求几个数的最大公因数的方法
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例1．数A、3×3×5，数B=2×2×3×5，数C=2×3×3×5，A、B、C三个数的最大公约数是 15 ，最小公倍数是 180 ．
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
压轴题；数的整除．
分析：
求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积；对于三个数：三个数公有质因数的乘积是最大公约数，三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可．
解答：
解：数A=3×3×5，数B=2×2×3×5，数C=2×3×3×5，所以A、B、C三个数的最大公约数是：3×5=15，最小公倍数是：3×5×2×3×2=180；故答案为：15，180．
点评：
此题主要考查求三个数的最大公约数与最小公倍数的方法：三个数的公有质因数连乘积是最大公约数，三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数．
例2．张集小学学前班买来一筐橙子，分给5个人最后余2个，分给7人最后余2个，分给9人也余2个，学前班最少买来多少个橙子？
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
约数倍数应用题．
分析：
根据分给5个人余2个，分给7人余2个，分给9人也余2个，可知这筐橙子的总个数减去2就是5、7和9的公倍数，要求至少也就是用5、7和9的最小公倍数加上2即可．
解答：
解：因为5、7和9三个数两两互质，所以它们的最小公倍数是它们的乘积，即5×7×9=315，所以这筐橙子至少有：315+2=317（个）；答：学前班最少买来317个橙子．
点评：
解答本题关键是理解：这筐橙子的总个数减去2就是5、7和9的公倍数，求至少有的个数，就用它们的最小公倍数加上2即可．
例3．一次数学竞赛，结果学生中获得一等奖，获得二等奖，获得三等奖，其余获纪念奖．已知参加这次竞赛的学生不满50人，问获纪念奖的有多少人？
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
分析：
即求在50以内的7、3和2的公倍数，先求出这三个数的最小公倍数，因为这三个数两两互质，这三个数的最小公倍数即这三个数的乘积，然后根据题意，进行选择，判断出参加这次竞赛的学生的人数；然后把参加这次竞赛的学生的人数看作单位“1”，获纪念奖的人数占参加竞赛人数的（1﹣﹣﹣），继而根据一个数乘分数的意义，用乘法解答即可．
解答：
解：2、3和7的最小公倍数是2×3×7=42，因为在50以内的7、3和2的公倍数只有1个42，所以参加这次竞赛的学生有42个，纪念奖有：42×（1﹣﹣﹣），=42×，=1（人）；答：获纪念奖的有1人．
点评：
此题考查了求几个数的最小公倍数的方法，当三个数两两互质时，其最小公倍数就是这三个数的乘积．
例4．求下列每组数的最大公因数和最小公倍数．
9和11
28和7
10和25
最大公因数： 1 最大公因数： 7 最大公因数： 5
最小公倍数： 99 最小公倍数： 28 最小公倍数： 50 ．
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
根据求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解．
解答：
解：①因为9和11是互质数最大公因数是：1最小公倍数是：11×9=99②28是7的倍数最大公因数是：7最小公倍数是：28③10=2×5，25=5×5最大公因数是：5最小公倍数是：5×5×2=50故答案为：1，99；7，28；5，50．
点评：
考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
例5．求出下面每组数的最小公倍数，再另外写出它们的两个公倍数．
（1）14和35的最小公倍数是： 70 ，公倍数有： 140，210
（2）15和60最小公倍数是： 60 ，公倍数有： 120，180 ．
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数．据此解答．
解答：
解：（1）14=2×735=5×714和35的最小公倍数是：2×5×7=70，公倍数有：140，210．（2）60÷15=4，它们是倍数关系，最小公倍数是60，公倍数有：120，180．故答案为：70，140，210；60，120，180．
点评：
此题考查的目的是理解公倍数、最小公倍数的意义，掌握求两个数的公倍数、最小公倍数的方法．
演练方阵
A档（巩固专练）
一．选择题（共12小题）
1．（成都）两个数的最大公约数是15，最小公倍数是180，已知其中一个数是60，另一个数是（ ）
A．
3
B．
4
C．
45
D．
900
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
另一个数是最小公倍数×最大公约数÷已知其中一个数，即可得解．
解答：
解：15×180÷60=45答：两个数的最大公约数是15，最小公倍数是180，已知其中一个数是60，另一个数是45．故选：C．
点评：
最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，此题主要考查了已知两个数的最大公约数和最小公倍数求这两个数的方法．
2．（盂县）a÷b=5（a和b都是不为0的自然数），a和b的最大公约数是
（ ）
A．
a
B．
b
C．
5
考点：
求几个数的最大公因数的方法．
专题：
压轴题．
分析：
这道题属于求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；由此解答问题即可．
解答：
解：由a÷b=5（a和b都是不为0的自然数），可知数a是数b的倍数，所以a和b的最大公约数是b；故选B．
点评：
此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数．
3．（同心县模拟）a÷b=5（a和b都是不为0的自然数），a和b的最大公因数是（ ）
A．
a
B．
b
C．
5
考点：
求几个数的最大公因数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
因为a和b都是不为0的自然数，且a÷b=5，则a和b成倍数关系，当两个数成倍数关系时，较大的那个数是这两个数的最小公倍数，较小的那个数是这两个数的最大公因数；据此判断即可．
解答：
解：因为a和b都是不为0的自然数，且a÷b=5，则a和b成倍数关系，所以a和b的最大公因数是b；故选：B．
点评：
此题主要考查了求两个数的最大公因数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数，较大的那个数是这两个数的最小公倍数．
4．（泉州）假如A=B+1（A、B是大于2的自然数），那么A、B的最小公倍数是它们最大公因数的（ ）倍．
A．
A
B．
B
C．
AB
D．
无法确定
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
因为A=B+1（A、B是大于2的自然数），则判断出A、B是相邻的自然数，相邻的自然数是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，故此判断．
解答：
解：由题意得：A、B是互质数，所以它们的最大公因数是1，最小公倍数是AB，AB÷1=AB倍；故选：C．
点评：
本题考查两个数为互质数时的最大公因数和最小公倍数的问题．
5．（广州模拟）a与b是互质数，它们的最小公倍数是最大公约数的m倍，则m是（ ）
A．
ab
B．
a
C．
b
D．
1
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
分析：
根据题意，可知互质的两个数的最大公约数的1，最小公倍数是它们的乘积，用最小公倍数除以最大公约数即用它们的乘积除以1就等于它们的乘积，所以m等于ab．
解答：
解：a与b互质，那么a与b的最大公约数是1，最小公倍数的ab，最小公倍数÷最大公约数=ab÷1=ab，所以m=ab．故选：A．
点评：
此题主要考查的是互质的两个数的最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积．
6．（恩施州）18和24最小公倍数与最大公因数的差是（ ）
A．
54
B．
66
C．
68
D．
82
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
利用求几个数的最大公因数的和最小公倍数的方法是：这几个数的公有的质因数的乘积就是这几个数的最大公因数；这几个数的公有的因数和它们独有的质因数的连乘积就是它们的最小公倍数；再用最小公倍数减最大公因数即可．
解答：
解：18=2×3×3，24=2×2×2×3，所以最小公倍数是：：2×2×2×3×3=72，18和24的最大公约数是2×3=6；72﹣6=66；故选：B．
点评：
此题主要考查了求最大公约数和最小公倍数的方法．
7．（陕西模拟）李伟家客厅长6米，宽4.8米，计划在地面上铺方砖，请你帮忙选择其中一种方砖，使地面都是整块方砖．你的选择是（ ）
A．
边长是50厘米
B．
边长60厘米
C．
边长100厘米
考点：
求几个数的最大公因数的方法．
专题：
约数倍数应用题．
分析：
据题意可知，要想得到整数块砖，应在所给数据中找出地板长和宽的公因数，就能得到正确答案．
解答：
解：6米=600厘米，4.8米=480厘米，600=2×2×2×3×5×5；480=2×2×2×2×2×3×5；故选项中只有60是600、480的因数，所以应选边长为60厘米的方砖．故选：B．
点评：
此题主要考查几个数的公因数，再依据题目中的条件，即可求得正确结果；注意要将6米，4.8米进行适当的单位换算．
8．（定州市模拟）A=2×2×5．B=2×3×5．它们的最大公因数是（ ）
A．
2
B．
10
C．
60
考点：
求几个数的最大公因数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
根据最大公约数的意义可知：最大公约数是两个数的公有的质因数的乘积，据此解答后再进行选择．
解答：
解：A=2×2×5．B=2×3×5，因为A和B公有的质因数是：2和5，所以A和B的最大公因数是：2×5=10；故选：B．
点评：
本题主要考查求两个数的最大公因数的方法，注意找准公有的质因数，进而把公有的质因数相乘即可．
9．（新田县模拟）16和48的最大公因数是（ ）
A．
4
B．
6
C．
16
考点：
求几个数的最大公因数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
求两数的最大公约数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最大公约数是1；两个数为倍数关系，则最大公约数为较小的数；两个数有公约数的，最大公约数是两个数公有质因数的连乘积；此题16和48是倍数关系，所以16和48的最大公因数是较小的数16．
解答：
解：16和48是倍数关系，所以16和48的最大公因数是较小的数16．故选：C．
点评：
解答此题的关键是会根据两个数的分解质因数情况求最大公因数，也可以根据两个数的关系，直接确定它们的最大公因数．
10．（华亭县模拟）最大公约数是1的两个数是（ ）
A．
质数
B．
互质数
C．
质因数
D．
素数
考点：
求几个数的最大公因数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数，所以最大公约数是1的两个数是互质数，由此得出判断．
解答：
解：公因数只有1的两个数叫做互质数，所以最大公约数是1的两个数是互质数，故选：B．
点评：
此题考查的目的是理解和掌握互质数的概念，据此解决有关的问题．
11．（六合区模拟）对8和10两个数进行下面的说明，错误的是（ ）
A．
两个数的最大公因数是2
B．
两个数的公倍数只有40
C．
8和10都是合数
考点：
求几个数的最大公因数的方法；公倍数和最小公倍数；合数与质数．
专题：
数的整除．
分析：
A、利用求最大公因数的方法求出8和10的最大公因数；B，因为8和10的公倍数有无数个，所以此题的说法是错误的；C、根据合数的意义：一个数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；所以8和10都是合数．
解答：
解：A、8=2×2×2，10=2×5，所以8和10的最大公因数是2，B、因为8和10的公倍数有无数个，所以此题的说法是错误的；C、8和10都是合数；故选：B．
点评：
本题主要考查了最大公因数的求法及公倍数与合数的意义．
12．（吉州区模拟）自然数a除以自然数b，商是10，那么a和b的最大公约数是（ ）
A．
a
B．
b
C．
10
考点：
求几个数的最大公因数的方法．
分析：
由自然数a除以自然数b，商是10，可知a和b是倍数关系，b是较小数，根据倍数关系的两个数的最大公约数是较小数，据此解答然后选择．
解答：
解：自然数a除以自然数b，商是10，那么a和b的最大公约数是：b；故选：B．
点评：
解答本题关键是理解：自然数a除以自然数b，商是10，可知a和b是倍数关系．
二．填空题（共12小题）
13．（秀屿区）12和36的最大公因数是 12 ，最小公倍数是 36 ．
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
分析：
由于12和36为倍数关系，则最大公约数为较小的数；最小公倍数为较大的数．
解答：
解：因为36÷12=3，所以12和36的最大公因数是12，最小公倍数是36．故答案为：12，36．
点评：
此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；最小公倍数为较大的数．
14．（江阳区）30和45的最大公因数是 15 ．
考点：
求几个数的最大公因数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
根据求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，即可得解．
解答：
解：30=2×3×545=3×3×5所以30和45的最大公因数是5×3=15故答案为：15．
点评：
考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
15．（福田区模拟）甲数=2×3×3，乙数=5×3×2，甲乙两数的最大公约数是 6 ，它们的最小公倍数是 90 ．
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
分析：
求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．
解答：
解：甲数=2×3×3，乙数=5×3×2，甲乙两数的最大公约数是
2×3=6，它们的最小公倍数是2×3×3×5=90；故答案为：6，90．
点评：
考查了求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
16．（武进区模拟）a是一个大于0的自然数，与a+1的最大公因数是 1 ，最小公倍数是 a2+a ．
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
两个连续不为0的自然数是互质数，互质数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积．
解答：
解：由题意可知：a和a+1是连续不为0的自然数，所以它们是互质数，则最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，即为：a×（a+1）=a2+a，故答案为：1，a2+a．
点评：
本题考查互质数的有关知识，互质数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积．
17．（贺兰县模拟）A=2×2×3，B=3×5，A和B的最大公因数是 3 ，最小公倍数是 60 ．
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解．
解答：
解：因为：A=2×2×3，B=3×5，所以最大公因数是3，最小公倍数是：2×2×3×5=60．故答案为：3，60．
点评：
本题考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
18．（尤溪县模拟）9和15这两个数既是奇数又是合数，它们的最大公因数是 3 ，最小公倍数是 45 ．
考点：
求几个数的最大公因数的方法；奇数与偶数的初步认识；求几个数的最小公倍数的方法；合数与质数．
专题：
数的整除．
分析：
求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解．
解答：
解：9=3×3，15=3×5，所以9和15的最大公因数是3，最小公倍数是：3×3×5=45．故答案为：3，45．
点评：
考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
19．（湖南模拟）如果：A=2×2×5，B=2×3×5，那么A、B的最小公倍数是它们的最大公约数的 6 倍．
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
根据求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解．
解答：
解：因为：A=2×2×5，B=2×3×5，所以A和B的最大公因数是：2×5=10，最小公倍数是：2×2×3×5=60，60÷10=6，故答案为：6．
点评：
考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
20．（湖南模拟）24和40的最大公因数是 8 ，最小公倍数是 120 ．
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
根据求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解．
解答：
解：因为：24=2×2×2×3，40=2×2×2×5，所以24和40的最大公因数是：2×2×2=8，它们的最小公倍数是：2×2×2×3×5=120，．故答案为：8，120．
点评：
考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
21．（兰州）已知A=2×2×5，B=2×3×5，那么A和B两个数的最大公约数是 10 ，最小公倍数是 60 ．
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
分析：
求最大公约数也就是几个数的公有质因数的连乘积，对于这两个数来说：两个数的公有质因数连乘积就是它们的最大公约数，两个数的公有质因数和它们独有的质因数的连乘积就是它们的最小公倍数，由此解决问题即可．
解答：
解：A=2×2×5，B=2×3×5，所以A和B的最大公约数为2×5=10；A和B的最小公倍数为2×2×3×5=60；故答案为：10，60．
点评：
此题主要考查求两个数的最大公约数和最小公倍数的方法：几个数的公有质因数连乘积是这几个数的最大公约数，两个数的公有质因数和它们独有的质因数的连乘积就是它们的最小公倍数．
22．（中山模拟） 120 与60的最大公约数是60，最小公倍数是120．
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
分析：
由题意可知，所求的数与60是倍数关系，则它等于与60的最小公倍数．
解答：
解：因为该数与60的最大公约数是60，则该数与60是倍数关系，又因为该数与60的最小公倍数是120，所以该数为120．故答案为：120．
点评：
考查了已知两个数的最大公约数和最小公倍数，求一个数．如果两个数的最大公约数等于其中一个数，则这两个数互为倍数关系．
23．（荔波县模拟）如果A是B的，A和B的最小公倍数是 B ，它们的最大公因数是 A ．
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
分析：
如果两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数，由题目条件可以得知：A是B的，也就是B是A的5倍，由此可以解决．
解答：
解：因为A和B是倍数关系，所以它们的最大公约数是较小的那个数A，最小公倍数是较大的那个数B，故答案为B；A．
点评：
此题主要考查了求两个成倍数关系的数的最大公约数和最小公倍数的方法：两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数．
24．（田林县模拟）如果a÷b=（a、b都是不为0的自然数
），那么a和b的最大公因数是 a ．
考点：
求几个数的最大公因数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
a和b都是自然数，且不为0．a÷b=，即5a=b，说明b是a倍数，当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数，所以a和b的最大公因数是a．
解答：
解：a和b都是自然数，且不为0，a÷b=，那么a和b的最大公因数是a．故答案为：a．
点评：
此题解答关键是明确：当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数．
三．解答题（共4小题）
25．已知甲数=3×5×A，乙数=2×3×A；若甲、乙两数的最大公因数是15，求A并求出此时乙数的所有因数？
考点：
求几个数的最大公因数的方法；找一个数的因数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
甲、乙两数的最大公因数是15，找出两个数共同的因数，解题即可．
解答：
解：甲、乙两数的最大公因数是15．甲数=3×5×A，乙数=2×3×A所以A=5乙=2×3×5=3030=1×30=2×15=3×10=5×6所以30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30．答：A是5；乙的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30．
点评：
注意找准两个数公有的质因数和独自含有的质因数是解题的关键．
26．甲乙两数共有的因数中最大的是4，共有的倍数中最小的是60，如果甲是12，那么乙是多少？
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
首先要知道最大公因数和最小公倍数是如何求得的，最大公因数是两个数的公有质因数的乘积，最小公倍数是两个数的公有质因数和各自独有质因数的乘积，所以根据最小公倍数是60，除以12求出乙数独有的质因数，进而求出乙数．
解答：
解：因为60÷12=5，4×5=20，所以乙数是20．答：那么乙是20．
点评：
本题考查了最大公因数和最小公倍数，解题关键是：最大公因数是两个数的公有质因数的乘积，最小公倍数是两个数的公有质因数和各自独有质因数的乘积．
27．已知正整数a与b之和为432，a和b的最小公倍数与最大公因数的和为7776，请问a和b的乘积是多少？
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
根据两数的最小公倍数的意义及求法、最大公因数的意义及求法，弄清数量关系，设出这两个数，然后进行推理求解．
解答：
解：设a、b两数的最大公约数M，令两数为a=AM、b=BM，AB互质，最小公倍数为ABMAM+BM=（A+B）M=432=24×33
…①ABM+M=（AB+1）M=7776=25×35
…②则②÷①得（AB+1）÷（A+B）=2×32=18AB+1=18A+18B等式右为偶数，则AB奇数，则A、B必然同为奇数．（B﹣18）A=18B﹣1A=（18B﹣1）÷（B﹣18）=（18B﹣324+323）÷（B﹣18）=18+323÷（B﹣18）323=17×19
能被B﹣18整除，则有：①B﹣18=17，B=35，A=37或B﹣18=19，B=37，A=35M=432÷（35+37）=6两个数就是
a=35×6、b=37×6
或交换顺序两个数的乘积=35×6×37×6=（7776﹣6）×6=46620②B﹣18=323，B=341，A=1
M=432÷（323+1）不为整数，舍弃综上，ab两个数是210、222，其乘积为46620．答：a和b的乘积是46620．
点评：
此题解题的关键是理解题意，弄清数量间的关系，明确最大公约数和最小公倍数的含义，进而推理计算得出结论．
28．王东认为，1～20各数和3的最大公因数是有规律的．你认为王东的想法正确吗，请你列表表示．
考点：
求几个数的最大公因数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
首先填表，根据求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，然后找出规律．
解答：
解：王东的想法正确．列表如下：1～20各数和3的最大公因数是有规律的，不是1就是3．如果1～20中的数为3的倍数，即3、6、9、12、15、18这六个数，则它们与3的最大公因数为3．如果1～20中的数不是3的倍数，即1、2、4、5、7、8、10、11、13、14、16、17、19、20这十四个数，则它们与3的最大公因数为1．
点评：
此题考查了两个数不同关系的最大公约数的求法．
B档（提升精练）
一．选择题（共10小题）
1．（彭州市模拟）a、b是两个不是0的自然数，a÷b=6，a和b最小公倍数是（ ）
A．
a
B．
b
C．
6
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
分析：
求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公约数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题．
解答：
解：由a÷b=6可知，数a是数b的6倍，属于倍数关系，a＞b，所以a和b最小公倍数是a；故选A．
点评：
此题主要考查求两个数为倍数关系时两个数的最小公倍数：两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数．
2．（勐海县）α与b是互质数，那么它们的最小公倍数是（ ）
A．
α
B．
b
C．
αb
D．
1
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
如果两个数是互质数，它们的最小公倍数是这两个数的乘积．据此解答．
解答：
解：a与b是互质数，它们的最小公倍数是ab．故选：C．
点评：
本题考查了求几个数的最小公倍数的方法．此题解答关键是明确：如果两个数是互质数，它们的最小公倍数是这两个数的乘积．
3．（龙海市模拟）学校举行春季运动会，六1班人数的参加田赛，参加径赛，六1班人数是（ ）人．
A．
64
B．
49
C．
56
D．
60
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
由“六1班人数的参加田赛，参加径赛”，求出要求六1班人数，也就是求7和8的最小公倍数．
解答：
解：7和8的最小公倍数是7×8=56，所以六1班人数是56人；故选：C．
点评：
关键是根据题意，人数必须是整数，所以求7和8的最小公倍数，而互质数的两个数的最小公倍数是它们的乘积．
4．（舒城县）能同时被2、3、5除余数为1的最小数是（ ）
A．
29
B．
31
C．
61
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
约数倍数应用题．
分析：
可先求出能同时被2、3、5整除的最小的数也就是它们的最小公倍数为30，由此解决问题．
解答：
解：能被2、3、5整除的最小的数是30，30+1=31．故选：B．
点评：
此题是根据求最小公倍数的方法结合整除的意义解决问题．
5．（麻章区）a，b是不等于0的自然数，a÷b=6．a，b的最小公倍数是（ ）
A．
a
B．
b
C．
6
D．
6a
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
分析：
求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公约数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题．
解答：
解：由a÷b=6可知，数a是数b的6倍，属于倍数关系，a＞b，所以a和b最小公倍数是a；故选：A．
点评：
此题主要考查求两个数为倍数关系时两个数的最小公倍数：两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数．
6．（溧水县模拟）两个最简分数的分母分别是48和72，它们通分后的公分母最小是（ ）
A．
8
B．
24
C．
144
D．
288
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
两个最简分数的分母分别是48和72，要求它们通分后的公分母最小是多少，只要求出48和72的最小公倍数，即可得解．
解答：
解：48=2×2×2×2×3，72=2×2×2×3×3，所以48和72的最小公倍数是2×2×2×3×2×3=144；答：两个最简分数的分母分别是48和72，它们通分后的公分母最小是144；故选：C．
点评：
求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
7．（永昌县模拟）甲数=2×2×3×5，乙数=2×3×3，这两个数的最小公倍数是（ ）
A．
180
B．
360
C．
1080
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
分析：
根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可．
解答：
解：甲数=2×2×3×5，乙数=2×3×3，这两个数的最小公倍数为：2×2×3×3×5=180；故选：A．
点评：
此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
8．（武鸣县模拟）甲数=2×2×3×5，乙数=3×3×5×2，这两个数的最小公倍数是（ ）
A．
60
B．
180
C．
90
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可．
解答：
解：因为甲数=2×2×3×5，乙数=3×3×5×2，所以这两个数的最小公倍数是2×3×5×2×3=180．故选：B．
点评：
此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
9．（北京模拟）甲数=2×3×5×A，乙数=2×3×7×A，当A=（ ）时，甲、乙两数的最小公倍数是630．
A．
2
B．
3
C．
5
D．
7
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
分析：
求最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，对于两个数来说，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可．
解答：
解：甲数=2×3×5×A，乙数=2×3×7×A，甲、乙两数的最小公倍数是：2×3×5×7×A=210A，210A=630，
A=3；故选：B．
点评：
此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
10．（东兰县模拟）a、b是非零自然数，且a=5b．那么a和b的最小公倍数是（ ）
A．
a
B．
b
C．
ab
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
因为a=5b，所以a÷b=5，即a和b成倍数关系，根据“当两个数成倍数关系时，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数；进行解答即可．
解答：
解：因为a=5b，所以a÷b=5，即a和b成倍数关系，所以a和b两数的最小公倍数是a．故选：A．
点评：
此题主要考查求两个数为倍数关系时的最小公倍数：两个数为倍数关系，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数．
二．填空题（共10小题）
11．（泗县模拟）4、6和8的最小公倍数是 24 ，把这个最小公倍数分解质因数是 24=2×2×2×3 ．
考点：
求几个数的最小公倍数的方法；合数分解质因数．
分析：
求两个数的最小公倍数的方法：这两个数所有共有的因数和它们独有的质因数的连乘积，由此可以解决问题．
解答：
解：6=2×3，8=2×2×2，所以6和8的最小公倍数是2×2×2×3=24，24=2×2×2×3故答案为：24，24=2×2×2×3．
点评：
此题考查了求两个数的最小公倍数的方法．
12．（江苏模拟）早上5时40分1路公交车和2路公交车同时发车，1路车每隔8分钟发一辆车，2路车每隔12分钟发一辆车，这两路车 6时04 分第二次同时发车？
考点：
求几个数的最小公倍数的方法；时、分、秒及其关系、单位换算与计算．
专题：
压轴题．
分析：
先求出8、12的最小公倍数，然后用第一次同时发车的时间加这个时间就是第二次同时发车时间．
解答：
解：8=2×2×2，12=2×2×3，8、12的最小公倍数是：2×2×2×3=24，所以24分钟后第二次同时发车，5时40分+24分=6时04分；答：这两路车在6时04分第二次同时发车．故答案为：6时04．
点评：
此题主要考查几个数最小公倍数的求法及用此知识解决实际问题，理解第一次同时发车后到再次同时发车的时间是8、12的公倍数是本题的解答关键．
13．（阿克陶县）15和20的最小公倍数是 60 ，最大公因数是 5 ．
考点：
求几个数的最小公倍数的方法；求几个数的最大公因数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可．
解答：
解：15=3×5，20=2×2×5，最小公倍数是2×2×3×5=60；所以15和20的最大公因数是5，故答案为：60；5．
点评：
此题主要考查求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
14．（梅州）两个数是互质数，这两个数的最小公倍数是它们的乘积． √ ．
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
分析：
求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公约数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题．
解答：
解：两个数是互质数，这两个数的最小公倍数是它们的乘积．是正确的．故答案为：√．
点评：
此题考查了求几个数的最小公倍数的方法，两个数是互质数，这两个数的最小公倍数是它们的乘积．
15．（临川区模拟）2A=3B，那么A和B的最大公约数是 B ，最小公倍数是 A ．
考点：
求几个数的最小公倍数的方法；求几个数的最大公因数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
由得出2A=3B，可知两个数成倍数关系，当两个数成倍数关系时它们的最大公约数是较小的那个数，它们的最小公倍数是较大的那个数．
解答：
解：如果2A=3B，那么它们的最小公倍数是A，最大公约数是B．故答案为：B，A．
点评：
解答此题应结合题意，根据最大公约数和最小公倍数的知识进行解答即可．
16．（阜阳模拟）a和b是相邻的非零自然数，a和b的最大公因数是1，最小公倍数是ab． √ ．（判断对错）
考点：
求几个数的最小公倍数的方法；求几个数的最大公因数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
因为a和b是相邻的非零自然数，所以a和b是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积．
解答：
解：因为a和b是相邻的非零自然数，所以a和b是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是ab，说法正确，故答案为：√．
点评：
此题考查了两个数互质时的最大公约数和最小公倍数的求法．
17．（广州）A=2×3×3，B=2×3×5，则A和B的最小公倍数是 90 ．
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，因此得解．
解答：
解：A=2×3×3，B=2×3×5，A和B的最小公倍数是2×3×3×5=90；故答案为：90．
点评：
考查了求几个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
18．（黎平县）三个连续偶数的和是30，这三个数的最小公倍数是 120 ．
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
用“30÷3”求得中间的偶数为10，进而根据相邻的两个偶数相差2，求出另两个偶数，则这三个偶数分别为8、10和12；求三个数的最小公倍数即这三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积；据此解答即可．
解答：
解：30÷3=10，则另两个偶数为10﹣2=7，10+2=12，则这三个偶数分别为：8、10和12，8=2×2×2，10=2×5，12=2×2×3，所以8、10和12的最小公倍数是：2×2×2×5×3=120．故答案为：120．
点评：
本题考查了求三个数的最小公倍数的方法：三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
19．（无锡）a、b都是自然数，且a是b的，a和b的最小公倍数是 b ．
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
如果a=b（a、b为自然数），那么b÷a=3，即b能被a整除，说明b是a的整数倍，求两个数为倍数关系时的最大公因数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数；最小公倍数是较大的数；由此解答问题即可．
解答：
解：由题意得，b÷a=3，可知b是a的倍数，所以a和b的最小公倍数是b．故答案为：b．
点评：
此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公因数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数，最小公倍数是较大的数．
20．（长沙模拟）把自然数a和b分解质因数得到：a=2×5×7×t，b=3×5×t，如果a和b的最小公倍数是2730，那么t= 13 ．
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
压轴题．
分析：
根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；可得a和b的最小公倍数是2×3×5×7×t=210t，由题意得：210t=2730，解答即可．
解答：
解：a=2×5×7×t，b=3×5×t，则a和b的最小公倍数是2×3×5×7×t=210t，210t=2730，t=13；故答案为：13．
点评：
此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
三．解答题（共8小题）
21．（武汉模拟）如图，甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别是多少齿？
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
分析：
要求这三个齿轮齿数最少应分别是多少齿，应先求出三个齿轮所转圈数的最小公倍数，再分别求出三个齿轮的齿数．
解答：
解：5×7×2=70（圈），70÷5=14（齿），70÷7=10（齿），70÷2=35（齿）；答：甲．乙．丙三个齿轮最少应分别是14齿，10齿，35齿．
点评：
此题主要考查求三个数的最小公倍数的方法及应用．
22．（湖北模拟）几个数的最小公倍数不一定大于每一个数． 正确 ．
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
分析：
可以举例证明，倍数关系的两个数的最小公倍数是较大数．
解答：
解：当两个数是倍数关系时，它们的最小公倍数等于较大数，例如：12和6它们的最小公倍数是12，等于较大数，所以几个数的最小公倍数不一定大于每一个数的说法是正确的；故答案为：正确．
点评：
本题主要考查求几个数的最小公倍数．注意当两个数是倍数关系时，它们的最小公倍数等于较大数．
23．（延庆县）为了筹备毕业典礼座谈会，六（1）班的同学全部行动起来了．全班
的同学布置教室，的同学采购物品，其余的准备汇报的节目．六（1）班最少有多少人？
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
约数倍数应用题．
分析：
根据题意，全班
的同学布置教室，的同学采购物品，所以班级人数必为9和5的倍数，找到最小公倍数即为所求．
解答：
解：六（1）班人数必为9和5的倍数，9和5的最小公倍数是45，所以应是45人．答：六（1）班最少有45人．
点评：
此题考查了学生运用最小公倍数灵活解答问题的能力．
24．（永新县模拟）有一批砖，每块砖长45厘米，宽30厘米．至少用多少块这样的砖才能铺成一个正方形？
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
分析：
要求少用多少块这样的砖才能铺成一个正方形，先求拼成的正方形的边长最小是多少厘米，即求45和30的最小公倍数，先把“45和30进行分解质因数，这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；求出拼成的正方形的边长，进而求出长需要几块，宽需要几块，然后相乘求出用砖的总块数．
解答：
解：45=3×3×5，30=2×3×5，所以拼成的四边形的边长是2×3×3×5=90厘米，需要：（90÷45）×（90÷30），=2×3，=6（块）；答：至少用6块这样的砖才能铺成一个正方形．
点评：
此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
25．（成都）已知数a和8只有公因数1，则它们的最小公倍数是 8a ．
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
两个数互质，这两个数的公因数是1，它们的最小公倍数是它们的积；因此得解．
解答：
解：数a和8只有公因数1，说明a和8互质，则它们的最小公倍数是a×8=8a；故答案为：8a．
点评：
此题考查了两个数互质时的最大公因数和最小公倍数：两个数互质，最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的积．
26．（团风县模拟）有一箱苹果2个2个地数差一个，3个3个地数和5个5个地数也都正好差一个，这箱苹果至少有多少个？
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
约数倍数应用题．
分析：
因为2个2个地数差一个，3个3个地数和5个5个地数也都正好差一个，那么苹果个数就是2，3和5的公倍数减1，至少有多少个就是2，3和5的最小公倍数减1．
解答：
解：2，3和5的最小公倍数：2×3×5=30，30﹣1=29（个）．答：这箱苹果至少有29个．
点评：
此题主要考查倍数、公倍数和最小公倍数的知识．
27．（民乐县模拟）某校六年级同学做课间操，每行12人或者16人都正好是整行，这个班最少有多少人？
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
约数倍数应用题．
分析：
要求这个班至少有多少人，根据题意，也就是求12和16的最小公倍数；再根据两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数，由此解决问题即可．
解答：
解：12=2×2×3，16=2×2×2×2，所以12和16的最小公倍数是：2×2×3×2×2=48；所以这个班最少有48人．答：这个班最少有48人．
点评：
考查了求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数．
28．（萝岗区）一个班的同学去春游，去时12个人坐一个车刚好，回来时8人坐一个车也刚好．问这个班最少有多少人？
考点：
求几个数的最小公倍数的方法．
分析：
即求12和8的最小公倍数是多少，根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可．
解答：
解：8=2×2×2，12=2×2×3，8和12的最小公倍数是2×2×2×3=24，即这个班至少有24人；答：这个班最少有24人．
点评：
此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
C档（跨越导练）
一．填空题（共9小题）
1．如果自然数a除以自然数b商是17，那么a与b的最大公因数是 b ，最小公倍数是 a ．
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
压轴题．
分析：
自然数a除以自然数b商是17，说明a是b的整数倍，求两个数为倍数关系时的最大公因数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数；最小公倍数为较大的数；由此解答问题即可．
解答：
解：由题意得，自然数a除以自然数b商是17，可知a是b的倍数，所以a和b的最大公因数是b；a和b的最小公倍数是a．故答案为：b，a．
点评：
此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公因数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数；最小公倍数为较大的数．
2．如果a÷b=10，（a、b都是非0自然数），则a和b的最大公约数是 B ，最小公倍数是 A
A．a
B．b
C.10
D.1．
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
压轴题．
分析：
如果a÷b=10，（a、b都是非0自然数），据此可知a、b是倍数关系，根据倍数关系的两个数的最大公约数是较小数，最小公倍数是较大数，即可解答．
解答：
解：a÷b=10，（a、b都是非0自然数），据此可知ab是倍数关系，a为较大数，b为较小数，所以a和b的最大公约数是b，最小公倍数是a；故选：B，A．
点评：
解答本题关键是由a÷b=10，（a、b都是非0自然数），知ab是倍数关系，然后根据被关系的最大公因数和最小公倍数的求法解答．
3．（宜兴市）两个数都是合数，又是互质数，他们的最小公倍数是120，这两个数的最大公约数是 1 ，其中较小的合数是 8 ．
考点：
求几个数的最大公因数的方法；合数与质数．
专题：
压轴题．
分析：
根据题意，他们的最小公倍数是120，说明这两个数是120的因数，把120分解质因数为：120=2×2×2×3×5，两个数都是合数，又是互质数，所以这两个数应该是2×2×2和3×5；
解答：
解：120=2×2×2×3×5，两个数都是合数，所以这两个数应该是2×2×2和3×5；即8和15．这两个数又是互质数，所以这两个数的最大公约数是1．故答案为：1，8．
点评：
此题考查了合数、互质数、最小公倍数的意义、互质数的最大公约数是1、以及利用合数分解质因数的解决问题的方法．
4．（拱墅区）三个自然数，它们的最小公倍数是24，最大公约数是3，这三个自然数是 3 、 6 、 24 ．
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
压轴题．
分析：
根据求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法，已知三个自然数，它们的最小公倍数是24，最大公约数是3，这三数一定是倍数关系，较小的数是3，较大的数是24，中间的数是6或者是12；如果三个数是倍数关系，较小的数是它们的最大公因数，较大的数是它们的最小公倍数；由此解答．
解答：
解：根据分析，这三个数是倍数关系，较小的数是3，较大的数是24，中间的数是6或者是12；由此得这三个自然数是：3，6，24；或者是3，12，24；故答案为：3，6，24；或者3，12，24．
点评：
此题主要根据求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法解决问题．
5．（民乐县）24和42的最大公约数是 6 ，最小公倍数是 168 ．
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
压轴题．
分析：
求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可．
解答：
解：24=2×2×2×3，42=2×3×7，所以24和42的最大公约数是2×3=6，24和42的最小公倍数是2×2×2×3×7=168；故答案为：6，168．
点评：
此题主要考查求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法．
6．（廊坊）A=2×3×5×7
B=2×3×3×5，A和B最大公因数是 30 ，最小公倍数是 630 ．
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
压轴题．
分析：
对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可．
解答：
解：A=2×3×5×7，B=2×3×3×5，A和B最大公因数是：2×3×5=30，最小公倍数是：2×3×5×3×7=630；故答案为：30，630．
点评：
此题主要考查求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
7．（顺昌县）将一个长30厘米，宽18厘米的长方形裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，至少可以裁 15 个，每个正方形的边长是 6 厘米．
考点：
求几个数的最大公因数的方法．
专题：
压轴题；约数倍数应用题．
分析：
求出30和18的最大公因数，就是每个正方形的边长；用30和18分别除以正方形边长，得到的数字相乘就是最少可以裁成的正方形个数，因此得解．
解答：
解：30=3×2×5，18=2×3×3，所以30和18的最大公因数是：3×2=6，30÷6=5，18÷6=3，5×3=15（个）；答：至少可以裁
15个，每个正方形的边长是6厘米．故答案为：15，6．
点评：
灵活应用求解最大公因数的方法来解决实际问题．
8．（靖江市）两根长分别是60、36厘米的绳子截成相同的小段，不许剩余，每段最多长 12 厘米．
考点：
求几个数的最大公因数的方法．
专题：
压轴题．
分析：
求每段最多长多少厘米，即求60和36的最大公因数，先把60和36进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数；由此解答即可．
解答：
解：60=2×2×3×5，36=2×2×3×3，所以60和36的最大公因数为：2×2×3=12，所以每段最多长12厘米；故答案为：12．
点评：
此题主要考查求两个数的最大公约数的实际应用：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；数字大的可以用短除解答．
9．（临川区）小明给一个分数约分时，约了两次2，一次3，得，原来这个分数的分子与分母最大公约数是 12 ，最小公倍数是 24 ．
考点：
求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．
专题：
压轴题．
分析：
约分是根据分数的基本性质，把分数的分子和分母同时除以分子分母的最大公因数，把分数化成分子分母是互质数的最简分数，据此可知，小明给一个分数约分时，约了两次2，一次3，得最简分数，即原来这个分数的分子与分母最大公约数是2×2×3，最小公倍数是约去的最大公因数再乘的分子分母即2×2×3×2×1，据此解答．
解答：
解：小明给一个分数约分时，约了两次2，一次3，得最简分数，即原来这个分数的分子与分母最大公约数是2×2×3=12，最小公倍数是2×2×3×2×1=24；故答案为：12，24．
点评：
解答本题关键是由约了两次2，一次3求得原来这个分数的分子与分母最大公约数是2×2×3，最小公倍数是约去的最大公因数再乘的分子分母．
成长足迹
课后检测
学习（课程）顾问签字：
负责人签字：
教学主管签字：
主管签字时间：
耐心
细心
责任心求几个数的最大公因数的方法
知识梳理
教学重、难点
作业完成情况
典题探究
例1．数A、3×3×5，数B=2×2×3×5，数C=2×3×3×5，A、B、C三个数的最大公约数是
，最小公倍数是
．
例2．张集小学学前班买来一筐橙子，分给5个人最后余2个，分给7人最后余2个，分给9人也余2个，学前班最少买来多少个橙子？
例3．一次数学竞赛，结果学生中获得一等奖，获得二等奖，获得三等奖，其余获纪念奖．已知参加这次竞赛的学生不满50人，问获纪念奖的有多少人？
例4．求下列每组数的最大公因数和最小公倍数．
9和11
28和7
10和25
最大公因数：
最大公因数：
最大公因数：
最小公倍数：
最小公倍数：
最小公倍数：
．
例5．求出下面每组数的最小公倍数，再另外写出它们的两个公倍数．
（1）14和35的最小公倍数是：
，公倍数有：
（2）15和60最小公倍数是：
，公倍数有：
．
演练方阵
A档（巩固专练）
一．选择题（共12小题）
1．（成都）两个数的最大公约数是15，最小公倍数是180，已知其中一个数是60，另一个数是（ ）
A．
3
B．
4
C．
45
D．
900
2．（盂县）a÷b=5（a和b都是不为0的自然数），a和b的最大公约数是
（ ）
A．
a
B．
b
C．
5
3．（同心县模拟）a÷b=5（a和b都是不为0的自然数），a和b的最大公因数是（ ）
A．
a
B．
b
C．
5
4．（泉州）假如A=B+1（A、B是大于2的自然数），那么A、B的最小公倍数是它们最大公因数的（ ）倍．
A．
A
B．
B
C．
AB
D．
无法确定
5．（广州模拟）a与b是互质数，它们的最小公倍数是最大公约数的m倍，则m是（ ）
A．
ab
B．
a
C．
b
D．
1
6．（恩施州）18和24最小公倍数与最大公因数的差是（ ）
A．
54
B．
66
C．
68
D．
82
7．（陕西模拟）李伟家客厅长6米，宽4.8米，计划在地面上铺方砖，请你帮忙选择其中一种方砖，使地面都是整块方砖．你的选择是（ ）
A．
边长是50厘米
B．
边长60厘米
C．
边长100厘米
8．（定州市模拟）A=2×2×5．B=2×3×5．它们的最大公因数是（ ）
A．
2
B．
10
C．
60
9．（新田县模拟）16和48的最大公因数是（ ）
A．
4
B．
6
C．
16
10．（华亭县模拟）最大公约数是1的两个数是（ ）
A．
质数
B．
互质数
C．
质因数
D．
素数
11．（六合区模拟）对8和10两个数进行下面的说明，错误的是（ ）
A．
两个数的最大公因数是2
B．
两个数的公倍数只有40
C．
8和10都是合数
12．（吉州区模拟）自然数a除以自然数b，商是10，那么a和b的最大公约数是（ ）
A．
a
B．
b
C．
10
二．填空题（共12小题）
13．（秀屿区）12和36的最大公因数是
，最小公倍数是
．
14．（江阳区）30和45的最大公因数是
．
15．（福田区模拟）甲数=2×3×3，乙数=5×3×2，甲乙两数的最大公约数是
，它们的最小公倍数是
．
16．（武进区模拟）a是一个大于0的自然数，与a+1的最大公因数是
，最小公倍数是
．
17．（贺兰县模拟）A=2×2×3，B=3×5，A和B的最大公因数是
，最小公倍数是
．
18．（尤溪县模拟）9和15这两个数既是奇数又是合数，它们的最大公因数是
，最小公倍数是
．
19．（湖南模拟）如果：A=2×2×5，B=2×3×5，那么A、B的最小公倍数是它们的最大公约数的
倍．
20．（湖南模拟）24和40的最大公因数是
，最小公倍数是
．
21．（兰州）已知A=2×2×5，B=2×3×5，那么A和B两个数的最大公约数是
，最小公倍数是
．
22．（中山模拟）
与60的最大公约数是60，最小公倍数是120．
23．（荔波县模拟）如果A是B的，A和B的最小公倍数是
，它们的最大公因数是
．
24．（田林县模拟）如果a÷b=（a、b都是不为0的自然数
），那么a和b的最大公因数是
．
三．解答题（共4小题）
25．已知甲数=3×5×A，乙数=2×3×A；若甲、乙两数的最大公因数是15，求A并求出此时乙数的所有因数？
26．甲乙两数共有的因数中最大的是4，共有的倍数中最小的是60，如果甲是12，那么乙是多少？
27．已知正整数a与b之和为432，a和b的最小公倍数与最大公因数的和为7776，请问a和b的乘积是多少？
28．王东认为，1～20各数和3的最大公因数是有规律的．你认为王东的想法正确吗，请你列表表示．
B档（提升精练）
一．选择题（共10小题）
1．（彭州市模拟）a、b是两个不是0的自然数，a÷b=6，a和b最小公倍数是（ ）
A．
a
B．
b
C．
6
2．（勐海县）α与b是互质数，那么它们的最小公倍数是（ ）
A．
α
B．
b
C．
αb
D．
1
3．（龙海市模拟）学校举行春季运动会，六1班人数的参加田赛，参加径赛，六1班人数是（ ）人．
A．
64
B．
49
C．
56
D．
60
4．（舒城县）能同时被2、3、5除余数为1的最小数是（ ）
A．
29
B．
31
C．
61
5．（麻章区）a，b是不等于0的自然数，a÷b=6．a，b的最小公倍数是（ ）
A．
a
B．
b
C．
6
D．
6a
6．（溧水县模拟）两个最简分数的分母分别是48和72，它们通分后的公分母最小是（ ）
A．
8
B．
24
C．
144
D．
288
7．（永昌县模拟）甲数=2×2×3×5，乙数=2×3×3，这两个数的最小公倍数是（ ）
A．
180
B．
360
C．
1080
8．（武鸣县模拟）甲数=2×2×3×5，乙数=3×3×5×2，这两个数的最小公倍数是（ ）
A．
60
B．
180
C．
90
9．（北京模拟）甲数=2×3×5×A，乙数=2×3×7×A，当A=（ ）时，甲、乙两数的最小公倍数是630．
A．
2
B．
3
C．
5
D．
7
10．（东兰县模拟）a、b是非零自然数，且a=5b．那么a和b的最小公倍数是（ ）
A．
a
B．
b
C．
ab
二．填空题（共10小题）
11．（泗县模拟）4、6和8的最小公倍数是
，把这个最小公倍数分解质因数是
．
12．（江苏模拟）早上5时40分1路公交车和2路公交车同时发车，1路车每隔8分钟发一辆车，2路车每隔12分钟发一辆车，这两路车
分第二次同时发车？
13．（阿克陶县）15和20的最小公倍数是
，最大公因数是
．
14．（梅州）两个数是互质数，这两个数的最小公倍数是它们的乘积．
．
15．（临川区模拟）2A=3B，那么A和B的最大公约数是
，最小公倍数是
．
16．（阜阳模拟）a和b是相邻的非零自然数，a和b的最大公因数是1，最小公倍数是ab．
．（判断对错）
17．（广州）A=2×3×3，B=2×3×5，则A和B的最小公倍数是
．
18．（黎平县）三个连续偶数的和是30，这三个数的最小公倍数是
．
19．（无锡）a、b都是自然数，且a是b的，a和b的最小公倍数是
．
20．（长沙模拟）把自然数a和b分解质因数得到：a=2×5×7×t，b=3×5×t，如果a和b的最小公倍数是2730，那么t=
．
三．解答题（共8小题）
21．（武汉模拟）如图，甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别是多少齿？
22．（湖北模拟）几个数的最小公倍数不一定大于每一个数．
．
23．（延庆县）为了筹备毕业典礼座谈会，六（1）班的同学全部行动起来了．全班
的同学布置教室，的同学采购物品，其余的准备汇报的节目．六（1）班最少有多少人？
24．（永新县模拟）有一批砖，每块砖长45厘米，宽30厘米．至少用多少块这样的砖才能铺成一个正方形？
25．（成都）已知数a和8只有公因数1，则它们的最小公倍数是
．
26．（团风县模拟）有一箱苹果2个2个地数差一个，3个3个地数和5个5个地数也都正好差一个，这箱苹果至少有多少个？
27．（民乐县模拟）某校六年级同学做课间操，每行12人或者16人都正好是整行，这个班最少有多少人？
28．（萝岗区）一个班的同学去春游，去时12个人坐一个车刚好，回来时8人坐一个车也刚好．问这个班最少有多少人？
C档（跨越导练）
一．填空题（共9小题）
1．如果自然数a除以自然数b商是17，那么a与b的最大公因数是
，最小公倍数是
．
2．如果a÷b=10，（a、b都是非0自然数），则a和b的最大公约数是
，最小公倍数是
A．a
B．b
C.10
D.1．
3．（宜兴市）两个数都是合数，又是互质数，他们的最小公倍数是120，这两个数的最大公约数是
，其中较小的合数是
．
4．（拱墅区）三个自然数，它们的最小公倍数是24，最大公约数是3，这三个自然数是
、
、
．
5．（民乐县）24和42的最大公约数是
，最小公倍数是
．
6．（廊坊）A=2×3×5×7
B=2×3×3×5，A和B最大公因数是
，最小公倍数是
．
7．（顺昌县）将一个长30厘米，宽18厘米的长方形裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，至少可以裁
个，每个正方形的边长是
厘米．
8．（靖江市）两根长分别是60、36厘米的绳子截成相同的小段，不许剩余，每段最多长
厘米．
9．（临川区）小明给一个分数约分时，约了两次2，一次3，得，原来这个分数的分子与分母最大公约数是
，最小公倍数是
．
成长足迹
课后检测
学习（课程）顾问签字：
负责人签字：
教学主管签字：
主管签字时间：
耐心
细心
责任心
