因数、公因数和最大公因数
知识梳理
教学重、难点
作业完成情况
典题探究
例1．看谁找得快．
（1）15的全部因数有
．
（2）21的全部因数有
．
（3）既是15的因数，又是21的因数有
．
例2．王老师买了36支铅笔，48本练习本奖励给一些进步的学生，刚好发完，没有剩余，一个有多少个进步的学生？
例3．24的因数有：
，
32的因数有：
；
24和32的公因数有：
．
24和32的最大公因数是：
．
用这种方法找36和48的最大公因数．
例4．用一批布做同样的上衣20件或者裤子30件．那么用这批布可以做这样的衣服多少套？
例5．把一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸裁成成同样大小、面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，至少可以裁多少个？（画出示意图）
演练方阵
A档（巩固专练）
一．选择题（共12小题）
1．（泗县模拟）6是36和48的（ ）
A．
约数
B．
公约数
C．
最大公约数
2．（中山模拟）在2、3、4、6、11这五个数中互质数有（ ）对．
A．
2对
B．
3对
C．
4对
D．
6对
3．（漳州）a、b和c是三个不同的非零自然数，在a=b×c中，下面说法正确的是（ ）
A．
b一定是a的公因数
B．
c一定是a和b的最大公因数
C．
a一定是b和c的最小公倍数
D．
a一定是b和c的公倍数
4．（夷陵区）36和48的公约数一共有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
6个
5．（昆明模拟）36和24的公因数有（ ）个．
A．
3
B．
4
C．
6
D．
8
6．（大足县）在2，50，33，19这四个数中，互质数共有（ ）对．
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
7．（宣汉县）互质的两个数的积有（ ）个约数．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
无法确定
8．1998、1332、666这三个数的公约数中是质数的有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
9．m：n为最简整数比，则下列判断错误的是（ ）
A．
m、n的公约数只有1
B．
m、n都是质数
C．
m、n是互质数
10．已知a、b的最大公因数是12，那么a、b的公因数共有（ ）个．
A．
1
B．
2
C．
4
D．
6
11．16和34的公因数有（ ）个．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
⑤无数
12．999，777，555，333，111这五个数的公因数有（ ）个．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
二．填空题（共14小题）
13．（岚山区模拟）a和b互质，b和c互质，那么a和c一定互质
．（判断对错）
14．（临川区模拟）1是除零以外的所有自然数的公约数．
（判断对错）
15．（东城区模拟）两个自然数的公有质因数的积一定是这两个数的最大公因数．
．
16．（玉泉区）互质的两个数没有公约数．
．（判断对错）
17．（潞西市模拟）两个非0自然数a，a+1，它们的公因数是1．
．
18．（安仁县）甲、乙两数公有的质因数有2、3和5，则这两个数公约数的和是
．
19．（綦江县）看图填空．
从图中得出24和36公有的因数有
，其中最大的一个是
，这个数就是24和36的
．
20．（临沂）a和b都是自然数，而且a÷b=5，那么a和b的最大公约数是
．
21．（广陵区）A是个素数，它有
个因数，如果B是A的倍数，那么A、B的最大公因数是
．
22．（双流县）24所有的约数有
，用其中4个约数组成一个比例是
．
23．若甲乙两数只有一个公约数，则甲、乙两数是互质数．
．
24．如果两位数ab（a＞0，b＞0）满足：ab与ba有大于1的公因数，那么ab称为“好数”，那么“好数”的个数是
．
25．已知A=2×3×3×3×3×5×5×7，在A的两位数的因数中，最大的是
．
26．如果A=2×3×5×17，B=2×3×5×19，那么A和B的公约数一共有
个，最大的公约数是
．
三．解答题（共2小题）
27．看谁找得快．
（1）15的全部因数有
．
（2）21的全部因数有
．
（3）既是15的因数，又是21的因数有
．
28．（合水县）6和13是一对互质数．
．
B档（提升精练）
一．选择题（共11小题）
1．（漳州）a、b和c是三个不同的非零自然数，在a=b×c中，下面说法正确的是（ ）
A．
b一定是a的公因数
B．
c一定是a和b的最大公因数
C．
a一定是b和c的最小公倍数
D．
a一定是b和c的公倍数
2．（广州）古希腊认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”．例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数．6=1+2+3，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”．下面的数中是“完全数”的是（ ）
A．
12
B．
28
C．
36
3．（大足县）在2，50，33，19这四个数中，互质数共有（ ）对．
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
4．（宣汉县）互质的两个数的积有（ ）个约数．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
无法确定
5．（越城区）6是24和36的（ ）
A．
公约数
B．
公倍数
C．
最大公约数
D．
最小公倍数
6．下面（ ）组的公因数只有1．
A．
21和14
B．
54和42
C．
17和34
D．
26和27
7．两个数的最大公因数是15，则这两个数的公因数有（ ）个．
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
8．a、b、c是一个不相等的非零自然数，a÷b=c，下面说法正确的是（ ）
A．
a是b的约数
B．
c是a的倍数
C．
a和b的最大公约数是b
D．
a和b都是质数
9．在9和10；8和10；8和21；6和13；39和26
这五组数中，公因数只有1的有（ ）
A．
2
组
B．
3组
C．
4组
10．两个不同的非0自然数最少有（ ）个公因数．
A．
.0
B．
.1
C．
2
D．
很多
11．7是28和42的（ ）
A．
公倍数
B．
最大公因数
C．
公因数
二．填空题（共17小题）
12．1、3、5都是45的公因数．
．
13．已知A=2×3×3×3×3×5×5×7，在A的两位数的因数中，最大的是
．
14．a和b是互质数，所以它们没有公约数．
．
15．32和24的公因数有
，50以内12和8的公倍数有
．
16．24和60的公因数有
．
17．如果A=2×3×5×17，B=2×3×5×19，那么A和B的公约数一共有
个，最大的公约数是
．
18．所有自然数的公约数是
，所有偶数的公约数是
．
19．如果两位数ab（a＞0，b＞0）满足：ab与ba有大于1的公因数，那么ab称为“好数”，那么“好数”的个数是
．
20．（邳州市）42的约数有
，从中选择四个数组成一个比例
．
21．两个数的公因数的个数是无限的．
．（判断对错）
22．两个数的最大公因数一定比这两个数小．
．（判断对错）
23．合数b的最大约数是
，最小约数是
，它至少有
个约数．
24．两个数的公因数一定是这两个数的因数．
．（判断对错）
25．18的全部因数有：
，21的全部因数有：
．既是18的因数，又是21的因数的有
．
26．17和19这两个数的公因数只有1．
．（正确判断）
27．15的因数有：
、
、
、
；9的因数有：
、
、
；
15和9的公因数有
；15和9的最大公因数是
．
28．18和30公有的素因数是
．
三．解答题（共1小题）
29．把一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸裁成成同样大小、面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，至少可以裁多少个？（画出示意图）
C档（跨越导练）
一．选择题（共5小题）
1．1998、1332、666这三个数的公约数中是质数的有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
2．下面哪一句话是正确的？（ ）
A．
12和45有公因数2
B．
12和45有公因数3
C．
12和45有公因数5
3．下列（ ）组既有公因数2，又有公因数3．
A．
24和42
B．
10和35
C．
30和40
D．
6和27
4．在9和10；8和10；8和21；6和13；39和26
这五组数中，公因数只有1的有（ ）
A．
2
组
B．
3组
C．
4组
5．42和35的公因数有（ ）个．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
无数个
二．填空题（共16小题）
6．（东城区模拟）两个自然数的公有质因数的积一定是这两个数的最大公因数．
．
7．（沛县模拟）两个数的最大约数一定小于其中的任何一个数．
．
8．任何两个不是0的自然数都有一个公因数是
．
9．现有两个不同的自然数A和B，假如A是B的倍数，那么A和B的最大公因数是
，它们的最小公倍数是
．
10．数a是非零自然数，则a的最小因数是
，最大的因数是
，最小的倍数是
，
最大倍数．8和14的最大公因数是
，最小公倍数是
．既是24的因数，又是6的倍数的数有
．
11．（岑巩县）合数a的最大约数是
，最小约数是
，它至少有
个约数．
12．（中山市）有4个自然数，它们的和是1111，如果要求这四个数的公约数尽可能大，那么这四个数的公约数最大可能是
．
13．（临沂）a和b都是自然数，而且a÷b=5，那么a和b的最大公约数是
．
14．12345678987654321除本身之外的最大约数是
．
15．11与5都是55的约数，又因为11、5都是质数，所以11、5都是质因数．
．
16．相邻的两个正整数一定
；全体自然数的公因数为
．
17．两个数的公因数实际也是最大公因数的
．
18．因为84=3×4×7，所以3，4和7都是84的约数．
．（判断对错）
19．18的因数中，既是偶数又是质数的数是
，既是奇数又是合数的数是
．
20．一个数既是9的倍数，又是9的因数，这个数是
，它的全部因数有
．
21．在20的所有约数中，最大的一个是
，在12的所有倍数中，最小的一个是
．
三．解答题（共7小题）
22．
所有因数
公因数
最大公因数
12
18
30
45
36
48
23．在24的因数上画△，在30的因数上画○．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
同时是24和30的因数的是：
，这些数称为24和30的公因数，其中最大的公因数是：
．
24．先在空格里打“√”，再填空．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10的因数
12的因数
15的因数
10和12的公因数有
，最大公因数是
．
10和15的公因数有
，最大公因数是
．
12和15的公因数有
，最大公因数是
．
25．（合水县）6和13是一对互质数．
．
26．找出下面各组数的公因数．
4和9，
16和9，
32和15，
7和8．
我发现：这几组数的公因数都
．
像上面这样的几组数称为互质数．
27．按要求完成下图：
所以72和90的最大公因数是
．
28．（平阳县）一个最简分数的分子和分母没有公因数．
．（判断对错）
成长足迹
课后检测
学习（课程）顾问签字：
负责人签字：
教学主管签字：
主管签字时间：
耐心
细心
责任心因数、公因数和最大公因数
答案
知识梳理
教学重、难点
作业完成情况
典题探究
例1．看谁找得快．
（1）15的全部因数有 1、3、5、15 ．
（2）21的全部因数有 1、3、7、21 ．
（3）既是15的因数，又是21的因数有 1、3 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
（1）根据找一个数因数的方法，列举出15的全部因数即可；（2）根据找一个数因数的方法，列举出21的全部因数即可；（3）求既是15的因数，又是21的因数，即求15和21的公因数，找出即可．
解答：
解：（1）15是全部因数：1、3、5、15；（2）21的全部因数：1、3、7、21； （3）15和21的公因数有：1、3；故答案为：1、3、5、15，1、3、7、21，1、3．
点评：
明确找一个数因数的方法，是解答此题的关键．
例2．王老师买了36支铅笔，48本练习本奖励给一些进步的学生，刚好发完，没有剩余，一个有多少个进步的学生？
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
约数倍数应用题．
分析：
求有多少个进步的学生，即求36和48的公因数，根据找一个数因数的方法，进行直接列举即可．
解答：
解：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36；48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；36和48的公因数有：1、2、3、4、6、12，所以可以有1、2、3、4、6、12个进步的学生．
点评：
解答此题应明确：要求有多少个进步的学生，即求36和48的公因数．
例3．24的因数有： 1，2，3，4，6，8，12，24 ，
32的因数有： 1，2，4，8，16，32 ；
24和32的公因数有： 1，2，4，8 ．
24和32的最大公因数是： 8 ．
用这种方法找36和48的最大公因数．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
根据求一个数因数的方法：一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，应有顺序地写，做到不重复，不遗漏；两个数公有的因数，就是它们的公因数，其中最大的一个，就是这两个数的最大公因数；据此解答．
解答：
解：①24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；32的因数有：1，2，4，8，16，32；24和32的公因数有：1，2，4，8；．24和32的最大公因数是：8．②找36和48的最大公因数：36的因数有：1，2，3，4，9，12，18，36；48的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48；36和48的最大公因数是：12．故答案为：1，2，3，4，6，8，12，24；1，2，4，8，16，32；1，2，4，8；8．
点评：
此题考查求一个数的因数的方法，也考查了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法．
例4．用一批布做同样的上衣20件或者裤子30件．那么用这批布可以做这样的衣服多少套？
考点：
因数、公因数和最大公因数；简单的工程问题．
分析：
因题中这批布未知，可以设这批布为单位“1”，那么做每件上衣就占这批布的，每条裤子这批布的，做每套衣服就占这批布的+==，然后用这批布“1”除以每套衣服占这批布的，即可求出这批布可以做这样的衣服多少套．
解答：
解：设这批布为单位“1”．
1÷（+）=1÷=1÷=12（套）答：用这批布可以做这样的衣服12套．
点评：
此题可以利用工程问题的方法解答．
例5．把一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸裁成成同样大小、面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，至少可以裁多少个？（画出示意图）
考点：
因数、公因数和最大公因数；图形的拆拼（切拼）．
分析：
把一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸裁成成同样大小、面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，需要找出30和24的最大公约数，这个数就是尽可能大的正方形的边长．
解答：
解：30和24的最大公约数是6，所以尽可能大的正方形的边长是6厘米，30÷6=5，24÷6=4，所以至少可以裁正方形的个数为：5×4=20（个）．答：至少可以裁20个．
点评：
此题考查了图形的拆拼．正方形的边长最大是长方形长和宽的最大公约数是解决此题的关键．
演练方阵
A档（巩固专练）
一．选择题（共12小题）
1．（泗县模拟）6是36和48的（ ）
A．
约数
B．
公约数
C．
最大公约数
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
根据公因数的意义，几个数公有的因数叫做这几个是的公因数．由此解答．
解答：
解：36÷6=6，36能被6整除，6是36的因数；48÷6=8，48能被6整除，6也是48的因数；所以6是36和48的公因数．故选：B．
点评：
此题主要考查公因数的意义，和求两个数的公因数的方法．
2．（中山模拟）在2、3、4、6、11这五个数中互质数有（ ）对．
A．
2对
B．
3对
C．
4对
D．
6对
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数．由此解答．
解答：
解：在2、3、4、6、11这五个数中互质数有：2和3，3和4，2和11，3和11，4和11，6和11，共6对．答：组成的互质数有6对．故选：D．
点评：
此题考查的目的是理解和掌握互质数的概念及意义．
3．（漳州）a、b和c是三个不同的非零自然数，在a=b×c中，下面说法正确的是（ ）
A．
b一定是a的公因数
B．
c一定是a和b的最大公因数
C．
a一定是b和c的最小公倍数
D．
a一定是b和c的公倍数
考点：
因数、公因数和最大公因数；公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
根据公因数和公倍数的意义：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个就是它们的最大公因数；几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个就是它们的最小公倍数；
解答：
解：A、b一定是a的公因数．出说法错误，因为公因数是对两个或两个以上的数而言．B、c一定是a和b的最大公因数．此说法错误．a=b×c，即a是b和c的倍数，b和c是a的因数，c是a和b的公因数，但不一定是它们最大公因数．C、a一定是b和c的最小公倍数．出说法错误，a=b×c，即a是b和c的倍数，b和c是a的因数，a一定是b和c的公倍数，但不一定是它们的最小公倍数．如24=12×2，24是12和2的倍数，但不是最小公倍数．D、a一定是b和c的公倍数．此说法正确，如上面的例子，a=b×c，即a是b和c的倍数，b和c是a的因数．故选：D．
点评：
此题考查的目的是理解掌握公因数、最小公因数、公倍数、最小公倍数的意义．
4．（夷陵区）36和48的公约数一共有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
6个
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
利用求一个数的约数的方法，先分别找出36的约数和48的约数，进而根据公约数的含义：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；进行解答即可．
解答：
解：36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36；48的约数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；所以36和48的公约数有1、2、3、4、6、12，共6个；故选：D．
点评：
此题考查了求两个数的公约数的方法，应注意灵活掌握．
5．（昆明模拟）36和24的公因数有（ ）个．
A．
3
B．
4
C．
6
D．
8
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
根据公因数的意义：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数；进行列举，进而得出结论．
解答：
解：36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36；24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；24和36的公因数有：1、2、3、4、6、12共6个；故选：C．
点评：
解答此题的关键是先根据公因数的含义进行列举，进而得出结论．
6．（大足县）在2，50，33，19这四个数中，互质数共有（ ）对．
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
互质数是公因数只有1的两个数，据此把3，8，12和25四个数中任意取两个数组成一对互质数，然后数出即可．
解答：
解：把2，50，33，19这四个数中任意取两个数组成的互质数有：2和33，2和19，50和33，50和19，33和19；共计5对；故选：D．
点评：
本题主要考查互质数的意义，注意互质数是公因数只有1的两个数．
7．（宣汉县）互质的两个数的积有（ ）个约数．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
无法确定
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
互质的两个数，有三种情况：两个数都是质数、两个数都是合数、一个质数与一个合数，可以举例进行选择．
解答：
解；2和3互质，2×3=6，6的约数有：1、2、3、6；4和9互质，4×9=36，36的约数有：1、2、3、4、9、12、18、36；3和4互质，3×4=12，12的约数有：1、2、3、4、6、12；所以互质的两个数的积有多少个约数无法确定；故选：D．
点评：
解答此题的关键是弄清互质的两个数有三种情况，用列举法即可解答．
8．1998、1332、666这三个数的公约数中是质数的有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
考点：
因数、公因数和最大公因数；合数与质数．
分析：
由于1998和1332都是666的倍数，只要把666分解质因数，就可以确定这三个数的公因数中是质数的有几个．
解答：
解：把666分解质因数：666=2×3×3×37；答：1998、1332、666这三个数的公约数中是质数的有2，3，37共三个．故选：C．
点评：
此题主要根据求几个数的最大公因数和分解质因数的方法解决问题．
9．m：n为最简整数比，则下列判断错误的是（ ）
A．
m、n的公约数只有1
B．
m、n都是质数
C．
m、n是互质数
考点：
因数、公因数和最大公因数；合数与质数．
专题：
数的整除．
分析：
根据最简整数比的意义，比的前项和后项是互质数的比叫做最简整数比．再根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数．由此解答．
解答：
解：根据分析知：m：n为最简整数比，那么m、n的公因数只有1，也就是m、n是互质数．互质的两个数不一定都是质数，因此m、n都是质数，这种说法是错误的．故选：B．
点评：
此题考查的目的是理解互质数的意义、最简整数比的意义．
10．已知a、b的最大公因数是12，那么a、b的公因数共有（ ）个．
A．
1
B．
2
C．
4
D．
6
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
a、b的最大公因数是12，那么12有因数就是a、b的公因数，因为12的因数有1，2，3，4，6，12，共6个，所以a、b的公因数共有6个由此解答．
解答：
解：已知a、b的最大公因数是12，那么a、b的公因数为：1，2，3，4，6，12共有6个，故选：D．
点评：
解答此题关键要弄清如果两个数的最大公因数是12，那么12有因数就是这两个数的公因数．
11．16和34的公因数有（ ）个．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
⑤无数
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
根据求两个数的公因数的方法，先分别求出这两个数的因数，再看它们的公因数有那几个；由此解答．
解答：
解：16的因数有：1，2，4，8，16；34的因数有：1，2，17，34；16和24的公因数有1、2共2个．故选：B．
点评：
此题主要考查求两个数的公因数的方法．
12．999，777，555，333，111这五个数的公因数有（ ）个．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
先根据找一个数因数的方法，分别列举出999、777、555、333、111这五个数的所有因数，然后根据公因数的含义：两个数公有的因数，叫做两个数的公因数；找出这五个数的公因数．
解答：
解：999的因数有：1、3、9、27、37、111、333、999；777的因数有：1、3、7、21、37、111、259、777；333的因数有：1、3、9、37、111、333；111的因数有：1、3、37、111，所以999，777，555，333，111的公因数有4个，分别是1，3，37，111，共4个；故选：D．
点评：
明确公因数的含义和找一个数因数的方法，是解答此题的关键．
二．填空题（共14小题）
13．（岚山区模拟）a和b互质，b和c互质，那么a和c一定互质 × ．（判断对错）
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数．可以通过举例进行判断．
解答：
解：例如2和3是互质数，3和4是互质数，但是2是4的因数，2和4不是互质数．所以，a和b互质，b和c互质，那么a和c一定互质．此说法错误．故答案为：×．
点评：
此题考查的目的是理解掌握互质数的概念及意义．
14．（临川区模拟）1是除零以外的所有自然数的公约数． √
（判断对错）
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
根据公约数的含义和求法，可得除零以外的所有自然数的公约数都包括1，所以题中说法正确，据此判断即可．
解答：
解：因为除零以外的所有自然数的公约数都包括1，所以题中说法正确．故答案为：√．
点评：
此题主要考查了公约数的含义和求法的应用，解答此题的关键是要明确：1是除零以外的所有自然数的公约数．
15．（东城区模拟）两个自然数的公有质因数的积一定是这两个数的最大公因数． 正确 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
根据求两个数的最大公因数的方法，可以把这两个数分别分解质因数，它们公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数．
解答：
解：例如：求12和18的最大公因数，首先把这两个数分解质因数，12=2×2×3，18=2×3×3，12和18的最大公因数是：2×3=6．因此，两个自然数的公有质因数的积一定是这两个数的最大公因数．这种说法是正确的．故答案为：正确．
点评：
此题考查的目的是理解公因数和最大公因数的意义，掌握求两个数的最大公因数的方法．
16．（玉泉区）互质的两个数没有公约数． 错误 ．（判断对错）
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数，以此解答问题即可．
解答：
解：因为，公因数只有1的两个数叫做互质数；所以，互质的两个数没有公约数这种说法是错误的．故答案为：错误．
点评：
此题主要考查互质数的意义以及判断两个数是不是互质数的方法．
17．（潞西市模拟）两个非0自然数a，a+1，它们的公因数是1． 正确 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
由两个非0的自然数a，a+1可知，这两个数是相邻的两个自然数，相邻的两个自然数是互质数，互质数的公因数是1，由此即可解答．
解答：
解：由两个非0的自然数a，a+1可知，这两个数是相邻的两个自然数，相邻的两个自然数是互质数，互质数的公因数是1；故答案为：正确．
点评：
解答此题要明确相邻的两个非0自然数是互质数．
18．（安仁县）甲、乙两数公有的质因数有2、3和5，则这两个数公约数的和是 72 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
因为这两个数的公有的质因数是2，3，5，所以这两个数的公约数为：1，2，3，5，6，10，15，30，然后求出它们的和即可．
解答：
解：因为这两个数的公有的质因数是2，3，5，所以两个数的公约数为：1，2，3，5，6，10，15，30，则和为：1+2+3+5+6+10+15+30=72；答：则这两个数公约数的和是72；故答案为：72．
点评：
根据题意列举出这两个数所有的约数是解答此题的关键所在．
19．（綦江县）看图填空．
从图中得出24和36公有的因数有 1、2、3、4、6、12 ，其中最大的一个是 12 ，这个数就是24和36的 最大公约数 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
压轴题；数的整除．
分析：
24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36．据此解答．
解答：
解：根据以上分析知：24和36公有的因数有1、2、3、4、6、12，其中最大的一个是12，这个数就是24和36的最大公约数．故答案为：1、2、3、4、6、12，12，最大公约数．
点评：
本题主要考查了学生对找两个数的公约数和最大公约知识的掌握情况．
20．（临沂）a和b都是自然数，而且a÷b=5，那么a和b的最大公约数是 b ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
这道题属于求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；由此解答问题即可．
解答：
解：由a÷b=5（a和b都是不为0的自然数），可知数a是数b的倍数，所以a和b的最大公约数是b；故答案为：b．
点评：
此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数．
21．（广陵区）A是个素数，它有 2 个因数，如果B是A的倍数，那么A、B的最大公因数是 A ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
（1）根据素数（质数）的意义，如果一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数（质数），由此解答；（2）已知B是A的倍数，根据两个数是倍数关系，较小的数是它们的最大公因数；由此解答．
解答：
解：（1）A是素数，它有2个因数；（2）如果B是A的倍数，那么A、B的最大公因数是：A．故答案为：2，A．
点评：
此题主要考查质数（素数）的意义，以及两个数是倍数关系，求它们的最大公因数的方法．
22．（双流县）24所有的约数有 1，2，3，4，6，，8，12，24 ，用其中4个约数组成一个比例是 1：2=3：6（答案不唯一） ．
考点：
因数、公因数和最大公因数；比例的意义和基本性质．
专题：
综合填空题．
分析：
（1）利用求一个数的约数的方法求出24的约数；（2）根据比的意义；从24的约数中找出比值相等的两组数，把它们组成比例，据此解答．
解答：
解：（1）24的约数是：1，2，3，4，6，，8，12，24；（2）24的约数中，1：2=0.5，3：6=0.5，所以1：2=3：6．故答案为：1，2，3，4，6，，8，12，24；1：2=3：6（答案不唯一）．
点评：
本题主要考查求一个数的约数的方法和根据比值相等组成比例的方法．
23．若甲乙两数只有一个公约数，则甲、乙两数是互质数． 正确 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
根据互质数的意义：公因数只有1的两个数叫做互质数．据此解答．
解答：
解：根据互质数的意义可知：甲乙两数只有一个公约数，则甲、乙两数是互质数．此说法正确．故答案为：正确．
点评：
此题考查的目的是理解互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数．
24．如果两位数ab（a＞0，b＞0）满足：ab与ba有大于1的公因数，那么ab称为“好数”，那么“好数”的个数是 41 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
根据“好数”的特征：ab与ba有大于1的公因数，那么ab称为“好数”，在100以内找出即可．
解答：
解：这样的“好数”有：11、12、15、18、21、22、24、26、27、28、33、36、39、42、44、45、46、48、51、54、55、57、62、63、64、66、68、69、72、75、77、78、81、82、84、86、87、88、93、96、99，一共41个；故答案为：41．
点评：
本题主要理解掌握“好数”的特征，根据特征找出即可．
25．已知A=2×3×3×3×3×5×5×7，在A的两位数的因数中，最大的是 90 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
这个因数是两位数，即小于100．利用求一个数的因数的方法即可解决问题．
解答：
解：A=2×3×3×3×3×5×5×7，7×5×5=125，大于100，不符合题意，7×5×3=105，大于100，不符合题意，5×3×3×2=903×3×3×3=815×5×3=75，7×5×2=70，从上述列举数据中可得：最大的两位数是90，答：在A的两位数的因数中，最大的是90．故答案为：90．
点评：
此题考查了求一个数因数的方法．
26．如果A=2×3×5×17，B=2×3×5×19，那么A和B的公约数一共有 8 个，最大的公约数是 30 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
两个数公有的因数叫做这两个数的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数．1是所有非0自然数的因数，由此解答．
解答：
解：如果A=2×3×5×17，B=2×3×5×19，那么A和B的公约数有：1、2、3、5、6、10、15、30；一共有8个，其中最大公因数是30；故答案为：8个，30．
点评：
此题考查的目的是理解公因数、最大公因数的意义，掌握求两个数的最大公因数的方法．
三．解答题（共2小题）
27．看谁找得快．
（1）15的全部因数有 1、3、5、15 ．
（2）21的全部因数有 1、3、7、21 ．
（3）既是15的因数，又是21的因数有 1、3 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
（1）根据找一个数因数的方法，列举出15的全部因数即可；（2）根据找一个数因数的方法，列举出21的全部因数即可；（3）求既是15的因数，又是21的因数，即求15和21的公因数，找出即可．
解答：
解：（1）15是全部因数：1、3、5、15；（2）21的全部因数：1、3、7、21； （3）15和21的公因数有：1、3；故答案为：1、3、5、15，1、3、7、21，1、3．
点评：
明确找一个数因数的方法，是解答此题的关键．
28．（合水县）6和13是一对互质数． 正确 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
压轴题；数的整除．
分析：
只有公因数1的两个数为互质数．6与13只有公因数1，所以6和13是一对互质数；据此判断．
解答：
解：6与13只有公因数1，所以6和13是一对互质数．故答案为：正确．
点评：
了解互质数的意义是完成本题的关键，要把互质数和质数区别开．
B档（提升精练）
一．选择题（共11小题）
1．（漳州）a、b和c是三个不同的非零自然数，在a=b×c中，下面说法正确的是（ ）
A．
b一定是a的公因数
B．
c一定是a和b的最大公因数
C．
a一定是b和c的最小公倍数
D．
a一定是b和c的公倍数
考点：
因数、公因数和最大公因数；公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
根据公因数和公倍数的意义：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个就是它们的最大公因数；几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个就是它们的最小公倍数；
解答：
解：A、b一定是a的公因数．出说法错误，因为公因数是对两个或两个以上的数而言．B、c一定是a和b的最大公因数．此说法错误．a=b×c，即a是b和c的倍数，b和c是a的因数，c是a和b的公因数，但不一定是它们最大公因数．C、a一定是b和c的最小公倍数．出说法错误，a=b×c，即a是b和c的倍数，b和c是a的因数，a一定是b和c的公倍数，但不一定是它们的最小公倍数．如24=12×2，24是12和2的倍数，但不是最小公倍数．D、a一定是b和c的公倍数．此说法正确，如上面的例子，a=b×c，即a是b和c的倍数，b和c是a的因数．故选：D．
点评：
此题考查的目的是理解掌握公因数、最小公因数、公倍数、最小公倍数的意义．
2．（广州）古希腊认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”．例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数．6=1+2+3，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”．下面的数中是“完全数”的是（ ）
A．
12
B．
28
C．
36
考点：
因数、公因数和最大公因数；整数的加法和减法．
专题：
压轴题．
分析：
根据完全数的定义，可将下列选项中的数字进行计算，即可得出答案．
解答：
解：A、12的因数有：1、2、3、4、6、12，所以1+2+3+4+6=16；B、28的因数有：1、2、4、7、14、28，所以1+2+4+7+14=28；C、36的因数有：1、2、3、4、9、12、18、36，所以1+2+3+4+9+12+18=49；因此只有B项符合题意．答故选：B．
点评：
此题主要考查的是如何计算一个数的因数．
3．（大足县）在2，50，33，19这四个数中，互质数共有（ ）对．
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
互质数是公因数只有1的两个数，据此把3，8，12和25四个数中任意取两个数组成一对互质数，然后数出即可．
解答：
解：把2，50，33，19这四个数中任意取两个数组成的互质数有：2和33，2和19，50和33，50和19，33和19；共计5对；故选：D．
点评：
本题主要考查互质数的意义，注意互质数是公因数只有1的两个数．
4．（宣汉县）互质的两个数的积有（ ）个约数．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
无法确定
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
互质的两个数，有三种情况：两个数都是质数、两个数都是合数、一个质数与一个合数，可以举例进行选择．
解答：
解；2和3互质，2×3=6，6的约数有：1、2、3、6；4和9互质，4×9=36，36的约数有：1、2、3、4、9、12、18、36；3和4互质，3×4=12，12的约数有：1、2、3、4、6、12；所以互质的两个数的积有多少个约数无法确定；故选：D．
点评：
解答此题的关键是弄清互质的两个数有三种情况，用列举法即可解答．
5．（越城区）6是24和36的（ ）
A．
公约数
B．
公倍数
C．
最大公约数
D．
最小公倍数
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
压轴题；数的整除．
分析：
先求出分别求出24和36的因数，再找出公因数，由此解答．
解答：
解：24的约数有：1、2、3、4、6、8、12、24，36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，24和36的公约数有：1、2、3、4、6、12，所以6是24和36的公约数，故选：A．
点评：
此题主要考察约数、公约数、最大公约数的理解运用．
6．下面（ ）组的公因数只有1．
A．
21和14
B．
54和42
C．
17和34
D．
26和27
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
根据互质数的含义：公因数只有1的两个数叫做互质数；据此依次分析、即可得出结论．
解答：
解：A、24和14是互质数，除了1之外还有其它的质因数，不符合题意；B、54和42不是互质数，除了1之外还有其它的质因数，不符合题意；C、17和34不是互质数，除了1之外还有其它的质因数，不符合题意；D、26和27是互质数，只有公因数1，符合题意；故选：D
点评：
解答此题的关键是：判断两个数是不是只有公因数1，只要看这两个数是不是互质数即可．
7．两个数的最大公因数是15，则这两个数的公因数有（ ）个．
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
这两个自然数的公因数就是它们最大公因数的因数；因为15的因数有1、3、5、15；据此解答即可．
解答：
解：因为15的因数有1、3、5、15，共4个；故选：B．
点评：
解答此题应根据找一个数的因数的方法进行解答；应明确：两个自然数的公因数就是它们最大公因数的因数．
8．a、b、c是一个不相等的非零自然数，a÷b=c，下面说法正确的是（ ）
A．
a是b的约数
B．
c是a的倍数
C．
a和b的最大公约数是b
D．
a和b都是质数
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
因为a、b、c是一个不相等的非零自然数，a÷b=c，即a和b成倍数关系，根据“两个非0的自然数成倍数关系，较大的那个数即两个数的最小公倍数，较小的那个数即两个数的最大公因数”进行解答即可．
解答：
解：a、b、c是非零自然数，a÷b=c，即a和b成倍数关系，则a和b的最大公因数是b，a和b的最小公倍数是a；故选：C．
点评：
此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公因数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数，较大的那个数是这两个数的最小公倍数．
9．在9和10；8和10；8和21；6和13；39和26
这五组数中，公因数只有1的有（ ）
A．
2
组
B．
3组
C．
4组
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
相邻的两个非0自然数的公因数只有1，如：9和10；如果两个数中有一个数是质数，另一个数又不是这个质数的倍数，那么这两个数的公因数只有1，如：6和13；8和10，都是2的倍数，所以8和10的最大公因数是2；8和21，公因数只有1；39和26，39、26是13
的倍数，所以26和39
的最大公因数是13．
解答：
解：9和10的最大公因数只有1；8和10的最大公因数是2；8和21的最大公因数只有1；6和13的最大公因数只有1；39和13的最大公因数是13．答：公因数只有1的是：9和10；8和21；6和13．故选：B．
点评：
此题考查的目的是使学生理解公因数、最大公因数的意义，掌握求两个数的最大公因数的方法，如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数只有1．
10．两个不同的非0自然数最少有（ ）个公因数．
A．
.0
B．
.1
C．
2
D．
很多
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
根据因数与倍数的关系，1是任何非0自然数的因数，任何非0自然数都是1的倍数；几个数公有的因数叫做这几个数的公因数．由此解答．
解答：
解：因为1是任何非0自然数的因数，任何非0自然数都是1的倍数；所以任何两个不是0的自然数都有一个公因数是1．故选：B．
点评：
此题是根据因数与倍数的关系和公因数的意义解决问题．
11．7是28和42的（ ）
A．
公倍数
B．
最大公因数
C．
公因数
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
把28和42的约数分别写出来，进一步发现它们的公约数与最大公约数，由此解决问题即可．
解答：
解：28的约数有：1，2，4，7，14，28；42的约数有：1，2，3，6，7，14，21，42；由此可以看出7是28和42的公因数．故选：C．
点评：
此题主要考查求一个数约数的方法以及如何找出两个数的公约数与最大公约数．
二．填空题（共17小题）
12．1、3、5都是45的公因数． 错误 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
根据公因数的含义：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；可知：45能1、3、5整除，所以1、3、5都是45的因数；据此判断即可．
解答：
解：由分析知：1、3、5都是45的公因数，说法错误，因为45是一个数，不存在有公因数之说，只能说1、3、5都是45的因数；故答案为：错误．
点评：
解答此题应明确公因数和因数的含义和区别．
13．已知A=2×3×3×3×3×5×5×7，在A的两位数的因数中，最大的是 90 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
这个因数是两位数，即小于100．利用求一个数的因数的方法即可解决问题．
解答：
解：A=2×3×3×3×3×5×5×7，7×5×5=125，大于100，不符合题意，7×5×3=105，大于100，不符合题意，5×3×3×2=903×3×3×3=815×5×3=75，7×5×2=70，从上述列举数据中可得：最大的两位数是90，答：在A的两位数的因数中，最大的是90．故答案为：90．
点评：
此题考查了求一个数因数的方法．
14．a和b是互质数，所以它们没有公约数． 错误 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数，据此判断即可．
解答：
解：因为公因数只有1的两个数叫做互质数；所以a、b是互质数，这两个数没有公约数，说法错误．故答案为：错误．
点评：
此题主要考查互质数的意义，应注意基础知识的灵活运用．
15．32和24的公因数有 1、2、4、8 ，50以内12和8的公倍数有 24、48 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数；公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
求两个数的公因数要先分别求出这两个数的因数；求两个数的公倍数要先分别求出这两个数的倍数，以此解答此题．
解答：
解：①32的因数有：1、2、4、8、16、32；24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，所以32和24的公因数有：1、2、4、8．②50以内12的倍数有：12、24、36、48；50以内8的倍数有：8、16、24、32、40、48；所以50以内12和8的公倍数有：24、48．故答案为：1、2、4、8，24、48．
点评：
此题主要考查求两个数的公约数和公倍数的方法：求两个数的公因数要先分别求出这两个数的因数，然后找出它们公有的；求两个数公倍数要先分别求出这两个数符合条件的倍数，再找出它们公有的即可．
16．24和60的公因数有 1，2，3，4，6，12． ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
一个数的最小因数是1，最大因数是它本身．分别求出24和60的因数，根据公因数的意义，几个数公有的因数叫做这几个数的公因数．再找出它们的公因数．
解答：
解：24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60；24和60的公因数有：1，2，3，4，6，12．故答案为：1，2，3，4，6，12．
点评：
此题主要考查公因数的意义，和求两个数的公因数的方法，可以通过枚举法来解决问题．
17．如果A=2×3×5×17，B=2×3×5×19，那么A和B的公约数一共有 8 个，最大的公约数是 30 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
两个数公有的因数叫做这两个数的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数．1是所有非0自然数的因数，由此解答．
解答：
解：如果A=2×3×5×17，B=2×3×5×19，那么A和B的公约数有：1、2、3、5、6、10、15、30；一共有8个，其中最大公因数是30；故答案为：8个，30．
点评：
此题考查的目的是理解公因数、最大公因数的意义，掌握求两个数的最大公因数的方法．
18．所有自然数的公约数是 1 ，所有偶数的公约数是 2 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
一个数的因数的个数是有限，最小的因数是1，最大的因数是它本身；所以所有自然数的公约数是1．再根据偶数的意义，在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数．所有偶数的公约是2．据此解答．
解答：
解：因为1是所以自然数的因数，所以所有自然数的公约数是1；因为是2的倍数的数叫做偶数．所以所有偶数的公约是2．故答案为：1，2．
点评：
此题考查的目的是理解掌握因数、公因数的意义．
19．如果两位数ab（a＞0，b＞0）满足：ab与ba有大于1的公因数，那么ab称为“好数”，那么“好数”的个数是 41 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
根据“好数”的特征：ab与ba有大于1的公因数，那么ab称为“好数”，在100以内找出即可．
解答：
解：这样的“好数”有：11、12、15、18、21、22、24、26、27、28、33、36、39、42、44、45、46、48、51、54、55、57、62、63、64、66、68、69、72、75、77、78、81、82、84、86、87、88、93、96、99，一共41个；故答案为：41．
点评：
本题主要理解掌握“好数”的特征，根据特征找出即可．
20．（邳州市）42的约数有 1、2、3、6、7、14、21、42 ，从中选择四个数组成一个比例 1：2=3：6 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数；比例的意义和基本性质．
分析：
根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，可利用42的约数列出比例．
解答：
解：42的约数有1、2、3、6、7、14、21、42．从中选择四个数组成一个比例，有以下几种比例可任意选择：①1：2=3：6②7：14=21：42③1：3=7：21④1：7=3：21⑤1：21=2：42答故填：1、2、3、、7、14、21、42；1：2=3：6．
点评：
此题主要考查的是求一个数的约数和比的基本性质．
21．两个数的公因数的个数是无限的． 错误 ．（判断对错）
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
两个数的公因数是这两个数公有的因数，因为一个数的因数是有限的，其中最小的是1，最大是它本身，那么两个数的公因数的个数也是有限的，据此分析判断．
解答：
解：因为一个数的因数是有限的，其中最小的是1，最大是它本身，那么两个数的公因数的个数是有限的，所以两个数的公因数的个数是无限的说法是错误的；故答案为：错误．
点评：
本题考查公因数的意义，注意一个数的因数是有限的，则两个数的公因数的个数也是有限的．
22．两个数的最大公因数一定比这两个数小． 错误 ．（判断对错）
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
根据公因数的意义，两个（或3个）数公有的因数，叫做这两个（或3个）数的公因数．其中最大的一个就是它们的最大公因数．如果两个数是倍数关系，较小数是它们的最大公因数．由此解答．
解答：
解：根据分析，如果两个数是倍数关系，较小数是它们的最大公因数．因此，两个数的最大公因数一定比这两个数小．这种说法是错误的．故答案为：错误．
点评：
此题主要考查公因数和最大公因数的意义，以及求两个数的最大公因数的方法，关键是考虑两种特殊情况：两个是倍数关系和两个数是互质数，它们的最大公因数的求法．
23．合数b的最大约数是 b ，最小约数是 1 ，它至少有 3 个约数．
考点：
因数、公因数和最大公因数；合数与质数．
分析：
除了1和它本身两个约数外，还有其它约数的数，叫合数，由此即可解决问题．
解答：
解：一个数最小的约数是1，最大的约数是它本身，所以b最大的约数是b，最小的约数是1，又因为b是合数，所以它至少有3个约数；故答案为：b，1，3．
点评：
此题考查了合数的定义和求一个数的约数的方法．
24．两个数的公因数一定是这两个数的因数． 正确 ．（判断对错）
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
根据公因数的意义，几个数公有的因数叫做这几个数的公因数．由此解答．
解答：
解：根据公因数的意义，两个数的公因数一定是这两个数的因数．此说法是正确的．故答案为：正确．
点评：
此题考查的目的是理解公因数的意义，掌握求几个数的公因数的方法．
25．18的全部因数有： 1、2、3、6、9、18 ，21的全部因数有： 1、3、7、21 ．既是18的因数，又是21的因数的有 1、3 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
根据找一个因数的方法的方法，进行列举解答即可．
解答：
解：18的全部因数有：1、2、3、6、9、18；21的全部因数有：1、3、7、21；既是18的因数，又是21的因数的有：1、3；故答案为：1、2、3、6、9、18，1、3、7、21，1、3．
点评：
此题考查的是找一个数的因数的方法，应按规律找，不要遗漏．
26．17和19这两个数的公因数只有1． √ ．（正确判断）
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
两个数公有的因数叫做这两个数的公因数，根据求两个数的公因数的方法解答．
解答：
解：17的因数有1和17；19的因数有1和19；所以17和19的公因数只有1．故答案为：√．
点评：
此题考查的目的是理解公因数的意义，掌握求两个数的公因数的方法．
27．15的因数有： 1 、 3 、 5 、 15 ；9的因数有： 1 、 3 、 9 ；
15和9的公因数有 1、3 ；15和9的最大公因数是 3 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
一个数的因数的个数的有限的，最小的因数是1，最大的因数是这个数的本身．两个数公有的因数叫做这两个数的公因数，其中最大的一个就是这两个数的最大公因数．由此解答．
解答：
解：15的因数有：1、3、5、15；9的因数有：1、3、9；15和9的公因数有：1、3；15和9的最大公因数是3；故答案为：1、3、5、15；1、3、9；1、3；3．
点评：
此题考查的目的是理解因数、公因数、最大公因数的意义，掌握求两个数的最大公因数的方法．
28．18和30公有的素因数是 2，3 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
可以将18与30进行分解质因数，然后就可以确定18与30的公有的质因数（素因数）．
解答：
解：18=2×3×3，30=2×3×5，所以在18和30里面公有的素因数是：2，3．故答案为：2、3．
点评：
此题主要考查的是找寻两个数的公有的素因数的方法．
三．解答题（共1小题）
29．把一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸裁成成同样大小、面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，至少可以裁多少个？（画出示意图）
考点：
因数、公因数和最大公因数；图形的拆拼（切拼）．
分析：
把一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸裁成成同样大小、面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，需要找出30和24的最大公约数，这个数就是尽可能大的正方形的边长．
解答：
解：30和24的最大公约数是6，所以尽可能大的正方形的边长是6厘米，30÷6=5，24÷6=4，所以至少可以裁正方形的个数为：5×4=20（个）．答：至少可以裁20个．
点评：
此题考查了图形的拆拼．正方形的边长最大是长方形长和宽的最大公约数是解决此题的关键．
C档（跨越导练）
一．选择题（共5小题）
1．1998、1332、666这三个数的公约数中是质数的有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
考点：
因数、公因数和最大公因数；合数与质数．
分析：
由于1998和1332都是666的倍数，只要把666分解质因数，就可以确定这三个数的公因数中是质数的有几个．
解答：
解：把666分解质因数：666=2×3×3×37；答：1998、1332、666这三个数的公约数中是质数的有2，3，37共三个．故选：C．
点评：
此题主要根据求几个数的最大公因数和分解质因数的方法解决问题．
2．下面哪一句话是正确的？（ ）
A．
12和45有公因数2
B．
12和45有公因数3
C．
12和45有公因数5
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
分别把12和45分解质因数，即可找出12和45的公因数，即可分析选择．
解答：
解：12=2×2×3，45=3×3×5，12和45有公因数3；故选：B．
点评：
此题主要用分解质因数的方法解决问题．
3．下列（ ）组既有公因数2，又有公因数3．
A．
24和42
B．
10和35
C．
30和40
D．
6和27
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
把每组的两个数的公因数都找出来，看哪组的两个数的公因数既有因数2，又有因数3即可．
解答：
解：A、24=2×2×2×3，42=2×3×7所以24和42的公因数有：1，2，3，6；B、10=2×5，35=5×7所以10和35的公因数有：1，5；C、30=2×3×5，40=2×2×2×5所以30和40的公因数有：1，2，5；D、6=2×3，27=3×3×3，所以6和27的公因数有：1，3．所以符合条件的只有24和42，故选：A．
点评：
本题主要考查求两个数的公因数的方法，做到不重不漏．
4．在9和10；8和10；8和21；6和13；39和26
这五组数中，公因数只有1的有（ ）
A．
2
组
B．
3组
C．
4组
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
相邻的两个非0自然数的公因数只有1，如：9和10；如果两个数中有一个数是质数，另一个数又不是这个质数的倍数，那么这两个数的公因数只有1，如：6和13；8和10，都是2的倍数，所以8和10的最大公因数是2；8和21，公因数只有1；39和26，39、26是13
的倍数，所以26和39
的最大公因数是13．
解答：
解：9和10的最大公因数只有1；8和10的最大公因数是2；8和21的最大公因数只有1；6和13的最大公因数只有1；39和13的最大公因数是13．答：公因数只有1的是：9和10；8和21；6和13．故选：B．
点评：
此题考查的目的是使学生理解公因数、最大公因数的意义，掌握求两个数的最大公因数的方法，如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数只有1．
5．42和35的公因数有（ ）个．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
无数个
考点：
因数、公因数和最大公因数；找一个数的因数的方法．
分析：
求一个数的约数（也叫因数）的方法：用这个数分别除以自然数1，2，3，4，5，6…，一直除到商和除数互换位置结束，把能整除的商和除数按从小到大顺序写出来，就是这个数的约数（因数），重复的只写一个，据此求出42和35的因数，然后数出即可．
解答：
解：42的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42；35的因数有：1，5，7，35；所以42和35的公因数有：1，7；共有2个．故选：B．
点评：
本题主要考两个数的公因数，注意掌握求两个数的公因数的方法．
二．填空题（共16小题）
6．（东城区模拟）两个自然数的公有质因数的积一定是这两个数的最大公因数． 正确 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
根据求两个数的最大公因数的方法，可以把这两个数分别分解质因数，它们公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数．
解答：
解：例如：求12和18的最大公因数，首先把这两个数分解质因数，12=2×2×3，18=2×3×3，12和18的最大公因数是：2×3=6．因此，两个自然数的公有质因数的积一定是这两个数的最大公因数．这种说法是正确的．故答案为：正确．
点评：
此题考查的目的是理解公因数和最大公因数的意义，掌握求两个数的最大公因数的方法．
7．（沛县模拟）两个数的最大约数一定小于其中的任何一个数． × ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
倍数关系的最大公约数是较小数，也就是两个数的最大约数等于其中的一个数，可以举例证明，据此判断．
解答：
解：4和8是倍数关系，4和8的最大公约数是4，等于其中的一个数，所以两个数的最大约数一定小于其中的任何一个数的说法是错误的；故答案为：×．
点评：
本题主要考查最大公约数的意义，注意倍数关系的最大公约数是较小数，等于其中的一个数．
8．任何两个不是0的自然数都有一个公因数是 1 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
根据因数与倍数的关系，1是任何非0自然数的因数，任何非0自然数都是1的倍数；几个数公有的因数叫做这几个数的公因数．由此解答．
解答：
解：因为1是任何非0自然数的因数，任何非0自然数都是1的倍数；所以任何两个不是0的自然数都有一个公因数是1．故答案为：1．
点评：
此题是根据因数与倍数的关系和公因数的意义解决问题．
9．现有两个不同的自然数A和B，假如A是B的倍数，那么A和B的最大公因数是 B ，它们的最小公倍数是 A ．
考点：
因数、公因数和最大公因数；求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
A是B的倍数，根据“当两个数成倍数关系时，较大的那个数是这两个数的最小公倍数，较小的那个数是这两个数的最大公因数；由此解答．
解答：
解：如果A是B的倍数，那么A和B的最大公因数是B，它们的最小公倍数是A．故答案为：B，A．
点评：
此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公因数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数，较大的那个数是这两个数的最小公倍数．
10．数a是非零自然数，则a的最小因数是 1 ，最大的因数是 a ，最小的倍数是 a ， 没有 最大倍数．8和14的最大公因数是 2 ，最小公倍数是 56 ．既是24的因数，又是6的倍数的数有 6、12、24． ．
考点：
因数、公因数和最大公因数；公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数；再根据求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法解答即可．
解答：
解：数a是非零自然数，则a的最小因数是1，最大的因数是a，最小的倍数是a，没有最大倍数；8=2×2×2，14=2×7，8和14的最大公因数是2，最小公倍数是2×2×2×7=56，因为24是6的倍数，所以既是24的因数，又是6的倍数的数有6、12、24．故答案为：1，a，a，没有，2，56，6、12、24．
点评：
此题考查的目的是理解掌握因数与倍数的意义，以及求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法．
11．（岑巩县）合数a的最大约数是 a ，最小约数是 1 ，它至少有 3 个约数．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
除了1和它本身两个约数外，还有其它约数的数，叫合数，由此即可解决问题．
解答：
解：一个数最小的约数是1，最大的约数是它本身，所以a最大的约数是a，最小的约数是1，又因为a是合数，所以它至少有3个约数；故答案为：a，1，3．
点评：
此题应紧扣合数的定义和求一个数的约数的方法．
12．（中山市）有4个自然数，它们的和是1111，如果要求这四个数的公约数尽可能大，那么这四个数的公约数最大可能是 101 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
由题中4个自然数，他们的和是1111，如果要求这4个数的公约数尽可能大，那么4个自然数的公约数也一定是1111的约数，这样，讨论4个数的最大公约数的问题可以转化为讨论1111的约数问题．在此基础上来确定这4个数，使他们的和为1111且最大公约数为最大．
解答：
解：因为1111=101×11，其约数有1，11，101，1111．显然1111不符合要求，再考虑约数101，由于1111=101×11=101×（1+2+3+5）=101+101×2+101×3+101×5．如果取101，101×2，101×3，101×5这4个数，就满足题目的要求其和为1111且他们的最大公约数为101．（由于11=1+2+3+5=1+1+3+6=…，所以满足条件的4个数并不唯一）．故答案为：101．
点评：
此题主要考查约数定理的灵活应用，关键是明确要使这4个数的公约数尽可能大，那么4个自然数的公约数也一定是1111的约数．
13．（临沂）a和b都是自然数，而且a÷b=5，那么a和b的最大公约数是 b ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
这道题属于求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；由此解答问题即可．
解答：
解：由a÷b=5（a和b都是不为0的自然数），可知数a是数b的倍数，所以a和b的最大公约数是b；故答案为：b．
点评：
此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数．
14．12345678987654321除本身之外的最大约数是 4115226329218107 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
分析：
因为除了这个数本身，所以最小约数1不考虑了；这是奇数，不能被2整除；一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除．那么这个数各位上的数全部相加等于81，这个数能被3整除，所以3是这个数除了1以外的最小约数，那么除了这个数本身的最大约数就是这个数除以3的商．
解答：
解：因为这是奇数，不能被2整除；一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除．这个数各位上的数全部相加等于81，这个数能被3整除，所以3是这个数除了1以外的最小约数，那么除了这个数本身的最大约数就是这个数除以3的商．即这个数是：=4115226329218107．故答案为：4115226329218107．
点评：
此题主要考查了数的整除性以及最大公约数的有关知识，运用一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，是解决问题的关键．
15．11与5都是55的约数，又因为11、5都是质数，所以11、5都是质因数． 错误 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数；合数与质数．
专题：
数的整除．
分析：
把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数，这几个质数是这个合数的质因数；由此判断．
解答：
解：55=5×11，因为11、5都是质数，所以11、5都是55的质因数；本题所以11、5都是质因数，说法不严谨；故答案为：错误．
点评：
此题需要考查质因数的意义和分解质因数的方法．
16．相邻的两个正整数一定 互质数 ；全体自然数的公因数为 1 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
自然数中，有公因数1的两个数为互质数，所以相邻的两个正整数一定互质数，全体自然数的公因数为1．
解答：
解：相邻的两个正整数一定互质数；全体自然数的公因数为1；故答案为：互质数，1．
点评：
此题考查了互质数和公因数的含义．
17．两个数的公因数实际也是最大公因数的 因数 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
根据公因数的含义：两个数公有的因数，叫做两个数的公因数，其中最大的因数，叫做两个数的最大公因数；据此举例解答即可．
解答：
解：12和18的公因数有1、2、3、6，最大公因数是6，1、2、3、6是最大公因数的因数；故答案为：因数．
点评：
明确公因数和最大公因数的含义，是解答此题的关键．
18．因为84=3×4×7，所以3，4和7都是84的约数． √ ．（判断对错）
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行分析解答即可．
解答：
解：因为84=3×4×7，所以3，4和7都是84的约数；故答案为：√．
点评：
根据因数和倍数的意义进行解答即可；注意倍数和因数不能单独存在．
19．18的因数中，既是偶数又是质数的数是 2 ，既是奇数又是合数的数是 9 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数；合数与质数．
专题：
整数的认识；数的整除．
分析：
18的因数有1、2、3、6、9、18，根据奇数和合数的定义得到既是奇数，又是合数的数是9，根据偶数和质数的定义得到既是偶数又是质数的数是2．
解答：
解：18的因数有1、2、3、6、9、18，2既是偶数又是质数，9既是奇数，又是合数；故答案为：2；9．
点评：
此题考查了合数与质数及奇数与偶数的初步认识，注意基础知识的积累．
20．一个数既是9的倍数，又是9的因数，这个数是 9 ，它的全部因数有 1、3、9 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
根据一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身；由此可知：这个数是9，然后根据找一个数因数的方法列举出9的全部因数即可．
解答：
解：一个数既是9的倍数，又是9的因数，这个数是9，它的全部因数有：1、3、9；故答案为：9，1、3、9．
点评：
解答此题应明确：一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身．
21．在20的所有约数中，最大的一个是 20 ，在12的所有倍数中，最小的一个是 12 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数；公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
利用一个数的约数最大是它本身，一个数的倍数最小是它的本身，由此解决问题即可．
解答：
解：在20的所有约数中，最大的一个是20，在12的所有倍数中，最小的一个是12；故答案为：20，12．
点评：
此题主要考查约数与倍数的意义，注意：一个数的倍数最小是它的本身，一个数的约数最大是它本身．
三．解答题（共7小题）
22．
所有因数
公因数
最大公因数
12
18
30
45
36
48
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身．两个数公有的因数叫做这两个数的公因数，其中最大的一个就是这两个数的最大公因数．据此填空．
解答：
解：所有因数公因数最大公因数121、2、3、4、6、121、2、3、66181、2、3、6、9、18301、2、3、5、6、10、15、301、3、5、1515451、3、5、9、15、45361、2、3、4、6、9、12、18、361、2、3、4、6、1212481、2、3、4、6、8、12、16、24、48
点评：
此题考查的目的是掌握求一个数的因数的方法、掌握求两个数的公因数、最大公因数的方法．
23．在24的因数上画△，在30的因数上画○．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
同时是24和30的因数的是： 1、2、3、6 ，这些数称为24和30的公因数，其中最大的公因数是： 6 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的认识．
分析：
根据找一个数因数的方法，分别找出24和30的因数；两个数公有的因数叫做这两个数的公因数，其中最大的一个就是这两个数的最大公因数；据此解答．
解答：
解：△1○○△2○△3△4○5○△6
7△8
9
10
11△12
13
14○15
16
17
18
19
20
21
22
23△24
25
26
27
28
29○30同时是24和30的因数的是：1、2、3、6，这些数称为24和30的公因数，其中最大的公因数是：6；故答案为：1、2、3、6，6．
点评：
此题考查的目的是理解因数、公因数的意义，掌握求一个数的因数以及求两个数的最大公因数的方法．
24．先在空格里打“√”，再填空．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10的因数
12的因数
15的因数
10和12的公因数有 1、2 ，最大公因数是 2 ．
10和15的公因数有 1、3、5 ，最大公因数是 5 ．
12和15的公因数有 1、3 ，最大公因数是 3 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
先根据题意，找出10、12和15的因数，然后分别找出10、12，10、15，12、15的公因数和最大公因数即可．
解：先在空格里打“√”，再填空
12345678910111213141510的因数√√√√12的因数√√√√√√15的因数√√√√10和12的公因数有1、2，最大公因数是2；10和15的公因数有1、3、5，最大公因数是5；12和15的公因数有1、3，最大公因数是3；故答案为：1、2，2，1、3、5，5，1、3，3．
点评：
明确求一个数的因数的方法，应注意应成对成对的找，避免遗漏．
25．（合水县）6和13是一对互质数． 正确 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
压轴题；数的整除．
分析：
只有公因数1的两个数为互质数．6与13只有公因数1，所以6和13是一对互质数；据此判断．
解答：
解：6与13只有公因数1，所以6和13是一对互质数．故答案为：正确．
点评：
了解互质数的意义是完成本题的关键，要把互质数和质数区别开．
26．找出下面各组数的公因数．
4和9，
16和9，
32和15，
7和8．
我发现：这几组数的公因数都 只有1 ．
像上面这样的几组数称为互质数．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
两个数公有的因数叫做这两个数的公因数．如果两个数是互质数，那么这两个数的公因数是1．据此解答．
解答：
解：4和9的公因数是1；16和9的公因数是1；32和15的公因数是1；7和8的公因数是1；我发现：这几组数的公因数都只有1．像上面这样的几组数称为互质数．故答案为：只有1．
点评：
此题考查的目的是理解公因数、互质数的意义，掌握求两个数的公因数的方法．
27．按要求完成下图：
所以72和90的最大公因数是 18 ．
考点：
因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
求两个数的最大公因数，首先把这两个数分解质因数，公有质因数的乘积是它们的最大公因数，据此解答．
解答：
解：72=2×2×2×3×3；90=2×3×3×5；72和90的最大公因数是：2×3×3=18；故答案为：18．
点评：
此题考查的目的是理解公因数、最大公因数的意义，掌握求两个数的最大公因数的方法．
28．（平阳县）一个最简分数的分子和分母没有公因数． 错误 ．（判断对错）
考点：
因数、公因数和最大公因数；最简分数．
分析：
根据最简分数的意义，分数的分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数．据此解答．
解答：
解：根据最简分数的意义，分数的分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数．因此，一个最简分数的分子和分母没有公因数，这种说法是错误的．故答案为：错误．
点评：
此题只有考查最简分数的意义，最简分数的分子和分母只有公因数1；而不是没有公因数．
成长足迹
课后检测
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负责人签字：
教学主管签字：
主管签字时间：
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细心
责任心
