）数学试卷 （Word解析版）
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年陕西省商洛市高二下学期期末（文科）数学试卷 （Word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 918.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-09 12:39:40 | ||
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文档简介
2019-2020学年陕西省商洛市高二第二学期期末数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}
2．复数i（1+2i）（i为虚数单位）等于（ ）
A．﹣2+i B．2+i C．﹣2﹣i D．2﹣i
3．函数f（x）＝2cos（x+）的最小正周期是（ ）
A． B．π C．2π D．4π
4．一球的体积为288π，则其表面积为（ ）
A．72π B．64π C．144π D．108π
5．已知双曲线的方程为＝1，其离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量＝（m，1），＝（2，﹣3），若（2﹣）⊥，则m＝（ ）
A．﹣ B． C． D．
7．设各项均不相等的等比数列{an}的前n项和是Sn，若S1＝1，S3＝3，则S6＝（ ）
A．27 B．﹣16 C．﹣21 D．36
8．高二某班共有学生45人，学号依次为1，2，3，…，45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6，24，33的学生在样本中，那么样本中还有两个学生的学号应为（ ）
A．15，42 B．15，43 C．14，42 D．14，43
9．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（x0，y0）在抛物线E上，若|AF|＝|y0|＝2，则p＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形BCC1B1为正方形，BC＝2AB＝4，AB⊥BC，D为C1B1的中点，则异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．运行如图所示的程序框图，若输出S的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）
A．k＜4？ B．k＜5？ C．k＜6？ D．k＜7？
12．已知函数f（x）＝是R上的单调递增函数，则a的取值范围是（ ）
A．（1，4） B．[2，4） C．（1，3] D．[3，4）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上.
13．等差数列{an}中，a5＝9，a7＝21，则a10+a11+a12＝ ．
14．函数f（x）＝，则f（f（1））＝ ．
15．从三棱柱的六个顶点中任取两个顶点，则这两个顶点不在同一条棱上的概率是 ．
16．函数f（x）＝x2﹣8lnx的最小值为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC＝（b﹣c）cosA．
（1）求A；
（2）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．
18．某运动品牌商为了得出高中毕业生中女生的身高数据，随机调查某市高中毕业生中女生100人，根据所得数据分为[155，157），[157，159），[159，161），[161，163），[163，165），[165，167]6组，得到她们身高的频率分布直方图如图所示（女生身高普遍在155cm至167cm之间），记“高中毕业生中女生身高不低于161cm”为事件A，根据直方图得到P（A）的估计值为0.49．
（1）求频率分布直方图中a，b的值；
（2）由频率分布直方图估计该市高中毕业生中女生身高的中位数（精确到0.1）．
19．如图，在多面体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面BCEF，四边形ABCD为矩形，E，F是以BC为直径的半圆圆弧的两个三等分点，BC＝4，CD＝4．
（1）证明：平面ABF⊥平面ACF．
（2）求点D到平面ACE的距离．
20．已知函数f（x）＝x3+bx2+cx﹣1的图象在（1，f（1））处的切线经过点（2，4），且f（x）的一个极值点为﹣1．
（1）求f（x）的极值；
（2）已知方程f（x）﹣m＝0在[﹣2，2]上恰有一个实数根，求m的取值范围．
21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，|OA|+|OB|＝3，△OAB的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N是椭圆C上两点，且MN∥AB，记直线BM，AN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），证明：k1?k2为定值．
选考题：共10分请考生在第22、23题中任选-题作答.如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为（2，）．
（1）求直线l与曲线C的普通方程；
（2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，求|MP|+|MQ|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|+2|x+1|．
（1）求不等式f（x）＜9的解集；
（2）若对?x∈[0，1]，不等式f（x）≥|2x+a|恒成立，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}
【分析】根据并集的求法，结合已知中集合A，B，做出数轴协助分析，即可得到答案．
解：∵集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}}，
作图可得，
由图可得A∪B＝{x|x＞﹣1}
故选：B．
2．复数i（1+2i）（i为虚数单位）等于（ ）
A．﹣2+i B．2+i C．﹣2﹣i D．2﹣i
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘法法则、虚数单位i的幂运算性质，计算可得结果．
解：∵i（1+2i）＝﹣2+i，
故选：A．
3．函数f（x）＝2cos（x+）的最小正周期是（ ）
A． B．π C．2π D．4π
【分析】根据三角函数的周期公式计算．
解：函数f（x）＝2cos（x+）的最小正周期T＝＝4π．
故选：D．
4．一球的体积为288π，则其表面积为（ ）
A．72π B．64π C．144π D．108π
【分析】由球的体积公式及球的体积可得球的半径，代入球的表面积公式可得球的表面积．
解：设球的半径为R，则V球＝πR3＝288π，解得R＝6，
所以球的表面积为S＝4πR2＝4π?62＝144π，
故选：C．
5．已知双曲线的方程为＝1，其离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用双曲线的标准方程，转化求解离心率即可．
解：由双曲线的方程＝1，可得a＝，b＝2，c＝，
所以双曲线的离心率e＝＝＝．
故选：D．
6．已知向量＝（m，1），＝（2，﹣3），若（2﹣）⊥，则m＝（ ）
A．﹣ B． C． D．
【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由（2﹣）⊥，利用向量垂直的性质能求出m．
解：∵向量＝（m，1），＝（2，﹣3），
∴＝（2m﹣2，5），
∵（2﹣）⊥，
∴（2）?＝2（2m﹣2）﹣15＝0，
解得m＝．
故选：D．
7．设各项均不相等的等比数列{an}的前n项和是Sn，若S1＝1，S3＝3，则S6＝（ ）
A．27 B．﹣16 C．﹣21 D．36
【分析】根据题意，分析可得a1＝1，则有S3＝a1+a1q+a1q2＝1+q+q2＝3，解可得q的值，代入等比数列的前n项和公式计算可得答案．
解：根据题意，等比数列{an}的各项均不相等，则其公比q≠1，
若S1＝1，S3＝3，即a1＝1，则S3＝a1+a1q+a1q2＝1+q+q2＝3，
解可得q＝1或q＝﹣2；
又由q≠1，则q＝﹣2，
则S6＝＝＝﹣21，
故选：C．
8．高二某班共有学生45人，学号依次为1，2，3，…，45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6，24，33的学生在样本中，那么样本中还有两个学生的学号应为（ ）
A．15，42 B．15，43 C．14，42 D．14，43
【分析】根据系统抽样的定义，算出每组人数即组距，再利用第一组抽到的学号依次加上组距即可求出所有抽得的学号．
解：由题意可知，每组人数为＝9，即组距为9，
所以另外两个学生的学号为6+9＝15，和33+9＝42，
故选：A．
9．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（x0，y0）在抛物线E上，若|AF|＝|y0|＝2，则p＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】利用抛物线的性质，结合已知条件列出方程求解即可．
解：抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，
点A（x0，y0）在抛物线E上，若|AF|＝|y0|＝2，
则x0+＝2，所以|y0|＝＝2，解得p＝2，
故选：A．
10．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形BCC1B1为正方形，BC＝2AB＝4，AB⊥BC，D为C1B1的中点，则异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点D作DF∥A1C1，交A1B1于点F，则∠ADF为异面直线A1C1与AD所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1C1与AD所成角的余弦值．
解：如图，过点D作DF∥A1C1，交A1B1于点F，
则∠ADF为异面直线A1C1与AD所成角（或所成角的补角），
∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
四边形BCC1B1为正方形，BC＝2AB＝4，AB⊥BC，D为C1B1的中点，
∴由题意知AD＝＝，DF＝＝，AF＝＝，
∴异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为：
cos∠ADF＝＝＝．
故选：C．
11．运行如图所示的程序框图，若输出S的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）
A．k＜4？ B．k＜5？ C．k＜6？ D．k＜7？
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
解：模拟程序的运行，可得
S＝0，k＝1；
S＝0+1×21﹣1＝1，k＝2；
S＝1+2×22﹣1＝5，k＝3；
S＝5+3×23﹣1＝17，k＝4；
S＝17+4×24﹣1＝49，k＝5；
S＝49+5×25﹣1＝129，k＝6，
此时输出S，即判断框内可填入的条件是“k＜6？”．
故选：C．
12．已知函数f（x）＝是R上的单调递增函数，则a的取值范围是（ ）
A．（1，4） B．[2，4） C．（1，3] D．[3，4）
【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得a的取值范围，即可得答案．
解：根据题意，函数f（x）＝是R上的单调递增函数，
必有，解可得3≤a＜4，
即a的取值范围为[3，4）；
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上.
13．等差数列{an}中，a5＝9，a7＝21，则a10+a11+a12＝ 135 ．
【分析】利用等差数列的性质求出公差d，进而求出结论．
解：因为等差数列{an}中，a5＝9，a7＝21，
故2d＝a7﹣a5＝12；
∴d＝6；
∴a10+a11+a12＝3a5+18d＝3×9+18×6＝135．
故答案为：135．
14．函数f（x）＝，则f（f（1））＝ 1 ．
【分析】推导出f（1）＝ln1＝0，从而得到f（f（1））＝f（0），由此能求出结果．
解：∵函数f（x）＝，
∴f（1）＝ln1＝0，
∴f（f（1））＝f（0）＝1．
故答案为：1．
15．从三棱柱的六个顶点中任取两个顶点，则这两个顶点不在同一条棱上的概率是 ．
【分析】利用列举法求出基本事件总数有15种，这两个顶点不在同一条棱上包含的基本事件有6种，由此能求出这两个顶点不在同一条棱上的概率．
解：从三棱柱ABC﹣DEF的六个顶点中任取两个顶点，
基本事件有15种，分别为：
AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，
这两个顶点不在同一条棱上包含的基本事件有6种，分别为：
AE，AF，BD，BF，CD，CE，
则这两个顶点不在同一条棱上的概率为：
P＝＝．
故答案为：．
16．函数f（x）＝x2﹣8lnx的最小值为 4﹣8ln2 ．
【分析】求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对函数定义域分段，可得原函数的单调性，进一步求得最值．
解：由f（x）＝x2﹣8lnx，得f′（x）＝2x﹣＝（x＞0），
当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴f（x）min＝f（2）＝4﹣8ln2．
故答案为：4﹣8ln2．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC＝（b﹣c）cosA．
（1）求A；
（2）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．
【分析】（1）方法一：根据余弦定理即可求出；方法二：根据正弦定理与三角函数的恒等变换求得角A的值；
（2）根据题意，利用余弦定理和三角形面积公式求得结果．
解：（1）方法一：∵acosC＝（b﹣c）cosA，
∴a?＝（b﹣c）?，
∴bc＝b2+c2﹣a2，
∴cosA＝＝，
∵0＜A＜π，
∴A＝；
方法二：∵acosC＝（b﹣c）cosA，
∴由正弦定理得：sinAcosC＝sinBcosA﹣sinCcosA，
∴sinAcosC+sinCcosA＝sinBcosA，
∴sin（A+C）＝sinB＝sinBcosA，
∴sinB≠0，
∴cosA＝，
∵0＜A＜π，
∴A＝；
（2）因为a＝2，b＝2，A＝，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，20＝8+c2﹣2×2×c×cos，
即c2﹣4c﹣12＝0．
又c＞0，所以c＝6．
故△ABC的面积为S＝bcsinA＝×2×6×＝6．
18．某运动品牌商为了得出高中毕业生中女生的身高数据，随机调查某市高中毕业生中女生100人，根据所得数据分为[155，157），[157，159），[159，161），[161，163），[163，165），[165，167]6组，得到她们身高的频率分布直方图如图所示（女生身高普遍在155cm至167cm之间），记“高中毕业生中女生身高不低于161cm”为事件A，根据直方图得到P（A）的估计值为0.49．
（1）求频率分布直方图中a，b的值；
（2）由频率分布直方图估计该市高中毕业生中女生身高的中位数（精确到0.1）．
【分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出a和b．
（2）由频率分布直方图能估计该市高中毕业生中女生身高的中位数．
解：（1）由已知得（0.11+b+0.065）×2＝0.49，
解得b＝0.07．
∵1﹣P（A）＝1﹣0.49＝0.51，
∴2（0.05+0.07+a）＝0.51，
解得a＝0.135．
（2）∵前2组的频率和为2（0.05+0.07）＝0.24＜0.5，
前3组的频率和为0.51＞0.5，∴中位数在第3组，
设中位数为x，则0.24+×0.135×2＝0.5，
解得x≈160.9，
∴由频率分布直方图估计该市高中毕业生中女生身高的中位数约为160.9．
19．如图，在多面体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面BCEF，四边形ABCD为矩形，E，F是以BC为直径的半圆圆弧的两个三等分点，BC＝4，CD＝4．
（1）证明：平面ABF⊥平面ACF．
（2）求点D到平面ACE的距离．
【分析】（1）先证明CF⊥平面ABF，再得出平面ABF⊥平面ACF；
（2）根据VD﹣ACE＝VE﹣ACD计算点D到平面ACE的距离．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC，
∵平面ABCD⊥平面BCEF，平面ABCD∩平面BCEF＝BC，
∴AB⊥平面BCEF，又CF?平面BCEF，
∴AB⊥CF，
∵F是以BC为直径的半圆上的点，∴BF⊥CF，
又AB∩BF＝B，AB?平面ABF，BF?平面ABF，
∴CF⊥平面ABF，又CF?平面ACF，
∴平面ABF⊥平面ACF．
（2）解：连接BE，∵E，F是以BC为直径的半圆圆弧的两个三等分点，BC＝4，
∴BF＝CE＝2，BE＝CF＝＝2，
∴AE＝＝2，AC＝＝8，
∴AE2+CE2＝AC2，∴AE⊥CE，
设D到平面ACE的距离为h，则VD﹣ACE＝＝，
过E作EH⊥BC于H，则EH＝，且EH⊥平面ABCD，
∴VE﹣ACD＝＝8，
∴＝8，解得h＝．
故点D到平面ACE的距离为．
20．已知函数f（x）＝x3+bx2+cx﹣1的图象在（1，f（1））处的切线经过点（2，4），且f（x）的一个极值点为﹣1．
（1）求f（x）的极值；
（2）已知方程f（x）﹣m＝0在[﹣2，2]上恰有一个实数根，求m的取值范围．
【分析】（1）求出导函数求出切线的斜率，切点坐标，得到切线方程，求出极值点，判断导函数的符号，推出结果即可．
（2）方程f（x）﹣m＝0在[﹣2，2]上恰有一个实数根，推出函数y＝f（x）的图象与直线y＝m在[﹣2，2]上恰有一个交点．利用零点判断定理推出结果即可．
解：（1）∵f'（x）＝3x2+2bx+c，∴f'（1）＝3+2b+c，
∴f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为y﹣（b+c）＝（3+2b+c）（x﹣1）．
∵该切线经过点（2，4），∴4﹣（b+c）＝（3+2b+c）（2﹣1），即3b+2c＝1①．
又∵f（x）的一个极值点为﹣1，∴f'（﹣1）＝3﹣2b+c＝0②．
由①②可知b＝1，c＝﹣1，故f（x）＝x3+x2﹣x﹣1．f'（x）＝3x2+2x﹣1，令f'（x）＝0，得x＝﹣1或．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （﹣∞，﹣1） ﹣1
f'（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
故f（x）极大值＝f（﹣1）＝0，．
（2）∵方程f（x）﹣m＝0在[﹣2，2]上恰有一个实数根，
∴函数y＝f（x）的图象与直线y＝m在[﹣2，2]上恰有一个交点．
∵f（﹣2）＝﹣3，f（2）＝9，
结合函数f（x）的图象，可得．
21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，|OA|+|OB|＝3，△OAB的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N是椭圆C上两点，且MN∥AB，记直线BM，AN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），证明：k1?k2为定值．
【分析】（1）由题意可得a+b，及ab的值，且a＞b，解得a，b的值，进而求出椭圆的方程；
（2）由题意设直线MN的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出k1?k2的表达式，将两根之和及两根之积代入可证得k1?k2为定值．
解：（1）由题意可得|OA|＝a，|OB|＝b，
所以a+b＝3，且＝1，解得a＝2，b＝1，
所以椭圆的方程为+y2＝1；
（2）证明：由（1）可得A（2，0），B（0，1），所以kMN＝﹣，
设M（x1，y1），N（x2，y2）直线MN的方程为y＝﹣x+t，
联立直线MN与椭圆的方程，整理可得x2﹣2tx+2t2﹣2＝0，
则△＝4t2﹣4（2t2﹣2）＞0，即t2＜2，
且x1+x2＝2t，x1x2＝2t2﹣2，所以x2＝2t﹣x1，
所以k1k2＝?＝
＝
＝
＝＝，
所以k1?k2为定值．
选考题：共10分请考生在第22、23题中任选-题作答.如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为（2，）．
（1）求直线l与曲线C的普通方程；
（2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，求|MP|+|MQ|的值．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．
解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程．
直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为．
（2）由于点M（2，），转换为直角坐标为（﹣1，），
由于点M在直线l上，
将直线的参数方程代入，
得到：8t2+22t﹣13＝0，设t1，t2为P，Q对应的参数，
所以，，
则：|MP|+|MQ|═．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|+2|x+1|．
（1）求不等式f（x）＜9的解集；
（2）若对?x∈[0，1]，不等式f（x）≥|2x+a|恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）将f（x）化为分段函数的形式，然后根据f（x）＜9，利用零点分段法解不等式即可；
（2）结合（1）可得|2x+a|≤5对x∈[0，1]恒成立，然后得到对x∈[0，1]恒成立，再求出a的取值范围．
解：（1）f（x）＝|2x﹣3|+2|x+1|＝，
f（x）＜9等价为或或，
解得﹣2＜x≤﹣1或﹣1＜x＜或≤x＜，
故原不等式的解集为（﹣2，）；
（2）因为0≤x≤1，所以f（x）＝5，
则f（x）≥|2x+a|对x∈[0，1]恒成立，
等价为|2x+a|≤5对x∈[0，1]恒成立，
即﹣5≤2x+a≤5，即对x∈[0，1]恒成立，
所以﹣5≤a≤3，则a的取值范围是[﹣5，3]．
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}
2．复数i（1+2i）（i为虚数单位）等于（ ）
A．﹣2+i B．2+i C．﹣2﹣i D．2﹣i
3．函数f（x）＝2cos（x+）的最小正周期是（ ）
A． B．π C．2π D．4π
4．一球的体积为288π，则其表面积为（ ）
A．72π B．64π C．144π D．108π
5．已知双曲线的方程为＝1，其离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量＝（m，1），＝（2，﹣3），若（2﹣）⊥，则m＝（ ）
A．﹣ B． C． D．
7．设各项均不相等的等比数列{an}的前n项和是Sn，若S1＝1，S3＝3，则S6＝（ ）
A．27 B．﹣16 C．﹣21 D．36
8．高二某班共有学生45人，学号依次为1，2，3，…，45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6，24，33的学生在样本中，那么样本中还有两个学生的学号应为（ ）
A．15，42 B．15，43 C．14，42 D．14，43
9．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（x0，y0）在抛物线E上，若|AF|＝|y0|＝2，则p＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形BCC1B1为正方形，BC＝2AB＝4，AB⊥BC，D为C1B1的中点，则异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．运行如图所示的程序框图，若输出S的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）
A．k＜4？ B．k＜5？ C．k＜6？ D．k＜7？
12．已知函数f（x）＝是R上的单调递增函数，则a的取值范围是（ ）
A．（1，4） B．[2，4） C．（1，3] D．[3，4）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上.
13．等差数列{an}中，a5＝9，a7＝21，则a10+a11+a12＝ ．
14．函数f（x）＝，则f（f（1））＝ ．
15．从三棱柱的六个顶点中任取两个顶点，则这两个顶点不在同一条棱上的概率是 ．
16．函数f（x）＝x2﹣8lnx的最小值为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC＝（b﹣c）cosA．
（1）求A；
（2）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．
18．某运动品牌商为了得出高中毕业生中女生的身高数据，随机调查某市高中毕业生中女生100人，根据所得数据分为[155，157），[157，159），[159，161），[161，163），[163，165），[165，167]6组，得到她们身高的频率分布直方图如图所示（女生身高普遍在155cm至167cm之间），记“高中毕业生中女生身高不低于161cm”为事件A，根据直方图得到P（A）的估计值为0.49．
（1）求频率分布直方图中a，b的值；
（2）由频率分布直方图估计该市高中毕业生中女生身高的中位数（精确到0.1）．
19．如图，在多面体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面BCEF，四边形ABCD为矩形，E，F是以BC为直径的半圆圆弧的两个三等分点，BC＝4，CD＝4．
（1）证明：平面ABF⊥平面ACF．
（2）求点D到平面ACE的距离．
20．已知函数f（x）＝x3+bx2+cx﹣1的图象在（1，f（1））处的切线经过点（2，4），且f（x）的一个极值点为﹣1．
（1）求f（x）的极值；
（2）已知方程f（x）﹣m＝0在[﹣2，2]上恰有一个实数根，求m的取值范围．
21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，|OA|+|OB|＝3，△OAB的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N是椭圆C上两点，且MN∥AB，记直线BM，AN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），证明：k1?k2为定值．
选考题：共10分请考生在第22、23题中任选-题作答.如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为（2，）．
（1）求直线l与曲线C的普通方程；
（2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，求|MP|+|MQ|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|+2|x+1|．
（1）求不等式f（x）＜9的解集；
（2）若对?x∈[0，1]，不等式f（x）≥|2x+a|恒成立，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}
【分析】根据并集的求法，结合已知中集合A，B，做出数轴协助分析，即可得到答案．
解：∵集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}}，
作图可得，
由图可得A∪B＝{x|x＞﹣1}
故选：B．
2．复数i（1+2i）（i为虚数单位）等于（ ）
A．﹣2+i B．2+i C．﹣2﹣i D．2﹣i
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘法法则、虚数单位i的幂运算性质，计算可得结果．
解：∵i（1+2i）＝﹣2+i，
故选：A．
3．函数f（x）＝2cos（x+）的最小正周期是（ ）
A． B．π C．2π D．4π
【分析】根据三角函数的周期公式计算．
解：函数f（x）＝2cos（x+）的最小正周期T＝＝4π．
故选：D．
4．一球的体积为288π，则其表面积为（ ）
A．72π B．64π C．144π D．108π
【分析】由球的体积公式及球的体积可得球的半径，代入球的表面积公式可得球的表面积．
解：设球的半径为R，则V球＝πR3＝288π，解得R＝6，
所以球的表面积为S＝4πR2＝4π?62＝144π，
故选：C．
5．已知双曲线的方程为＝1，其离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用双曲线的标准方程，转化求解离心率即可．
解：由双曲线的方程＝1，可得a＝，b＝2，c＝，
所以双曲线的离心率e＝＝＝．
故选：D．
6．已知向量＝（m，1），＝（2，﹣3），若（2﹣）⊥，则m＝（ ）
A．﹣ B． C． D．
【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由（2﹣）⊥，利用向量垂直的性质能求出m．
解：∵向量＝（m，1），＝（2，﹣3），
∴＝（2m﹣2，5），
∵（2﹣）⊥，
∴（2）?＝2（2m﹣2）﹣15＝0，
解得m＝．
故选：D．
7．设各项均不相等的等比数列{an}的前n项和是Sn，若S1＝1，S3＝3，则S6＝（ ）
A．27 B．﹣16 C．﹣21 D．36
【分析】根据题意，分析可得a1＝1，则有S3＝a1+a1q+a1q2＝1+q+q2＝3，解可得q的值，代入等比数列的前n项和公式计算可得答案．
解：根据题意，等比数列{an}的各项均不相等，则其公比q≠1，
若S1＝1，S3＝3，即a1＝1，则S3＝a1+a1q+a1q2＝1+q+q2＝3，
解可得q＝1或q＝﹣2；
又由q≠1，则q＝﹣2，
则S6＝＝＝﹣21，
故选：C．
8．高二某班共有学生45人，学号依次为1，2，3，…，45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6，24，33的学生在样本中，那么样本中还有两个学生的学号应为（ ）
A．15，42 B．15，43 C．14，42 D．14，43
【分析】根据系统抽样的定义，算出每组人数即组距，再利用第一组抽到的学号依次加上组距即可求出所有抽得的学号．
解：由题意可知，每组人数为＝9，即组距为9，
所以另外两个学生的学号为6+9＝15，和33+9＝42，
故选：A．
9．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（x0，y0）在抛物线E上，若|AF|＝|y0|＝2，则p＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】利用抛物线的性质，结合已知条件列出方程求解即可．
解：抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，
点A（x0，y0）在抛物线E上，若|AF|＝|y0|＝2，
则x0+＝2，所以|y0|＝＝2，解得p＝2，
故选：A．
10．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形BCC1B1为正方形，BC＝2AB＝4，AB⊥BC，D为C1B1的中点，则异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点D作DF∥A1C1，交A1B1于点F，则∠ADF为异面直线A1C1与AD所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1C1与AD所成角的余弦值．
解：如图，过点D作DF∥A1C1，交A1B1于点F，
则∠ADF为异面直线A1C1与AD所成角（或所成角的补角），
∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
四边形BCC1B1为正方形，BC＝2AB＝4，AB⊥BC，D为C1B1的中点，
∴由题意知AD＝＝，DF＝＝，AF＝＝，
∴异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为：
cos∠ADF＝＝＝．
故选：C．
11．运行如图所示的程序框图，若输出S的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）
A．k＜4？ B．k＜5？ C．k＜6？ D．k＜7？
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
解：模拟程序的运行，可得
S＝0，k＝1；
S＝0+1×21﹣1＝1，k＝2；
S＝1+2×22﹣1＝5，k＝3；
S＝5+3×23﹣1＝17，k＝4；
S＝17+4×24﹣1＝49，k＝5；
S＝49+5×25﹣1＝129，k＝6，
此时输出S，即判断框内可填入的条件是“k＜6？”．
故选：C．
12．已知函数f（x）＝是R上的单调递增函数，则a的取值范围是（ ）
A．（1，4） B．[2，4） C．（1，3] D．[3，4）
【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得a的取值范围，即可得答案．
解：根据题意，函数f（x）＝是R上的单调递增函数，
必有，解可得3≤a＜4，
即a的取值范围为[3，4）；
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上.
13．等差数列{an}中，a5＝9，a7＝21，则a10+a11+a12＝ 135 ．
【分析】利用等差数列的性质求出公差d，进而求出结论．
解：因为等差数列{an}中，a5＝9，a7＝21，
故2d＝a7﹣a5＝12；
∴d＝6；
∴a10+a11+a12＝3a5+18d＝3×9+18×6＝135．
故答案为：135．
14．函数f（x）＝，则f（f（1））＝ 1 ．
【分析】推导出f（1）＝ln1＝0，从而得到f（f（1））＝f（0），由此能求出结果．
解：∵函数f（x）＝，
∴f（1）＝ln1＝0，
∴f（f（1））＝f（0）＝1．
故答案为：1．
15．从三棱柱的六个顶点中任取两个顶点，则这两个顶点不在同一条棱上的概率是 ．
【分析】利用列举法求出基本事件总数有15种，这两个顶点不在同一条棱上包含的基本事件有6种，由此能求出这两个顶点不在同一条棱上的概率．
解：从三棱柱ABC﹣DEF的六个顶点中任取两个顶点，
基本事件有15种，分别为：
AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，
这两个顶点不在同一条棱上包含的基本事件有6种，分别为：
AE，AF，BD，BF，CD，CE，
则这两个顶点不在同一条棱上的概率为：
P＝＝．
故答案为：．
16．函数f（x）＝x2﹣8lnx的最小值为 4﹣8ln2 ．
【分析】求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对函数定义域分段，可得原函数的单调性，进一步求得最值．
解：由f（x）＝x2﹣8lnx，得f′（x）＝2x﹣＝（x＞0），
当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴f（x）min＝f（2）＝4﹣8ln2．
故答案为：4﹣8ln2．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC＝（b﹣c）cosA．
（1）求A；
（2）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．
【分析】（1）方法一：根据余弦定理即可求出；方法二：根据正弦定理与三角函数的恒等变换求得角A的值；
（2）根据题意，利用余弦定理和三角形面积公式求得结果．
解：（1）方法一：∵acosC＝（b﹣c）cosA，
∴a?＝（b﹣c）?，
∴bc＝b2+c2﹣a2，
∴cosA＝＝，
∵0＜A＜π，
∴A＝；
方法二：∵acosC＝（b﹣c）cosA，
∴由正弦定理得：sinAcosC＝sinBcosA﹣sinCcosA，
∴sinAcosC+sinCcosA＝sinBcosA，
∴sin（A+C）＝sinB＝sinBcosA，
∴sinB≠0，
∴cosA＝，
∵0＜A＜π，
∴A＝；
（2）因为a＝2，b＝2，A＝，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，20＝8+c2﹣2×2×c×cos，
即c2﹣4c﹣12＝0．
又c＞0，所以c＝6．
故△ABC的面积为S＝bcsinA＝×2×6×＝6．
18．某运动品牌商为了得出高中毕业生中女生的身高数据，随机调查某市高中毕业生中女生100人，根据所得数据分为[155，157），[157，159），[159，161），[161，163），[163，165），[165，167]6组，得到她们身高的频率分布直方图如图所示（女生身高普遍在155cm至167cm之间），记“高中毕业生中女生身高不低于161cm”为事件A，根据直方图得到P（A）的估计值为0.49．
（1）求频率分布直方图中a，b的值；
（2）由频率分布直方图估计该市高中毕业生中女生身高的中位数（精确到0.1）．
【分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出a和b．
（2）由频率分布直方图能估计该市高中毕业生中女生身高的中位数．
解：（1）由已知得（0.11+b+0.065）×2＝0.49，
解得b＝0.07．
∵1﹣P（A）＝1﹣0.49＝0.51，
∴2（0.05+0.07+a）＝0.51，
解得a＝0.135．
（2）∵前2组的频率和为2（0.05+0.07）＝0.24＜0.5，
前3组的频率和为0.51＞0.5，∴中位数在第3组，
设中位数为x，则0.24+×0.135×2＝0.5，
解得x≈160.9，
∴由频率分布直方图估计该市高中毕业生中女生身高的中位数约为160.9．
19．如图，在多面体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面BCEF，四边形ABCD为矩形，E，F是以BC为直径的半圆圆弧的两个三等分点，BC＝4，CD＝4．
（1）证明：平面ABF⊥平面ACF．
（2）求点D到平面ACE的距离．
【分析】（1）先证明CF⊥平面ABF，再得出平面ABF⊥平面ACF；
（2）根据VD﹣ACE＝VE﹣ACD计算点D到平面ACE的距离．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC，
∵平面ABCD⊥平面BCEF，平面ABCD∩平面BCEF＝BC，
∴AB⊥平面BCEF，又CF?平面BCEF，
∴AB⊥CF，
∵F是以BC为直径的半圆上的点，∴BF⊥CF，
又AB∩BF＝B，AB?平面ABF，BF?平面ABF，
∴CF⊥平面ABF，又CF?平面ACF，
∴平面ABF⊥平面ACF．
（2）解：连接BE，∵E，F是以BC为直径的半圆圆弧的两个三等分点，BC＝4，
∴BF＝CE＝2，BE＝CF＝＝2，
∴AE＝＝2，AC＝＝8，
∴AE2+CE2＝AC2，∴AE⊥CE，
设D到平面ACE的距离为h，则VD﹣ACE＝＝，
过E作EH⊥BC于H，则EH＝，且EH⊥平面ABCD，
∴VE﹣ACD＝＝8，
∴＝8，解得h＝．
故点D到平面ACE的距离为．
20．已知函数f（x）＝x3+bx2+cx﹣1的图象在（1，f（1））处的切线经过点（2，4），且f（x）的一个极值点为﹣1．
（1）求f（x）的极值；
（2）已知方程f（x）﹣m＝0在[﹣2，2]上恰有一个实数根，求m的取值范围．
【分析】（1）求出导函数求出切线的斜率，切点坐标，得到切线方程，求出极值点，判断导函数的符号，推出结果即可．
（2）方程f（x）﹣m＝0在[﹣2，2]上恰有一个实数根，推出函数y＝f（x）的图象与直线y＝m在[﹣2，2]上恰有一个交点．利用零点判断定理推出结果即可．
解：（1）∵f'（x）＝3x2+2bx+c，∴f'（1）＝3+2b+c，
∴f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为y﹣（b+c）＝（3+2b+c）（x﹣1）．
∵该切线经过点（2，4），∴4﹣（b+c）＝（3+2b+c）（2﹣1），即3b+2c＝1①．
又∵f（x）的一个极值点为﹣1，∴f'（﹣1）＝3﹣2b+c＝0②．
由①②可知b＝1，c＝﹣1，故f（x）＝x3+x2﹣x﹣1．f'（x）＝3x2+2x﹣1，令f'（x）＝0，得x＝﹣1或．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （﹣∞，﹣1） ﹣1
f'（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
故f（x）极大值＝f（﹣1）＝0，．
（2）∵方程f（x）﹣m＝0在[﹣2，2]上恰有一个实数根，
∴函数y＝f（x）的图象与直线y＝m在[﹣2，2]上恰有一个交点．
∵f（﹣2）＝﹣3，f（2）＝9，
结合函数f（x）的图象，可得．
21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，|OA|+|OB|＝3，△OAB的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N是椭圆C上两点，且MN∥AB，记直线BM，AN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），证明：k1?k2为定值．
【分析】（1）由题意可得a+b，及ab的值，且a＞b，解得a，b的值，进而求出椭圆的方程；
（2）由题意设直线MN的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出k1?k2的表达式，将两根之和及两根之积代入可证得k1?k2为定值．
解：（1）由题意可得|OA|＝a，|OB|＝b，
所以a+b＝3，且＝1，解得a＝2，b＝1，
所以椭圆的方程为+y2＝1；
（2）证明：由（1）可得A（2，0），B（0，1），所以kMN＝﹣，
设M（x1，y1），N（x2，y2）直线MN的方程为y＝﹣x+t，
联立直线MN与椭圆的方程，整理可得x2﹣2tx+2t2﹣2＝0，
则△＝4t2﹣4（2t2﹣2）＞0，即t2＜2，
且x1+x2＝2t，x1x2＝2t2﹣2，所以x2＝2t﹣x1，
所以k1k2＝?＝
＝
＝
＝＝，
所以k1?k2为定值．
选考题：共10分请考生在第22、23题中任选-题作答.如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为（2，）．
（1）求直线l与曲线C的普通方程；
（2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，求|MP|+|MQ|的值．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．
解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程．
直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为．
（2）由于点M（2，），转换为直角坐标为（﹣1，），
由于点M在直线l上，
将直线的参数方程代入，
得到：8t2+22t﹣13＝0，设t1，t2为P，Q对应的参数，
所以，，
则：|MP|+|MQ|═．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|+2|x+1|．
（1）求不等式f（x）＜9的解集；
（2）若对?x∈[0，1]，不等式f（x）≥|2x+a|恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）将f（x）化为分段函数的形式，然后根据f（x）＜9，利用零点分段法解不等式即可；
（2）结合（1）可得|2x+a|≤5对x∈[0，1]恒成立，然后得到对x∈[0，1]恒成立，再求出a的取值范围．
解：（1）f（x）＝|2x﹣3|+2|x+1|＝，
f（x）＜9等价为或或，
解得﹣2＜x≤﹣1或﹣1＜x＜或≤x＜，
故原不等式的解集为（﹣2，）；
（2）因为0≤x≤1，所以f（x）＝5，
则f（x）≥|2x+a|对x∈[0，1]恒成立，
等价为|2x+a|≤5对x∈[0，1]恒成立，
即﹣5≤2x+a≤5，即对x∈[0，1]恒成立，
所以﹣5≤a≤3，则a的取值范围是[﹣5，3]．
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