用比例解决问题
【教学内容
教科书第60页例5、例6以及相应的“做一做”，练习十一第4、5、6、7题。
【教学目标】
知识与技能
让学生掌握用比例解应用题的方法。
过程与方法
让学生感受生活中的数学，体验数学的应用价值。
情感、态度与价值观
培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
【教学重难点】
重点：掌握用比例解应用题的方法。
难点：运用所学知识解决实际问题。
学习准备：教师准备多媒体课件，视频展示台；
学生分组在有太阳的天用米尺、标杆，测量小树、路灯的高度和它们同一时间的影长，作好记录。
【导学过程】
【知识回顾】
（一）填空：
1、一辆汽车2小时行120km，照这样计算，行驶360km需要几小时？
A、照这样计算”就是说（
）是一定的。
B、（
）和（
）成（
）比例。
2、生产一批零件，每天生产240个，15天完成任务，如果每天生产300个，几天可以完成任务？
A、
生产一批零件，就是说（
）是一定的。
B、（
）和（
）成（
）比例。
（二）判断下面两种量是否成比例？成什么比例并说明理由。
（1）长方形的面积一定，长和宽。
（2）小红有本练习本，用完的本数和剩下的本数。
（3）每组人数一定，总人数和组数。
（4）圆柱体积一定，底面积和高。
（5）正方形边长和它的周长。
【情景导入】
师：同学们已经能够正确判断成正反比例的量，下面我们就运用比例解决生活中的几个实际问题。
（板书课题．）
【新知探究】
1、学习例5．
教师：这道题目已知什么？求什么？我们以前是怎样解答这类题的？
自己尝试解一解。
如果学生想出用比例解的方法，教师可以直接问学生：“你为什么要这样解？”让学生说出解题理由后再归纳其方法，教师可作如下引导：
师：除了以上的解题方法以外，我们还可以研究一种新的方法来解决这个问题．请同学们用学过的有关比例的知识思考，题中有几种量？是哪几种量？这几种量间有什么关系？
教师：运用前面我们掌握的比例知识，同学们会解答吗？你准备用哪方面的知识解答？
学生：准备用正比例解答，因为题中的条件符合正比例的要求。
教师：准备怎样列比例式？
看书后学生自己解答。
教师：解答得对不对？你准备怎样验算？
学生可以讨论出多种验算方法，教师：选择一种你们喜欢的方法验算。
教师：“一辆汽车2小时行驶140千米，照这样的速度，已知公路长350千米，需要行驶多少小时？”运用比例的有关知识该怎样解答呢？
学生讨论解答．
教师：你觉得用比例解这类问题的过程可以归纳为哪几个步骤？
引导学生归纳出：
（1）设要求的问题为x；
（2）用正比例或反比例的意义判断题中的两种量成正比例还是成反比例关系；
（3）列比例式；
（4）解比例，验算，作答。
2、学习例6：
板书：每包本书×包数=书的总数
教师：同学们用前面我们归纳的解题步骤思考这道题该怎样解答？
学生先独立思考，再相互讨论，依靠学生自身努力合作用比例解答例6。教师：在解答过程中，你发现例6和例5有哪些相同？哪些不同？
教师：你们是怎样解答的？谁来介绍一下？
抽学生在视频展示台上介绍自己的解答过程，其他学生可以在下面作必要的补充。
教师：还有其他的解法吗？
鼓励学生介绍自己的多种解法．
【知识梳理】
1、用比例的知识问题解答的思路
2、这节课同学们学得真好，掌握了用比例解应用题的有关知识。同学们知道吗，用比例的知识不但可以解答书中的习题，还可以解决生活中的许多实际问题。比如说我们在前面提到的测量解放碑的高度，就可以用比例有关知识解。怎样解呢？要回答这个问题，我们先来观察同学们测量的在同一时间内一些物体的高度和它们的影长。
抽学生的测查记录在视频展示台上展示：
项目
米尺
小树
路灯
高度（米）
1
2
4
影长（米）
1.5
3
6
教师：观察这些数据，你发现了什么？
引导学生说出物体的影长物体的高度＝单位影长的物体高度（一定），所以在同一时间、同一地点，物体的高度与影长成正比例关系。
引导学生说出选一个有太阳的日子，在解放碑旁竖一根标杆，同时测出标杆的高度及标杆与烈士纪念碑的影长，然后再用正比例的有关知识求出烈士纪念碑的高度。
教师：同学们真聪明，这个具体的测量计算工作就留给同学们课后分组自己去解决吧。
【随堂练习】
指导学生完成做一做第1、2题。课题
用比例解决问题
课时
班级
授课教师
授课日期
学习目标
教学目标：
1、使学生掌握用比例知识解答以前学过的用归一、归总方法解答的应用题的解题思路，能进一步熟练地判断成正、反比例的量，加深对正、反比例概念的理解，沟通知识间的联系。
2、提高学生对应用题数量关系的分析能力和对正、反比例的判断能力。
3、培养学生良好的解答应用题的习惯。
教学重点
用比例知识解答比较容易的归一、归总应用题。
教学难点
正确分析题中的比例关系，列出方程。
预习要求
判断下面每题中的两种量成什么比例？
（1）速度一定，路程和时间．
（2）路程一定，速度和时间．
（3）单价一定，总价和数量．
（4）每小时耕地的公顷数一定，耕地的总公顷数和时间．
（5）全校学生做操，每行站的人数和站的行数．
教学过程
教学环节
学生活动（学案）
教师活动（教案）
课堂中新增的教法与学法
一、复习 二、创设情境引入内容
学生回答后引出求水费的实际问题。 ?①问题中有哪两种量？ ?②它们成什么比例关系？你是根据什么判断的？ ?③根据这样的比例关系，你能列出等式吗？ 根据反比例的意义来列等式，使学生进一步掌握两种量成反比例的特点和解决含反比例关系的问题的方法。 学生演示解题过程，集体修正。
一、复习 1．什么叫比？比例？比和比例有什么区别？2．什么叫解比例？怎样解比例，根据什么？ 3．什么叫呈正比例的量和正比例关系？什么叫反比例的关系？ 4．什么叫比例尺？关系式是什么？ 二、创设情境引入内容 1．出示例5：“画面上张大妈与李奶奶的对话让我们知道了哪些数据？你能提出什么问题？” 问题：你们学过解答这样的问题吗？能不能解答？让学生自己解答，交流解答的方法。 引入：“这样的问题可以用应用比例的知识来解答，我们今天就来学习用比例的知识进行解答。” 出示以下问题让学生思考和讨论： ?①问题中有哪两种量？ ?②它们成什么比例关系？你是根据什么判断的？ ?③根据这样的比例关系，你能列出等式吗？ 明确：因为水价一定，所以水费和用水的吨数成正比例。也就是说，两家的水费和用水的吨数的比值是相等的。 演示解题过程：设未知数，根据正比例的意义列出方程，接着解比例求出未知数。让学生检验所求的未知数x是否合乎题意。检验的方法是把求出的数代入原等式（即方程），看等式是否成立。把求出的16代入等式，左式＝＝1．6，右式＝＝1．6，左式＝右式，也就是它们的比值相等，与题意相符，所以所求的解是正确的。 ?问题：“王大爷家上个月的水费是19．2元，他们家上个月用多少吨水？”要求学生应用比例的知识解答，然后交流。通过订正、交流，使学生明确条件和问题改变后，题目中水费和用水的吨数的正比例关系没变，只是未知量变了。 2．出示例题6的场景。 同样先让学生用已学过的方法解答，然后学习用比例的知识解答。 师：“想一想，如果改变题目的条件和问题该怎样解答？” 3．完成“做一做”， 直接让学生用比例的知识解答 问题：对照两题说一说两道题数量关系有什么不同，是怎样列式解答的。 总结应用比例知识解答问题的步骤： （1）分析题意，找到两种相关联的量，判断它们是否成比例，成什么比例。 （2）依据正比例或反比例意义列出方程。（3）解方程（求解后检验），写答。用正比例解决问题
教学内容：（人教版）六年级数学下册第四单元“用比例解决问题”第61页例5及相关内容
教材分析：
用比例解决问题是人教版教材六年级下册第四单元“比例”中一个重要的学习内容。用比例解决问题实际上是代数知识的范畴，是学生解决问题思路的拓宽。教材中的例5，是一道用正比例知识解答的应用题，只要抓住李奶奶和张大妈家每吨水的价钱相等，就可以根据两家的水费和用水吨数的比值相等列出比例。因此，列比例时要注意变化的量相对应。教材要求通过联系算术解法，使学生了解用正比例关系解答的应用题，就是以前学过的“归一应用题”，让学生从量与量之间的关系思考，培养代数思维，体会函数思想。
学情分析：
学生在学习这部分知识之前，已经认识了正比例的意义和反比例的意义，会判断生活中含有正、反比例意义的数量关系，也会解决生活中有关归一、归总的实际问题。
本节课主要学习用正比例的知识来解决含有归一数量关系的实际问题。教学应用正比例解决问题，教材由张大妈与李奶奶的对话引出求水费的实际问题，为加强知识间的联系，先让学生用学过的方法解决，然后学习用比例的知识解决。通过解决实际问题使学生进一步熟练地判断成正比例的量，加深对正比例概念的理解，也为中学数学、物理、化学学科应用比例知识解决一些问题作较好的准备。
设计理念：
新课程理念非常重视数学应用意识的培养。学习数学，不能仅仅停留在掌握知识的层面上，而必须学会应用，才能真正实现数学的价值。要培养学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。在学习本节课之前，生活中的一些数量关系，学生用自己的知识已经会解决了。本节课要让学生用另一种数学眼光，从比例知识的角度寻找一种新的解决这种特殊数量关系的方法，从而丰富学生解决问题的策略，加强数学应用意义的培养。
在教学设计和实践上，能否真正有效的培养学生的应用意识，其关键重要的一环是：如何引导启发学生面对实际问题，能主动尝试着从数学的角度运用比例的知识去解决问题，要为学生运用比例知识解决实际问题创造条件和机会
教学目标：
1、使学生能正确判断情境中的两种量是否成正比例关系，并能利用正比例的意义解决实际问题。
2、使学生在经历解决问题的过程中，发展分析问题、解决问题的能力。
3．使学生学会从不同的角度思考问题，沟通“算术法”与“比例方法”的区别和联系，发展探究问题解决策略的能力。???
教学重点：掌握用正比例知识解决问题的步骤和方法。
教学难点：利用正比例关系列出含有未知数的等式。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、复习引入，激活经验。
1、复习成正比例的量。
师：谁能说一说生活中有哪些成正比例的量？如（
）一定，（
）和（
）成正比例关系。
师根据生的回答板书：速度=路程：时间
单价=总价：数量
工作时间=工作总量：工作效率……
师：判断两种相关联的量是不是成正比例关系的关键是什么?
（设计意图：通过描述生活中常见的成正比例关系的量，唤起学生对旧知的回忆，巩固判断两个量成正比例关系的关键要素，同时为新知的学习做好准备。）
2、引出课题
师：看来生活中成正比例的量真不少，今天这节课我们将继续学习用正比例知识解决生活中的实际问题。
二、创设情境，自主探究。
（一）教学例5（课件出示：情境图）
1、回顾旧知
师：从这幅图中你能知道哪些信息？（指名回答）李奶奶家上个月的水费是多少钱？想请我们帮她算一算，你们能用学过的方法来帮这个忙吗？
（1）学生自己解答，然后交流解答方法。师随生的回答板书。
（学生可以先求出单价，再求总价或先求出用水量的倍数关系再求总价。）
（设计意图：用以往学过的方法解决例题，有助于从旧知跳跃到新知的学习，同时有利于用比例解决问题的检验，帮助学生在后面的学习中构建知识结构。）
（2）师：我们已经学习了比例的知识，像这样的问题也可以用比例的知识来解决。
（设计意图：点明主题，鼓励学生以积极的态度投入新课的学习。）
2、探究解法
（1）梳理两种相关联的量
师：用比例解决这个问题之前，我们先来思考（课件出示）
①问题中有哪两种量？它们对应的数据分别是多少？
②它们成什么比例关系？你是根据什么判断的？
③根据这样的比例关系，你能列出等式吗？
（2）探究用比例解题的方法（每个小组发放一张学习记录卡），小组合作完成。
??（设计意图
“学习记录卡”的三点要求既突出了学习的重点，又把用比例解决问题的探究过程清晰地呈现出来，有利于学生建构用比例解决问题的策略。）??????
3、展示成果
（1）指定小组到讲台利用投影仪汇报，师适时点评提问。
（2）师：这个问题我们用比例的知识解决了，你有什么方法检验自己的解答是正确的呢？（启发学生自主选择检验方法。如：将结果代入原题、运用比例的基本性质、用算术方法或一般方程方法解答来检验等。）
（设计意图：在教师引导下，学生通过合作、交流从而解决问题，能使他们增强学习的信心、能给他们自信。在交流中，让学生充分地表达自己的见解，培养学生的辩证思维能力和口语交际能力，同时养成及时检验的良好习惯。）
4、即时练习
师：同学们很了不起，帮李奶奶解决完了问题，能再帮王大爷解决一个问题吗？
课件出示：“王大爷家上个月的水费是42元，他们家上个月用了多少吨水？”让学生进行变式练习。请同学们尝试着用比例的方法来解决这个问题。
生练习本上完成，指名回答并说说是怎么想的。
5、提炼方法
师：解决了两个问题，我们一起来反思一下刚才的学习过程，归纳一下用比例解决问题的步骤。
得出用比例解决问题的“五步曲”（板书）：
一梳（梳理相关联的两种量）
二判（判断相关联的两种量成什么比例）
三列（设未知x，根据判断列出比例）
四解（解比例）
五检（用自己熟练的方法来检验）。
（设计意图：“检验反思”有利于培养学生良好的学习习惯，同时提高解决问题的正确率。归纳解题的策略，有助于提高学生解决问题的能力。）
（二）达标练习（基础碰碰车）
师：同学们想不想体验一下刚才归纳的用比例解决问题的“五步曲”呢？下面我们一起走进基础碰碰车。
（设计意图：让学生通过自己的努力获得用正比例的知识来解决问题的能力。）
三、沟通联系，比较建构。
1、结合板书组织学生交流：“用算术”和“用比例”解题有什么联系和区别？
2、师小结：两种方法可以从不同角度、不同层面形成不同解决问题的策略，发展思维。算术方法必须求出那个不变的量的具体值，而比例方法只需根据数量关系表示出这个不变的量。在今后我们遇到这样的问题时，可以用比例来解答，然后用算术方法来进行验证，这样可以“一举多得”。
（设计意图：通过“比较”教学环节，使学生建构起较系统的知识结构：理清了用比例解应用题的思维和寻找策略的方法，即从“变”中发现“不变（规律）”，用“不变（规律）”探索“变”；沟通了用“比例”、“算术”不同方法解题思维及策略的联系与区别；理解了“用比例解的应用题”的结构特点。）
四、巩固提高，内化新知。（升级跷跷板）
师：同学们这节课马上就要结束了，老师想再考考大家，有信心接受考验吗？
出示升级跷跷板，学生解答。
（设计意图：通过练习的巩固，提高学生解决问题的能力。同时从学生的生活实际入手，引导学生把所学的知识运用与生活实践，从中体会所学知识的生活价值。）
五、全课总结。
1、
今天你们有什么收获？
2、用正比例解决问题时要注意些什么？
师：通过今天的学习，相信同学们都有了自己的收获，老师也有一句话想送给你们“成绩和劳动是成正比例的，有一分劳动就有一分成绩。愿你们用辛勤的劳动换来值得骄傲的成绩”。
六、板书设计
用正比例解决问题
28÷8×10
解：设李奶奶家上个月的水费是x元。
=3.5×10
28:8=x:10
=35（元）
8x=28×10
答：李奶奶家上个月的水费是35元。
8x=280
x=280÷8
x=35
答：李奶奶家上个月的水费是35元。
《用正比例解决问题》学习记录卡
1、题中有哪两种相关联的量，它们对应的数据分别是多少？请填写下表（未知的量用“x”表示）。
相关联的两种量
对应数据
张大妈家
李奶奶家
?
?
?
?
?
?
2、分析判断。
从上表可以知道（?）一定，所以（?）和（?
）成（?）比例。也就是说，两家的（?
）和（?）的（?）相等。
3、用比例解答。
如果设李奶奶家上个月的水费是x元，请根据表中相对应的数据和判断列出比例式，然后解答。
基础碰碰车
1、填一填
学校买3套桌椅用了780元，照这样计算，买8套桌椅要用多少元？
分析：
（1）题中相关联的两种量是（
）和（
）。
（2）“照这样计算”就是说（
）是一定的。
（3）题中（
）和（
）成（
）比例关系，也就是说这两种相关联的量的（
）相等。
（4）列比例解答
2、只列比例，不求解
（1）一辆汽车5小时行驶了400千米，照这样的速度，行驶640千米要多少小时？
解：设
列比例：
（2）印刷厂3小时装订了240本书，照这样计算，5小时可以装订多少本书？
解：设
列比例：
3、一位农民伯伯用收割机收割小麦。3天收割了165公顷，照这样计算，8天可以收割多少公顷小麦？《用比例解决问题》练习课
教学内容：六年级下册四单元
教学目标：
通过对比练习，使学生进一步掌握用比例解决问题的分析方法。
通过题组练习，加强学生对用比例解决问题的分析方法，并能较熟练地解决问题。
教学重点：
在解决实际问题中探索解决问题的策略，建构知识间的联系。熟练地运用正、反比例解决问题。
教学难点：学生在解决问题中找到对应的数量关系，根据数量关系灵活解决问题。
教学内容：
课前口算：
5a=4b，
a:b=( ） ３ｘ＝４ｙ，ｙ：ｘ＝（ ）
：ｘ＝ｙ：，ｘｙ＝（ ）
ａ：７＝３：ｂ，ａｂ＝（ ）
１：（）＝２０:６０ （ ）：＝２：
1、复习：
1、判断下面每题中的两种量成什么比例，并说明理由。
（1）订阅《学苑新报》的总费用与订阅的数量。
（2）从甲地到乙地，行驶的速度与时间。
（3）给一个房间铺地板，每块砖的面积与块数。
（4）加工一批零件，每天工作的小时数与工作天数。（每小时工作量不变）
（5）含盐率一定，盐的质量与盐水的质量。
2、看来大家对正比例和反比例知识掌握的还不错。曾经以前的学生学到这部分知识时，说过这样的话：“用比例解决问题真的很棒。”他为什么有这样的感受呢？源于一道题，我们来看：
一个晒盐场用100g海水可以晒
出3g盐。照这样计算，如果一块盐
田一次放入585000吨海水，可以晒
出多少吨盐？
问：读一读，想一想，你看明白了吗？和同桌说一说。
追问：“为什么单位不一样，也能直接列比例式？”
小结：含盐率一定，而且列式时也符合了对应，那么这个比例式的结果就是所求盐的吨数。是不是很棒？
今天我们就上一节用比例解决问题的练习课，也许我们也会有不一样的收获。
2、基本练习。
1、复习回顾:用比例解答问题的方法步骤是什么？
2、基本练习：
甲地到乙地约500km，一辆汽车从甲地出发，2小时行驶了140km。照这样的速度，几小时可以到达乙地？
学校会议室是正方形的，用面积16dm?的方砖铺地，正好需要500块。如果改用面积25dm?的方砖铺地，需要多少块？
（1）学生默读题目，把表格补充完整。
时间（小时）
路程（km）
每块砖面积（dm?）
块数
你们是怎样填的？看着表格说一说从题中知道了什么？
（2）学生独立完成，板演并讲解。
追问：谁再来说一说数量关系式？
板书：
=速度（一定）
每块砖的面积×块数=总面积（一定）
你是怎么知道速度（总面积）一定的？
对照板演，快速修正自己的问题。
3、变式练习。
第一组：
甲地到乙地约500km，一辆汽车从甲地出发，2小时行驶了140km。照这样的速度，几小时
（还需几小时）可以到达乙地？
学校会议室是正方形的，用面积16dm?
（边长4dm）的方砖铺地，正好需要500块。如果改用面积25dm?
（边长5dm）的方砖铺地，需要多少块？
第二组：
甲地到乙地约500km，一辆汽车（早7:00）从甲地出发，2小时
（到9:00）行驶了140km。照这样的速度，几小时可以到达乙地？
学校会议室是正方形的，用面积16dm?
（边长4dm）的方砖铺地，正好需要500块。如果改用面积25dm?的方砖铺地，需要多少块？
（1）学生默读题目，把表格补充完整。
（2）学生板演并讲解。
小结：看，从一道题变成了3道，大家猜一猜，还能不能再变下去？你们的感觉真准。但是时间有限，我们不能再一一展开呈现了。
看着这一串一串的题，应该已经引起我们的一些思考。
看（正比），从最初……，然后……，再然后……，你想说些什么？反比的这些题也是这样吗？
复杂的题都是在基本题上变化来的，而我们就是要牢牢抓住分析方法，以不变应万变，题目再变化也就没有什么可怕的了。
4、综合练习。
第一组：
一辆汽车从甲地到乙地，平均每小时行75km，6小时到达。回来时空车原路返回，每小时可行90km，几小时返回？
明明家用一种方砖铺大约80m?的地面，铺了7.5m?时用了30块。铺完至少需要多少块？
第二组：
1、修一条路，每天工作6小时，10天可以完成。如果每小时工作量不变，每天工作8小时，多少天可以完成任务？
2、用400kg黄豆可以榨油180kg。照这样计算，要榨3.6吨油，需要黄豆多少吨?
3、把一根木料锯成4段要用24分钟。照这样计算，把这根木料锯成8段需要多少分钟？
4、加工一批零件，如果每小时加工12个，50小时可以完成。现在要提前10小时完成，每小时需要加工多少个？
解：设可以晒出x吨盐。
=
100x=3×585000
……
X=17550
答：可以晒出17550吨盐。
