公倍数和最小公倍数
答案
知识梳理
教学重、难点
作业完成情况
典题探究
例1．
20和30的公倍数有无数个． √ ．
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
20和30的最小公倍数是60，所以它的公倍数有60n（n是非零的自然数）个如：60，120，180…据此解答．
解答：
解：20和30的公倍数有无数个．正确．故答案为：√．
点评：
本题主要考查了学生对公倍数知识的掌握情况．
例2．如果A和B是互质数，那么A和B的最小公倍数是它们的乘积． 正确 ．
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
互质的两个数最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；据此进行判断．
解答：
解：如果A和B是互质数，那么A和B的最小公倍数是它们的乘积；故答案为：正确．
点评：
此题考查了互质的两个自然数的最大公因数和最小公倍数的求法．
例3．一张长方形的纸，长40厘米，宽28厘米，要把它截成边长是最大的正方形纸片，一共可以截多少块？
考点：
公倍数和最小公倍数；长方形、正方形的面积．
分析：
要把它截成边长是最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为长方形长与宽的最大公约数，求出正方形的边长，然后计算长与宽里面分别有几个边长，相乘的积就是要截的正方形的个数．
解答：
解：要把它截成边长是最大的正方形，纸片的边长应是28与40的最大公约数为4厘米，28÷4=7，40÷4=10，7×10=70．答：一共可以截70块．
点评：
此题是把实际问题转化为求最大公约数问题．
例4．五年级A班在分组进行大扫除时，8人一组或6人一组都刚好分完．如果这个班人数在50人以内，那么，五年级A班可能是多少人？
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
要求五年级A班可能是多少人，即求8和6的公倍数是多少，先根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；先求出最小公倍数，然后结合题意，得出结论．
解答：
解：8=2×2×2，6=2×3，8和6的最小公倍数是2×2×2×3=24；50以内8和6的公倍数有24，24×2=48；所以可能是24人，也可能是48人；答：五年级A班可能是24人，还可能是48人．
点评：
此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
例5．在□里填上合适的数，组成四位数，使它有因数2，且是3和5的公倍数．
162□
5□2□
14□□
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
既有因数3，又是2和5的公倍数的数，就是同时是2、3、5的公倍数，要想满足是3的倍数，个位上可以是0、3、6、9，而0、3、6、9中只有0能满足同时是2和5的倍数，即个位上是0即可满足同时是2、3、5的公倍数；由此解答即可．
解答：
解：1620，是2、3、5的倍数；5220，是2、3、5的倍数；1440，是2、3、5倍数．故答案为：0，2、0，4、0．
点评：
本题主要考查2、3、5的倍数特征，注意个位上是0的数同时是2和5的倍数．
演练方阵
A档（巩固专练）
一．选择题（共18小题）
1．（东莞）有两个两位数的自然数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，这两个数的和是（ ）
A．
96
B．
48
C．
60
考点：
公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
先将6和90分解质因数，求得符合条件的两个两位数，再相加即可求解．
解答：
解：6=2×3，90=2×3×3×5，一个数是：2×3×3=18，另一个数是：2×3×5=30，这两个数的和是：18+30=48．故选：B．
点评：
此题考查了合数分解质因数和求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数的乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的乘积是最小公倍数．
2．（南京）任意两个数的（ ）的个数是无限的．
A．
公倍数
B．
公因数
C．
最小公倍数
D．
最大公因数
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
一个数的约数是有限的，所以两个数的公约数一定是有限的；一个数的倍数是无限的，两个数的公倍数的个数也是无限的，由此解决问题即可．
解答：
解：由分析可知：任意两个数的公倍数的个数是无限的；故选：A．
点评：
本题主要考查公因数、公倍数、最小公倍数的意义．
3．（白云区）红星小学六年级四个班的学生人数在165到170之间，其中男女人数的比是3：4，那么六年级学生的总人数是（ ）
A．
166
B．
167
C．
168
D．
169
考点：
公倍数和最小公倍数；找一个数的倍数的方法．
专题：
压轴题；数的整除．
分析：
男女人数的比是3：4，六年级学生的总人数一共占7份，所以学生总人数一定是7的倍数，在165到170之间找出7的倍数即可．
解答：
解：3+4=7，168÷7=24，168是7的倍数，答：六年级学生的总人数是168人．故选：C．
点评：
此题主要利用找一个数的倍数的方法解决问题．
4．（德江县模拟）32以内3和5的公倍数有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
互质数的最小公倍数是它们的乘积，3和5是互质数，据此求出它们的最小公倍数，然后用最小公倍数求出32以内的公倍数，数出即可．
解答：
解：3和5是互质数，它们的最小公倍数是：3×5=15，32以内3与5的公倍数有：15×1=15，15×2=30，共有2个．故选：B．
点评：
本题主要考查两个数的最小公倍数的求法，注意互质数的最小公倍数是它们的乘积．
5．（静宁县模拟）两个数的（ ）的个数是无限的．
A．
公因数
B．
公倍数
C．
最小公倍数
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
根据公因数，公倍数、最小公倍数的意义解答．
解答：
解：公因数是两个数公有的因数，公因数的个数是有限的，公倍数是两个数公有的倍数，公倍数的个数是无限的，公倍数中最小的一个就是这两个数的最小公倍数；故选：B．
点评：
本题主要考查公因数，公倍数、最小公倍数的意义．
6．（儋州模拟）a、b是相邻的两个偶数（a、b均不为0），a和b的最小公倍数数是（ ）
A．
ab
B．
2ab
C．
a+b
D．
ab÷2
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
首先理解偶数的意义，是2的倍数的数叫做偶数．再根据公倍数的意义，两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个叫做这两个数的最小公倍数．由此解答．
解答：
解：相邻的偶数相差2，根据求两个数的最小公倍数的方法，先把这两个数分解质因数，公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数．例如：4和6的最小公倍数，4=2×2，6=2×3，4和6的最小公倍数是：2×2×3=12.12是4和6的乘积的一半．所以，a、b是相邻的两个偶数（a、b均不为0），a和b的最小公倍数数是ab÷2．故选：D．
点评：
此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法．
7．（来安县）323至少要加上（ ）才是2和3的公倍数．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
根据“个位上的数字是0、2、4、6、8的数字能被2整除”，所以323加1、3、5、7、9…才是2的倍数，能被3整除的数的特征是：“各个数位上的数字之和是3的倍数的数”，由此即可解答．
解答：
解：323+1=324，3+2+4=9，所以324也是3的倍数，答：323至少加上1才是2和3的公倍数．故选：A．
点评：
解答此题的关键：（1）能被2整除的数的特征；（2）能被3整除的数的特征．
8．（大安区）a、b、c是非零自然数，a×b=c，下面的说法正确的是（ ）
A．
a是b的最大公因数
B．
b是a和c的公因数
C．
c是a和b的公倍数
D．
c是a和b的最小公倍数
考点：
公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．
分析：
根据公倍数的意义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，进行解答即可．
解答：
解：a、b、c是非零自然数，a×b=c，即a和b是c的约数，c是a和b的公倍数；故选：C．
点评：
此题考查公倍数的意义，应明确其意义，并能灵活运用．
9．（扬州）同学们去社区做好事，每组6人或9人，都正好不多也不少．去社区做好事的同学至少有（ ）人．
A．
3
B．
9
C．
18
D．
54
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
根据每组6人或9人，都正好不多也不少，可知去社区做好事的同学数既是3的倍数也是9的倍数，即是6和9的公倍数，要求至少就是求6和9的最小公倍数，据此解答．
解答：
解：6的倍数有6，12，18，24，30，36，42…，9的倍数有：9，18，27，36，45…，6和9的最小公倍数是18；故选：C．
点评：
解答本题关键是由每组6人或9人，都正好不多也不少，可知去社区做好事的同学数是6和9的公倍数，要求至少就是求6和9的最小公倍数．
10．（金坛市）下面四句话中，表述正确的语句共有（ ）
（1）周长相等的正方形和圆，圆的面积大．
（2）两个数的公倍数一定比这两个数都大．
（3）圆锥体的体积是与它等底等高圆柱体体积的三分之一
（4）若干个相同的梯形一定能够进行图形密铺．
A．
1句
B．
2句
C．
3句
D．
4句
考点：
公倍数和最小公倍数；图形的密铺；正方形的周长；圆、圆环的周长；长方形、正方形的面积；圆、圆环的面积；圆柱的侧面积、表面积和体积；圆锥的体积．
专题：
压轴题．
分析：
根据题意，对各题进行依次分析，进而得出结论．
解答：
解：（1）周长相等的正方形和圆，圆的面积大，说法正确；（2）因为当两数是倍数关系时，较小的数是他们的最大公约数，较大的数是他们的最小公倍数；所两个数的公倍数一定比这两个数都大，说法错误；（3）圆锥体的体积是与它等底等高圆柱体体积的三分之一，属于理解和掌握的知识，应牢记；说法正确；（4）当拼接点处几个角的和为360度时，若干个相同的梯形可以进行图形密铺，但不是一定，故说法错误；故选：B．
点评：
此题涉及的面较广，解答此题的关键是对各题进行依次分析，通过分析，得出结论．
11．m与n都是非零的自然数，m=12n，m和n的最小公倍数是（ ）
A．
12
B．
m
C．
n
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公因数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题．
解答：
解：m与n都是非零的自然数，m=12n，则：m÷n=12，数m是数n的12倍，属于倍数关系，m＞n，所以，m和n的最小公倍数是m；故选：B．
点评：
此题主要考查求两个数为倍数关系时两个数的最小公倍数：两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数．
12．71以内3和5的公倍数有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
互质数的最小公倍数是它们的乘积，3和5是互质数，据此求出它们的最小公倍数，然后用最小公倍数求出71以内的3和5的公倍数，数出即可．
解答：
解：3和5是互质数，它们的最小公倍数是：3×5=15，71以内3与5的公倍数有：15×1=15，15×2=30，15×3=45，15×4=60，共有4个．故选：D．
点评：
本题主要考查两个数的最小公倍数的求法，注意互质数的最小公倍数是它们的乘积．
13．有任何两个自然数的（ ）的个数是无限的．
A．
公倍数
B．
公因数
C．
倍数
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
根据公约数和公倍数的意义可知；公约数是两个数的公有的质因数，有最大公因数个数是有限的，公倍数是两个数共有的质因数和各自独有的质因数的乘积，有最小公倍数，个数是无限的，据此解答．
解答：
解：如4，84，8的公因数有1，2，44，8的公倍数有8，16，24，32…有无数个，所以任何两个自然数的公倍数的个数是无限的故选：A
点评：
主要考查公倍数的意义，有最小而没有最大的．
14．48是6和8的（ ）
A．
最大公约数
B．
公倍数
C．
最小公倍数
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，因为48既是6的倍数，又是8的倍数，而6和8不是互质数，所以48是6和8的公倍数，但不是最小公倍数．
解答：
解：因为48既是6的倍数，又是8的倍数，且6和8不互质，所以48是6和8的公倍数．故选B．
点评：
此题主要考查公倍数和最小公倍数的意义．
15．下面各组数中公倍数有36的是（ ）
A．
12和8
B．
21和14
C．
6和18
D．
8和9
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
根据几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，以此即可推出答案．
解答：
解：A、36是12的倍数，但不是8的倍数．B、36既不是21的倍数也不是14的倍数．C、36既是6的倍数又是18的倍数．D、36是9的倍数，但不是8的倍数．故选C．
点评：
此题主要考查倍数与公倍数的意义．
16．同时是2、3、5的倍数的两位数有（ ）
A．
1
个
B．
2
个
C．
3个
D．
4个
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
就是求两位数据的2、3、5的公倍数，2、3、5两两互质，这三个数的只是2×3×5=30，30扩大2倍，3倍都是两位数的2、3、5的倍数．
解答：
解：2×3×5=30，30×2=60，30×3=90，即在两位数中，同时是2、3、5的倍数的数有30、60、90三个．故选：C．
点评：
本题也可根据2、3、5的倍数特征来解答，这个数的个位上的数字一定是0，各位上的数字之和是3的倍数．
17．24是8和12的（ ）
A．
公因数
B．
最小公倍数
C．
最大公因数
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
根据公倍数和最小公倍数的意义，两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个叫做这两个数的最小公倍数．由此解答．
解答：
解：根据分析，24是8和12的最小公倍数．故选：B．
点评：
此题的解答主要明确公倍数和最小公倍数的概念及意义．
18．六（1）班的学生数在30～60人之间，其中喜爱跳绳，同学喜爱跳皮筋，六（1）班有（ ）人．
A．
21
B．
42
C．
49
D．
63
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
首先六（1）班的学生数一定是3和7的公倍数，且范围为30～60人之间，写出3和7的公倍数，找出答案即可．
解答：
解：因为人数为整数，六（1）班的学生数的和都是整数，所以六（1）班的学生数一定是3和7的公倍数；3和7的公倍数有：21，42，63…，而学生数在30～60人之间，故选B．
点评：
此题考查运用求公倍数的方法来解决有关整数的实际问题，解答时注意所求数的范围，选择合理的方法．
二．填空题（共9小题）
19．（龙海市模拟）50以内6和8的公倍数有 24、48 ，6和8的最小公倍数是 24 ；9和27的公因数有 1、3、9 ，9和27的最大公因数是 9 ．
考点：
公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
（1）公倍数是两个数公有的倍数，先找出找出两个数的倍数，从中找出公有的倍数；（2）公倍数中最小的一个就是这两个数的最小公倍数，据此找出6和8的最小公倍数；（3）公因数是两个数公有的因数，据此求出两个数的公因数找出公有的因数即可；（4）公因数中最大的一个就是这两个数的最大公因数，据此找出9和27的最大公因数．
解答：
解：（1）50以内6和8的倍数是：6的倍数是：6、12、18、24、30、36、42、48，8的倍数是：8、16、24、32、40、48，50以内6和8的公倍数有：24、48；（2）50以内6和8的公倍数24、48中，24是最小的，所以6和8的最小公倍数是：24；（3）9的因数有：1、3、9，27的因数有：1、3、9、27，9和27的公因数有：1、3、9；（4）9和27的公因数1、3、9中，9是最大的，所以9和27的最大公因数是9．故答案为：24、48；24；1、3、9；9．
点评：
本题主要考查公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的意义和求法．
20．（南安市）能同时被2、3、5整除的最大三位数是 990 ．
考点：
公倍数和最小公倍数；数的整除特征．
分析：
根据题意可先确定能被2整除的数的特征、能被3整除的数的特征、能被5整除的数的特征，再确定能同时被2、3、5整除的数的特征，再算出最大的三位数即可．
解答：
解：能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除，能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数，要同时能被2和5整除，这个三位数的个位一定是0．要能被3整除，又要是最大的三位数，这个数是990．故答案为：990．
点评：
此题主要考查的是能同时被2、3、5整除的数的特征．
21．（白云区）两个数的乘积一定是这两个数的公倍数． 正确 ．（判断对错）
考点：
公倍数和最小公倍数；因数和倍数的意义．
分析：
两个数的乘积一定是这两个数的公倍数这是正确的，举例证明即可．
解答：
解：比如4和12，12×4=48，48是12的倍数，48也是4的倍数，即48是4、12的公倍数；所以两个数的乘积一定是这两个数的公倍数是正确的；故答案为：正确．
点评：
本题主要考查公倍数的意义，注意掌握两个数的乘积和这两个数的公倍数的关系．
22．（无棣县）两位数“2□”是2和3的公倍数，□里的数是 4 ．这个两位数与16的最大公因数是 8 ．
考点：
公倍数和最小公倍数；求几个数的最小公倍数的方法．
分析：
根据同时是2和3的倍数的数的特征，个位必须是偶数，且个位和十位上的数字之和是3的倍数，由此确定个位上的数字是4；求24和16的最大公因数，首先把这两个数分别分解质因数，公有质因数的积就是它们的最大公因数．由此解答．
解答：
解：根据分析，两位数“2□”是2和3的公倍数，□里的数是4；把24和16分解质因数：24=2×2×2×3；16=2×2×2×2；24和16的最大公因数是：2×2×2=8；故答案为：4，8．
点评：
此题主要考查了：同时是2和3的倍数的特征和求两个数的最大公因数的方法．
23．（鞍山）A=2×2×3，B=2×2×2×2．A和B的最大公约数是 4 ，最小公倍数是 48 ．
考点：
公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．
分析：
根据求两个数的最大公约数和最小公倍数的方法可得出答案．
解答：
解：（1）求A和B的最大公约数，是求公约数中最大的，它就必须包含A和B全部公有的质因数2和2，2×2=4，所以A和B的最大公约数是4．（2）求A和B的最小公倍数，只要包含它们全部公有的质因数（2个2），以及各自独有的质因数（1个3和2个2）就可以了．即2×2×3×2×2=48，所以A和B的最小公倍数是48．故答案为：4，48．
点评：
求两个数的最大公约数的方法是把两个数全部公有的质因数相乘即可；求两个数的最小公倍数的方法是把两个数全部公有的质因数以及各自独有的质因数相乘即可．
24．（海门市）两位数“2□”是2和3的公倍数，□里的数是 4 ，这个两位数与36的最大公因数是 12 ．
考点：
公倍数和最小公倍数；求几个数的最大公因数的方法．
专题：
数的整除．
分析：
根据同时是2和3的倍数的数的特征，个位必须是偶数，且个位和十位上的数字之和是3的倍数，由此确定个位上的数字是4；求24和36的最大公因数，首先把这两个数分别分解质因数，公有质因数的积就是它们的最大公因数．由此解答．
解答：
解：根据分析，两位数“2□”是2和3的公倍数，□里的数是4；把24和36分解质因数：24=2×2×2×3；36=2×2×3×3；24和36的最大公因数是：2×2×3=12；故答案为：4，12．
点评：
此题主要考查了：同时是2和3的倍数的特征和求两个数的最大公因数的方法．
25．（武汉模拟）甲、乙两数的最大公约数是75，最小公倍数是450．若它们的差最小，则两个数为 150 和 225 ．
考点：
公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．
分析：
两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的乘积．设这两个数为a、b，则a×b=450×75=75×75×2×3，若要它们差最小，就应使两个数离的最近，所以当a=75×2，b=75×3时，它们的差最小．
解答：
解：设这两个数为a、b，则a×b=450×75=75×75×2×3，当a=75×2=150，b=75×3=225时，它们的差最小．故答案为：150、225．
点评：
本题从两个数的最大公约数和最小公倍数之间的关系入手比较简单．
26．（富源县）能同时被2、3、5整除的最大两位数是 90 ，将它分解质因数为 90=3×3×5×2 ．
考点：
公倍数和最小公倍数；合数分解质因数．
分析：
本题可先求出2、3、5的最小公倍数是多少，然后再求出能同时被2、3、5整除的两位数是多少，最后分解质因数就可以了．
解答：
解：（1）2、3、5最小公倍数为：2×3×5=30；（2）能同时被2、3、5整除的最大两位数是：30×3=90；（3）90=3×3×5×2．故答案为：90，90=3×3×5×2．
点评：
分解质因数可利用短除法．
27．（合川区）如果a=2×3×7，b=2×3×5，那么a和b的最大公因数是 6 ，最小公倍数是 210 ．
考点：
公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．
分析：
两个数的最大公约数是这两个数全部公有质因数的乘积，最小公倍数是把各自独有的质因数全部乘进去，所得的积就是这两个数的最小公倍数．
解答：
解：a=2×3×7，b=2×3×5，那么a和b的最大公因数是2×3=6，最小公倍数是2×3×5×7=210；故答案为：6，210．
点评：
解答此题应根据最大公约数和最小公倍数的方法进行解答即可．
三．解答题（共1小题）
28．（台湾模拟）求最小整数，被三除余二，被五除余三，被七除余四？
考点：
公倍数和最小公倍数；同余定理．
专题：
数的整除．
分析：
由“一个整数被三除余二，被五除余三，被七除余四”可知，将这个整数乘2后得：被3除余1，被5除余1，被7除余1；由此可见将乘2后的数减去1就同时能被3，5，7整除，由此即可求出．
解答：
解：将乘2后的数减去1就同时能被3，5，7整除；3，5，7的最小公倍数为3×5×7=105，（105+1）÷2=53；答：这个整数最小是53．
点评：
此题属于同余除法，应明确这个整数乘2后的数减去1能被3、5、7整除，是解答此题的关键．
B档（提升精练）
一．选择题（共15小题）
1．两个数的（ ）的个数是无限的．
A．
最大公因数
B．
最小公倍数
C．
公因数
D．
公倍数
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
一个数的约数是有限的，所以两个数的公约数一定是有限的；一个数的倍数是无限的，两个数的公倍数的个数也是无限的，但两个数的最大公约数和最小公倍数只有一个，由此解决问题即可．
解答：
解：两个数的公约数是有限的；两个数的公倍数的个数是无限的，但两个数的最大公约数和最小公倍数只有一个；故选：D．
点评：
此题考查两个数的公约数和公倍数的个数：两个数的公约数是有限的；两个数的公倍数的个数是无限的；紧扣定义解答问题．
2．在A×B=12中，12肯定是A、B的（ ）
A．
最小公倍数
B．
最大公因数
C．
公倍数
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
根据公倍数的意义，两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数．如果A×B=12，那么12肯定是A、B的公倍数．
解答：
解：根据分析：如果A×B=12，那么12肯定是A、B的公倍数．故选：C．
点评：
此题考查的目的是理解公倍数的意义，两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数．其中最小的一个就是这两个数的最小公倍数．
3．某班的学生不论分成4人一组还是6人一组，都正好分完．下列数据中（ ）可能是这个班的人数．
A．
40
B．
36
C．
30
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
即求4和6的公倍数，先求出4和6的最小公倍数，然后写出4和6的公倍数，然后进行选择即可．
解答：
解：4=2×2，6=2×3，4和6的最小公倍数是2×2×3=12，4和6的公倍数有12，24，36，48…；故选：B．
点评：
此题考查的是求两个数的公倍数，应掌握求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可．
4．大于而小于的分数有（ ）个．
A．
1
B．
2
C．
无数
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
先求出一个大于而小于的同分母的分数=，然后根据分数的基本性质把和的分子分母扩大若干倍，得出分数无数个大于而小于的分数，不是1个和2个，据此解答．
解答：
解：大于而小于的分数同分母的有=，根据分数的基本性质把和的分子分母扩大2倍，得到，，三个大于而小于的分数，这时就得到5个大于而小于的分数；然后在把和的分子分母3倍，4倍，5倍…，即得到无数个大于而小于的分数；所以大于而小于的分数不是1个，也不是2个，…而是有无数个；故选：C．
点评：
解答本题关键是利用分数的基本性质把和的分子分母同时扩大2倍，3倍，4倍，5倍…，从而得到无数个大于而小于的分数．
5．两个数（不为0的自然数）的积一定是这两个数的（ ）
A．
公倍数
B．
最小公倍数
C．
公约数
D．
最大公约数
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
根据因数和倍数的意义，以及研究因数和倍数时，为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）．由此解决问题．
解答：
解：两个数（不为0的自然数）的积一定是这两个数的公倍数．故选A．
点评：
此题主要考查因数和倍数、公倍数和最小公倍数、公约数和最大公约数的意义．
6．12是2和6的什么数？（ ）
A．
倍数
B．
公倍数
C．
最小公倍数
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
根据公倍数的意义，两个数（或几个数）公有的倍数叫做这两个数（或几个数）的公倍数，其中最小是两个数（或几个数）的最小公倍数，进行解答即可．
解答：
解：2的倍数有：2，4，6，8，10，12，14…6的倍数有：6，12，18…所以6是2和6的最小公倍数，12是2和6的公倍数；故选：B．
点评：
此题考查的目的是理解和掌握公倍数、公因数的意义，掌握求两个数的最小公倍数和最大公因数的方法．
7．36是6和9的（ ）
A．
倍数
B．
公倍数
C．
最小公倍数
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
根据题意，列举出6和9的倍数，进而根据公倍数的含义：两个数公有的倍数，是这两个数的公倍数；由此解答即可．
解答：
解：6的倍数有：6、12、18、24、30、36、…；9的倍数有：9、18、27、36、45、…；所以36是6和9的公倍数；故选：B．
点评：
明确公倍数的含义，是解答此题的关键．
8．下列说法中，（ ）是错误的．
A．
4是4的倍数
B．
4是4和8的公因数
C．
4是4的最小公倍数
考点：
公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．
分析：
根据题意进行依次分析，进而得出结论．
解答：
解：A、4是4的1倍，即4是4的倍数，说法正确；B、因为4是4的因数，4也是8的因数，所以4是4和8的公因数，说法正确；C、4是4的最小公倍数，说法错误，4只能是4的倍数，1个数不存在公倍数的说法；故选：C．
点评：
解答此题用到的知识点：（1）公倍数和最小公倍数的含义；（2）因数和和倍数的意义．
9．下面各数中除以2和除以5都没有余数的是（ ）
A．
284
B．
560
C．
105
D．
883
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
根据能被5整除的数的特征：个位上是0或5的数，除以2没有余数，也就是说是2的倍数的数，所以这样的数是个位上是0、2、4、6、8；所以除以2和除以5都没有余数的是个位上是0的数，据此逐项分析再解答．
解答：
解：除以2和除以5都没有余数的是个位上是0的数，只有560，故选：B．
点评：
此题考查了公倍数和最小公倍数．能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数．被5整除的数的特征：个位上是0或5的数．
10．50以内6和8的公倍数有（ ）
A．
24、48
B．
18、24、30
C．
30、48
考点：
公倍数和最小公倍数；找一个数的倍数的方法．
分析：
先把6和8进行分解质因数，这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积是它们的最小公倍数；由此解答求出6和8的最小公倍数，进而找出50以内的6和8的公倍数．
解答：
解：6=2×3，8=2×2×2，所以6和8的最小公倍数是：2×2×2×3=24；所以50以内6和8的公倍数有：24、48；故选：A．
点评：
此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
11．8和6的公倍数有（ ）
A．
1个
B．
4个
C．
无数个
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
一个数的倍数是无限的，两个数的公倍数的个数也是无限的，但两个数的最小公倍数只有一个，求两个数的最小公倍数的方法是：把两个数分解质因数，两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积就是这两个数的最小公倍数；由此解决问题即可．
解答：
解：8=2×2×2，6=2×38和6的最小公倍数是：2×2×2×3=24，因此8和6的公倍数有：24，48，72，96，…，即8和6的公倍数有无数个．故选：C．
点评：
此题主要考查倍数和公倍数的意义以及求两个数最小公倍数的方法，一个数的倍数是无限的，两个数的公倍数的个数也是无限的，但两个数的最小公倍数只有一个．
12．同时是2和5的倍数的最小三位数是（ ）
A．
120
B．
100
C．
210
D．
150
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
2的倍数的特征是：个位上的数字是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；5的倍数的特征是：个位上的数字是0或5的是多少5的倍数；同时是2和5的倍数的特征是个位上的数字是0，且是偶数；由此解答．
解答：
解：根据同时是2和5的倍数的特征，同时是2和5的倍数的最小的三位数是100．故选：B．
点评：
此题主要考查2和5的倍数的特征．
13．下面数中（ ）既有因数3，又是4的倍数．
A．
36
B．
68
C．
6
D．
76
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
既有因数3，又是4的倍数，就是这个数是3和4的公倍数，3和4是互质数，它们的最小公倍数是它们的乘积即3×4=12，判断一下各答案中的数是不是12的倍数，因为12既含有因数3，又是4的倍数，所以12的倍数也含有因数3，又是4的倍数．
解答：
解：3和4是互质数，它们的最小公倍数是它们的乘积即3×4=12，36是12的倍数，所以36是3和4既有因数3，又是4的倍数；68、6、76不是12的倍数，所以它们不是3和4的公倍数；故选：A．
点评：
本题主要根据3和4的最小公倍数进行判断是不是含有因数3，又是4的倍数．
14．64是16和8的（ ）
A．
公倍数
B．
因数
C．
最小公倍数
D．
无法确定
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
16和8是倍数关系，它们的最小公倍数是较大数16，16×4=64，即64是16的倍数，也是16和8的公倍数，因为64比16和8小，所以不会是它们的因数，据此分析解答．
解答：
解：根据分析可知：64是16和8的公倍数；故选：A．
点评：
本题主要考查两个数的公倍数和最小公倍数的意义．
15．18和36的公倍数，一定是（ ）
A．
18和36乘积的倍数
B．
18的倍数
C．
既是18的倍数又是36的倍数
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
根据公倍数的意义，两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，判断即可．
解答：
解：根据公倍数的意义，可得18和36的公倍数，一定既是18的倍数又是36的倍数，故选：C．
点评：
此题考查的目的是理解公倍数的意义．
二．填空题（共9小题）
16．100以内6和8的公倍数有 24、48、72、96 ，其中最小公倍数是 24 ．
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个是它们的最小公倍数．据此解答．
解答：
解：100以内6和8的公倍数有：24、48、72、96；其中最小公倍数是24．故答案为：24，48，72，96；24．
点评：
此题考查的目的是理解公倍数的意义，掌握求两个数的公倍数、最小公倍数的方法．
17．一个数既能被2整除，又有约数3，又是5的倍数，这个数最小是 30 ．
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
因为这个数是2、3、5的倍数，据此求出2、3、5的最小公倍数即可，又因为2、3、5是互质数，所以它们的最小公倍数是2×3×5=30．
解答：
解：2×3×5=30，所以这个数最小是30．故答案为：30．
点评：
此题也可以这样分析：根据能被2和5整除的数的特征可知，这个数的个位数字是0；又是3的倍数，所以各个数位上的数字之和必须是3的倍数，所以这个数最小是30，据此即可解答．
18．14×15×ɑ的积（ɑ为非零自然数）一定是6和7的公倍数． √ ．
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
因为14×15×ɑ=（2×7）×（3×5）×a=2×3×5×7×a=6×7×5×a，因为ɑ为非零自然数，所以14×15×ɑ的积（ɑ为非零自然数）一定是6和7的公倍数；据此判断即可．
解答：
解：14×15×ɑ=6×7×5×a（ɑ为非零自然数），所以14×15×ɑ的积（ɑ为非零自然数）一定是6和7的公倍数；故答案为：√．
点评：
此题还可以把原式=14×3×5×a=42×5×a，因为42是6、7的公倍数，所以14×15×ɑ的积（ɑ为非零自然数）一定是6和7的公倍数．
19．同时是2和5的倍数的最大两位数是 90 ，157至少加上 2 才是3的倍数．
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
（1）能被2整除的数的是数的末尾是偶数，能被5整除的数的个位是0或5；据此可知：同时是2和5的倍数的最大两位数是90；（2）根据能被3整除的数的特征：该数各个数位上数的和能被3整除；据此解答．
解答：
解：同时是2和5的倍数的最大两位数是90；因为：1+5+7=13，13+2=15，能被3整除，所以157至少加上2才是3的倍数；故答案为：90，2．
点评：
解答此题应根据能被2、3、5整除的数的特征进行解答．
20．12既是12的最大公因数，又是12的最小公倍数． 错误 ．
考点：
公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
公因数的定义是：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个就是它们的最大公因数；公倍数的定义是：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个就是它们的最小公倍数，由此可知，公因数和公倍数是针对两个或两个以上的数来讲的，所以原题说法错误．
解答：
解：根据题干分析可得，公因数和公倍数是针对两个或几个数来讲的，原题说法错误，正确的说法应该是：12既是12的最大因数，又是12的最小倍数．故答案为：错误．
点评：
本题考查了倍数、因数中的特征之一，即一个非0的自然数既是自己的倍数，又是自己的因数；希望同学们记住这个结论．
21．a除b的商是6（a、b都是自然数），则a、b的最大公约数是 A ，最小公倍数是 B
A．a
B．b
C.6
D.1．
考点：
公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．
分析：
a除b的商是6（a、b都是自然数），a能整除b，或b能被a整除，b是a的倍数，a是b的因数，则a、b的最大公约数是a，最小公倍数是b．
解答：
解：a能整除b，或b能被a整除，b是a的倍数，a是b的因数，则a、b的最大公约数是a，最小公倍数是b．故选：A，B
点评：
此题主要考查因数与倍数的关系，如果b是a的倍数，那么，a是b的因数，则a、b的最大公约数是a，最小公倍数是b．
22．五（1）班学生不到60人，进行队列表演，每行12人或者每行16人都正好每行同样多人，这个班的学生共有 48 人．
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
约数倍数应用题．
分析：
由题意得：要求这个班有多少人，因为这个班的学生不到60人，所以也就是求12和16的最小公倍数是多少，根据求两个数的最小公倍数的方法进行解答即可．
解答：
解：12=2×2×3，16=2×2×2×2，因为这个班的学生不到60人，所以12和16的最小公倍数为：2×2×3×2×2=48；答：这个班有48人．故答案为：48．
点评：
此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
23．36是12和18的 B、D
A．公因数
B．公倍数
C．最大公因数
D．最小公倍数．
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
因为36能被12整除，36还能被18整除，所以36是12和18的公倍数，又因为36是12和18的公倍数中最小的一个，所以36还是12和18的最小公倍数；据此选择．
解答：
解：由分析可知：36是12和18的公倍数，还是12和18的最小公倍数；故选：B，D．
点评：
明确公倍数和最小公倍数的含义，是解答此题的关键．
24．50以内6和8的公倍数有 24，48 ．
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
求两个数的最小公倍数，首先把这两个数分别分解质因数，公有的质因数（乘1次）和各自独有的质因数的乘积就是它们的最小公倍数．以此解答．
解答：
解：把6和8分解质因数：6=2×3；8=2×2×2；6和8的最小公倍数是：2×3×2×2=24；50以内6和8的公倍数有：24，48；故答案为：24，48．
点评：
此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法．1个数的倍数是无限的，因此两个数的公倍数也是无限的；只有最小公倍数．
三．解答题（共4小题）
25．6年级1班大约有50人左右，排座位时老师发现刚好可以排成6排或8排，求6年级1班的学生人数．
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
根据题意可知，这个班学生人数50左右的6和8的公倍数．根据求两个数的公倍数的方法进行解答．
解答：
解：50左右6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48、54；50左右8的倍数有：8、16、24、32、40、48、56；50左右6和8的公倍数有：24、48；所以六年级一班的学生人数是48人．
点评：
此题主要根据求两个数的公倍数的方法解决问题．
26．求下列各题中两数的公倍数
（1）8和12．
（2）42和14
（3）16和24．
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，据此解答即可．
解答：
解：（1）8和12的公倍数有：24、48、72…；（2）42和14的公倍数有：42、84、126…；（3）16和24的公倍数有：48、96、144…
点评：
此题考查的目的是理解公倍数的意义，掌握求两个数的公倍数的方法．
27．同时具有因数2、3、5的最小的两位数是30． 正确 ．
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
求2、3、5的最小公倍数，因为这三个数都是质数，它们的最小公倍数即这三个数的乘积．
解答：
解：2×3×5=30；正好是两位数，所以符合题意；故答案为：正确．
点评：
解答此题的关键是：根据求几个数最小公倍数的方法，进行解答即可．
28．如果甲能整除乙，那么乙一定是甲、乙的公倍数． 正确 ．
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
根据两个数是倍数关系，那么其中较大的数就是它们的最小公倍数．如果甲能整除乙，也就是乙是甲的倍数，那么乙一定是甲、乙的最小公倍数．
解答：
解：由分析可知，如果甲能整除乙，也就是乙是甲的倍数，那么乙一定是甲、乙的最小公倍数．故答案为：正确．
点评：
此题考查的目的是使学生理解公倍数和最小公倍数的意义，明确如果两个数是倍数关系，那么其中较大的数就是它们的最小公倍数．
C档（跨越导练）
一．选择题（共4小题）
1．一个盒子里有红、白、黑三色珠子共27个，其中红色珠子的个数占白色珠子的，那么盒子里最多有（ ）颗红珠子．
A．
3
B．
6
C．
8
D．
18
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
约数倍数应用题．
分析：
根据红色珠子的个数占白色珠子的，假设红色珠子有1颗，则白色珠子的颗数是6颗，黑色珠子为20颗；如果红色珠子有2颗，则白色珠子的颗数是12颗，黑色珠子为13颗；如果红色珠子有3颗，则白色珠子的颗数是18颗，则黑色珠子有6颗，如果红色珠子有4颗，白色珠子有24颗，超出了盒子里有黑、白、红三色的珠子27颗的总数．因此得解．
解答：
解：采用试探法，假设红色珠子有1颗，则白色珠子的颗数是6颗，黑色珠子为20颗；如果红色珠子有2颗，则白色珠子的颗数是12颗，黑色珠子为13颗；如果红色珠子有3颗，则白色珠子的颗数是18颗，则黑色珠子有6颗；如果红色珠子有4颗，白色珠子有24颗，超出了盒子里有黑、白、红三色的珠子27颗的总数．答：盒子里最多有3颗红珠子．故选：A．
点评：
对于这样的题目，用假设法来解答比较简便．
2．38至少加上（ ），所得的和能同时被2和5整除．
A．
1
B．
2
C．
7
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
2和5互质，其最小公倍是2×5=10，一个数能同时被2与5整除，则这个数也能被10整除，能被10整除的数的末位数一定是0，则距38最近的整十数是40，38+2=40．即38至少加上2，所得的和能同时被2和5整除．
解答：
解：2×5=10，一个数能同时被2与5整除，则这个数也能被10整除，距38最近的整十数是40，38+2=40．即38至少加上2，所得的和能同时被2和5整除．故选：B．
点评：
首先由题意得出个数能同时被2与5整除，则这个数也能被2与5的最小公部数10整除是完成本题的关键．
3．下列各组数中，（ ）是2和5的公倍数．
A．
10、15、20、25、30
B．
10、50、1250、540
C．
50、65、128、240
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；由此解答即可．
解答：
解：是2的倍数的特征：个位数是0、2、4、6、8，是5的倍数的特征：个位数是0和5，所以是2和5的公倍数的数的个位数一定是0，结合选项可知：只有B符合题意；故选：B．
点评：
此题是考查2、3、5的倍数特征．关键是抓住同时是2、3、5的倍数，这个数的个位一定是0，各位上数的和一定是3的倍数这一特征．
4．有一个比20小的数，它既是3的倍数，又是4的倍数，这个数是（ ）
A．
18
B．
16
C．
12
D．
15
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
首先分别找出20以内3、4的倍数，进而找出的它们的公倍数．
解答：
解：20以内3的倍数有：3、6、9、12、15、18；20以内4的倍数有：4、8、12、16、20；所以20以内既是3的倍数，又是4的倍数的数是12．故选：C．
点评：
此题考查的目的是理解倍数、公倍数的意义，掌握求两个数的公倍数的方法．
二．填空题（共24小题）
5．任意两个数的乘积一定是这两个数的公倍数． √ ．（判断对错）
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
根据公倍数的意义，两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数．两个数的乘积一定是这两个数的公倍数这是正确的，举例证明即可．
解答：
解：比如4和12，12×4=48，48是12的倍数，48也是4的倍数，即48是4、12的公倍数；所以两个数的乘积一定是这两个数的公倍数是正确的；故答案为：√．
点评：
本题主要考查公倍数的意义，注意掌握两个数的乘积和这两个数的公倍数的关系．
6．一个两位数既是6的倍数，又是9的倍数，那么这个数最大是 90 ，最小是 18 ．
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
由题意可知：求这个两位数最小是多少，即求6和9的最小公倍数，求这个数最大是多少，即求100以内的6和9的公倍数，由此解答即可．
解答：
解：一个两位数既是6的倍数，又是9的倍数，那么这个数最大是：18×5=90；最小是18；故答案为：90，18．
点评：
明确求两个数公倍数的方法，是解答此题的关键．
7．四（1）班的人数是2的倍数，又是3的倍数，比50多、比60少，四（1）班有 54 人．
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
由题意得：四（1）班的人数既是2的倍数，又是3的倍数，切比50多、比60少，先求出2和3的公倍数，再找此符合条件的数即可．
解答：
解：比50多、比60少，2的倍数有：52、54、56、58；3的倍数有：51、54、57；其中54既是2的倍数，又是3的倍数，所以这个班有54人．故答案为：54．
点评：
此题主要考查利用求两个数的公倍数的方法灵活解决实际问题．
8．100以内6和8的公倍数有 24，48，72，96 ．
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，据此解答．
解答：
解：100以内6和8的公倍数有：24、48、72、96；故答案为：24，48，72，96．
点评：
此题考查的目的是理解公倍数的意义，掌握求两个数的公倍数的方法．
9．要使60□既是2的倍数，又是3的倍数，那么□里可以填 0、6 ．
考点：
公倍数和最小公倍数；2、3、5的倍数特征．
专题：
数的整除．
分析：
根据2，3的倍数特征可知：要想使三位数60□既是2的倍数又是3的倍数，个位上必须是0，2，4，6，8；还要满足6+0+□是3的倍数，据此分析解答．
解答：
解：要想使60□既是2的倍数又是3的倍数，个位上必须是0，2，4，6，8；还要满足6+0+□是3的倍数，因为6+0=6，6是3的倍数；6+0=6，6+2=8，6+4=10，6+6=12，6+8=14，而6、12是3的倍数，所以，□里可以填0、6；故答案为：0、6．
点评：
本题主要考查2，3倍数的特征：即该数的个位数是偶数，并且该数各个数位上数的和能被3整除．
10．找出下面各组数的公因数．
10和12 1、2
7和14 1、7
4和9 1
22和33 1、11
14和15 1
9和36 1、3、9
30和12 1、2、3、6
25和50 1、5、25
24和60 1、2、3、4、6、12 ．
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
根据公因数的含义：两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数；据此依次解答即可．
解答：
解：10和12的公因数有：1、2；7和14的公因数有1、7；4和9的公因数有：1；22和33的公因数有：1、11；14和15的公因数有1；9和36的公因数有：1、3、9；30和12的公因数有：1、2、3、6；25和50的公因数有：1、5、25；24和60的公因数有1、2、3、4、6、12；故答案为：1、2，1、7，1，1、11，1，1、3、9，1、2、3、6，1、5、25，1、2、3、4、6、12．
点评：
明确两个数的公因数的含义，是解答此题的关键．
11．先在空格里画“√”，再填空．
1
2
3
4
5
6
3的因数
4的因数
6的因数
（1）3和4的公因数有 1 ，最大公因数是 1 ．
（2）3和6的公因数有 1，3 ，最大公因数是 3 ．
（3）4和6的公因数有 1，2 ，最大公因数是 2 ．
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
两个非零自然数公有的因数叫公因数，其中最大的那一个公因数，叫最大公因数．
解答：
解：1234563的因数√√4的因数√√√6的因数√√√√根据上表可得：（1）3和4的公因数有
1，最大公因数是
1．（2）3和6的公因数有
1，3，最大公因数是
3．（3）4和6的公因数有
1，2，最大公因数是
2；故答案为：1，1；1，3，3；1，2，2．
点评：
本题考查了公因数与最大公因数的意义．
12．有一筐鸡蛋，当两个两个取、三个三个取、四个四个取、五个五个取时，筐内最后都是剩一个鸡蛋；当七个七个取出时，筐里最后一个也不剩．已知筐里的鸡蛋不足400个，那么筐内原来共有 301 个鸡蛋．
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
先求出2，3，4，5的最小公倍数是60，然后用试验法求出60的倍数加1能被7整除的数，即可得出答案．
解答：
解：2×2×3×5=60，然后用试验法求出60的倍数加1能被7整除的数；60+1=61，60×2+1=121，60×3+1=181，60×4+1=241，60×5+1=301，60×6+1=361；其中301能被7整除，所以筐内原来有301个鸡蛋；答：筐内原来共有301个鸡蛋；故答案为：301．
点评：
解答此题应根据题意，先求出2、3、4、5的最小公倍数，然后用试验法求出60的倍数加1能被7整除的数即可．
13．五年级两个班的学生一起排队出操，如果9人排一行，多出一个人；如果10人排一行，同样多出一个人．这两个班最少共有 91 人．
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
如果将两个班的人数减少1人，则9人一排或10人一排都正好排完没有剩余，所以两班人数减1是9和10的公倍数，又要求这两班至少有几人，可以求出9和10的最小公倍数，然后再加上1．所以，这两个班最少有9×10+1=91（人）．
解答：
解：9×10+1=91（人）；故答案为：91．
点评：
本题考查了最小公倍数在实际生活中的应用．
14．除以2、5、3余数都是1的数中最大的两位数是 91 ．
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
最大的两位数除以2、5、3余数都是1说明这个数比2、3和5的公倍数多1，要求这个数就要先求出它们的最小公倍数，再扩倍即可找出符合条件的数．
解答：
解：2、3和5的最小公倍数是：2×3×5=30，2、3和5的公倍数有：30，60，90，120…所以除以2、5、3余数都是1的数中最大的两位数是90+1=91；故答案为：91．
点评：
此题根据求几个数公倍数的方法，结合整除的意义解决问题．
15．一盒糖果可以平均分给2，3，4，5或6个小朋友，这盒糖果最少有 60 块．
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
糖的块数应是这几个数的倍数，求出这几个数的最小公倍数即可．
解答：
解：4=2×2，6=2×3，所以这几个数的最小公倍数是：2×2×3×5=60；故答案为：60．
点评：
此题考查运用求公倍数的方法来解决有关整数的实际问题，解答时注意所求数的范围，选择合理的方法．
16．一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3．这样的三位数共 5 个．
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
9、5、4的最小公倍数为180，满足条件的最小三位数为180+7=187．根据同余性质，7加上180的若干倍仍然是满足条件的数，即满足条件的三位数为：180n+7，其中n为正整数，且180n+7＜1000，据此解答．
解答：
解：根据分析知：9、5、4的最小公倍数为180，满足条件的最小三位数为180+7=187．根据同余性质，7加上180的若干倍仍然是满足条件的数，即满足条件的三位数为：180n+7，其中n为正整数，且180n+7＜1000，显然，n可取1、2、3…5．
满足条件的数为5个：187，367，547，727，907；故答案为：5．
点评：
本题主要考查的知识点：余数问题和最小公倍数问题．
17．求一个最小的自然数，使它除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4．这个数是 58 ．
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
根据这个自然数，它除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4入手，通过观察可以发现，这个自然数比3、4、5、6的最小公倍数少2，求出这几个数的最小公倍数减去2即可．
解答：
解：3、4、5、6的最小公倍数是60，60﹣2=58，故答案为：58．
点评：
此题巧用求几个数的最小公倍数，去解决问题．
18．已知三个连续自然数的最小公倍数是360，这三个数是 8，9，10 ．
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
先将360分解质因数360=2×2×2×3×3×5，进一步利用质因数的乘积找出三个连续的自然数，问题解决．
解答：
解：360=2×2×2×3×3×5，2×2×2=8，3×3=9，2×5=10；所以这三个数是
8，9，10．故答案为：8，9，10．
点评：
此题主要考查最小公倍数的逆运算，根据分解质因数进行数的组合得出答案．
19．小朋友们做游戏，若3人分成一组，则最后余下2人；若4人分成一组，则最后余下3人；若5人分成一组，则最后余下4人．那么一起做游戏的小朋友至少有 59 人．
考点：
公倍数和最小公倍数．
分析：
根据题意，因每次分组都会缺少1个人，所以小朋友的人数一定是3、4、5的最小公倍数再减去1，列式解答即可．
解答：
解：3、4、5的最小公倍数是：3×4×5=60，60﹣1=59（人）答：一起做游戏的小朋友至少有59人．故填：59．
点评：
解答此题的关键是分析出每次分组都缺少1人，那么参加的人数一定是每次分组的人数的最小公倍数减1．
20．既有因数3又是5的倍数的最大两位奇数是 75 ，最小三位数是 120 ．同时是2、3和5的倍数的最小两位数是 30 ，最小三位数是 120 ．
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
根据3的倍数的特征，各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数．5的倍数特征是：个位上是0或5的数是5的倍数．所以既有因数3又是5的倍数的最大两位奇数是75；最小三位数是120.2的倍数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数．所以同时是2、3和5的倍数的最小两位数是30，最小三位数是120．
解答：
解：根据2、3、5的倍数的特征，既有因数3又是5的倍数的最大两位奇数是75；最小三位数是120．同时是2、3和5的倍数的最小两位数是30，最小三位数是120．故答案为：75，120；30，120．
点评：
此题主要根据2、3、5的倍数的特征和公倍数的意义解答．
21．在30以内（不包括30）2和3的公倍数有 6，12，18，24 ；28和70的最大公因数是 14 ，它们的最小公倍数是 140 ．
考点：
公倍数和最小公倍数；求几个数的最大公因数的方法．
分析：
2和3的最小公倍数是6，30以内2和3的公倍数有：6，12，18，24；求28和70的最大公因数和最小公倍数，首先把这两个数分解质因数，公有质因数的积是它们的最大公因数，公有质因数和各自的质因数连乘积就是它们的最小公倍数．由此解决问题．
解答：
解：在30以内（不包括30）2和3的公倍数有：6，12，18，24；把28和70分解质因数：28=2×2×7；70=2×5×7；28和70的最大公因数是：2×7=14；最小公倍数是：2×7×2×5=140；故答案为：6，12，18，24，；14，140．
点评：
此题主要根据求两个数的公倍数、最小公倍数、最大公因数的方法解决问题．
22．两个数的公因数的个数是 B ，公倍数的个数是 A ．
A、无限的
B、有限的
C、只有1个
D、无法确定．
考点：
公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．
专题：
数的整除．
分析：
一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身；一个数的倍数的个数是无限的最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；由此解答．
解答：
解：因为一个数的因数的个数是有限的，所以两个数的公因数的个数也是有限的；因为一个数的倍数的个数是无限的，所以两个数的公倍数的个数也是无限的，只有最小公倍数，没有最大公倍数；故选：B；A．
点评：
此题关键是明确：一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身；一个数的倍数的个数是无限的最小的倍数是它本身，没有最大的倍数．
23．A和B是相邻的两个自然数，它们的公倍数一定是A和B的乘积． × ．
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
根据公倍数的意义可知，公倍数是两个数公有的倍数，有无数个，有最小的而没有最大的．相邻的两个自然数互质，互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积．据此解答．
解答：
解：相邻的两个自然数如4、5；4、5的最小公倍数是：4×5=20，公倍数还有20×2=40，20×3=60，20×4=80…，所以相邻的两个自然数的公倍数有无限个，其中最小的是它们的乘积．故答案为：×．
点评：
本题主要考查公倍数和最小公倍数的意义．
24．几个数共有的 倍数 叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫 最小公倍数 ．
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
根据公倍数和最小公倍数的含义进行解答即可即可．
解答：
解：几个数公有的倍数叫做它们的公倍数数，其中最小的公倍数叫做它们的最小公倍数．故答案为：倍数，最小公倍数．
点评：
此题考查了公倍数和最小公倍数的含义，注意平时对基础概念和含义的理解．
25．填上“＞”“＜”或“=”
2.700 = 2.7
8千克 ＞ 7800克
2千米56米 ＜ 2.56千米
6.060 ＜ 6.60．
考点：
公倍数和最小公倍数；质量的单位换算；长度的单位换算．
专题：
小数的认识；长度、面积、体积单位；质量、时间、人民币单位．
分析：
（1）（4）小数大小的比较方法，先比较小数的整数部分，整数部分大的这个小数就大，如果整数部分相同，就比较十分位，十分位大的这个小数就大，如果十分位相同，就比较百分位，百分位大的这个小数就大，如果百分位相同，就比较千分位…据此可解答．（2）（3）先统一单位，再比较大小．
解答：
解：2.700=2.7；
8千克=8000克，所以8千克＞7800克；2千米56米=2.056千米，所以2千米56米＜2.56千米；
6.060＜6.60．故答案为：=，＞，＜，＜．
点评：
本题考查了小数大小的比较方法以及单位的换算，小数大小的比较应从高位到低位依次进行比较，先比较整数部分，再比较小数部分．
26．两个数的公倍数的个数是无限的，那么两个数的公因数的个数也是无限的． 错误 ．
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
根据公因数和公倍数的意义：两个数的公因数是这两个数公有的因数，两个数的公倍数是这两个数公有的倍数，一个数的因数是有限的，则两个数的公因数的个数也是有限的，一个数的倍数的个数是无限的，所以两个数的公倍数的个数是无限的；据此解答．
解答：
解：由分析可知：两个数的公倍数的个数是无限的，两个数的公因数的个数也是无限的，说法错误；故答案为：错误．
点评：
本题考查公因数和公倍数的意义，应明确两个数的公因数的个数也是有限的，两个数的公倍数的个数是无限的．
27．14×15×ɑ的积（ɑ为非零自然数）一定是6和7的公倍数． √ ．
考点：
公倍数和最小公倍数．
专题：
数的整除．
分析：
因为14×15×ɑ=（2×7）×（3×5）×a=2×3×5×7×a=6×7×5×a，因为ɑ为非零自然数，所以14×15×ɑ的积（ɑ为非零自然数）一定是6和7的公倍数；据此判断即可．
解答：
解：14×15×ɑ=6×7×5×a（ɑ为非零自然数），所以14×15×ɑ的积（ɑ为非零自然数）一定是6和7的公倍数；故答案为：√．
点评：
此题还可以把原式=14×3×5×a=42×5×a，因为42是6、7的公倍数，所以14×15×ɑ的积（ɑ为非零自然数）一定是6和7的公倍数．
28．a除b的商是6（a、b都是自然数），则a、b的最大公约数是 A ，最小公倍数是 B
A．a
B．b
C.6
D.1．
考点：
公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．
分析：
a除b的商是6（a、b都是自然数），a能整除b，或b能被a整除，b是a的倍数，a是b的因数，则a、b的最大公约数是a，最小公倍数是b．
解答：
解：a能整除b，或b能被a整除，b是a的倍数，a是b的因数，则a、b的最大公约数是a，最小公倍数是b．故选：A，B
点评：
此题主要考查因数与倍数的关系，如果b是a的倍数，那么，a是b的因数，则a、b的最大公约数是a，最小公倍数是b．
三．解答题（共1小题）
29．两个自然数的公因数一定比它们的公倍数小． 正确 ．
考点：
公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．
分析：
两个自然数的公因数一定比它们的公倍数小，这是正确的，可以举例证明．
解答：
解：2和3的最大公因数是1，最小公倍数是6，1＜6，2和4的最大公因数是2，最小公倍数是4，2＜4，所以两个自然数的公因数一定比它们的公倍数小，这是正确的；故答案为：正确．
点评：
本题主要考查两个自然数的公因数和公倍数的意义．
成长足迹
课后检测
学习（课程）顾问签字：
负责人签字：
教学主管签字：
主管签字时间：
耐心
细心
责任心公倍数和最小公倍数
知识梳理
教学重、难点
作业完成情况
典题探究
例1．20和30的公倍数有无数个．
．
例2．如果A和B是互质数，那么A和B的最小公倍数是它们的乘积．
．
例3．一张长方形的纸，长40厘米，宽28厘米，要把它截成边长是最大的正方形纸片，一共可以截多少块？
例4．五年级A班在分组进行大扫除时，8人一组或6人一组都刚好分完．如果这个班人数在50人以内，那么，五年级A班可能是多少人？
例5．在□里填上合适的数，组成四位数，使它有因数2，且是3和5的公倍数．
162□
5□2□
14□□
演练方阵
A档（巩固专练）
一．选择题（共18小题）
1．（东莞）有两个两位数的自然数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，这两个数的和是（ ）
A．
96
B．
48
C．
60
2．（南京）任意两个数的（ ）的个数是无限的．
A．
公倍数
B．
公因数
C．
最小公倍数
D．
最大公因数
3．（白云区）红星小学六年级四个班的学生人数在165到170之间，其中男女人数的比是3：4，那么六年级学生的总人数是（ ）
A．
166
B．
167
C．
168
D．
169
4．（德江县模拟）32以内3和5的公倍数有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
5．（静宁县模拟）两个数的（ ）的个数是无限的．
A．
公因数
B．
公倍数
C．
最小公倍数
6．（儋州模拟）a、b是相邻的两个偶数（a、b均不为0），a和b的最小公倍数数是（ ）
A．
ab
B．
2ab
C．
a+b
D．
ab÷2
7．（来安县）323至少要加上（ ）才是2和3的公倍数．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
8．（大安区）a、b、c是非零自然数，a×b=c，下面的说法正确的是（ ）
A．
a是b的最大公因数
B．
b是a和c的公因数
C．
c是a和b的公倍数
D．
c是a和b的最小公倍数
9．（扬州）同学们去社区做好事，每组6人或9人，都正好不多也不少．去社区做好事的同学至少有（ ）人．
A．
3
B．
9
C．
18
D．
54
10．（2008?金坛市）下面四句话中，表述正确的语句共有（ ）
（1）周长相等的正方形和圆，圆的面积大．
（2）两个数的公倍数一定比这两个数都大．
（3）圆锥体的体积是与它等底等高圆柱体体积的三分之一
（4）若干个相同的梯形一定能够进行图形密铺．
A．
1句
B．
2句
C．
3句
D．
4句
11．m与n都是非零的自然数，m=12n，m和n的最小公倍数是（ ）
A．
12
B．
m
C．
n
12．71以内3和5的公倍数有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
13．有任何两个自然数的（ ）的个数是无限的．
A．
公倍数
B．
公因数
C．
倍数
14．48是6和8的（ ）
A．
最大公约数
B．
公倍数
C．
最小公倍数
15．下面各组数中公倍数有36的是（ ）
A．
12和8
B．
21和14
C．
6和18
D．
8和9
16．同时是2、3、5的倍数的两位数有（ ）
A．
1
个
B．
2
个
C．
3个
D．
4个
17．24是8和12的（ ）
A．
公因数
B．
最小公倍数
C．
最大公因数
18．六（1）班的学生数在30～60人之间，其中喜爱跳绳，同学喜爱跳皮筋，六（1）班有（ ）人．
A．
21
B．
42
C．
49
D．
63
二．填空题（共9小题）
19．（龙海市模拟）50以内6和8的公倍数有
，6和8的最小公倍数是
；9和27的公因数有
，9和27的最大公因数是
．
20．（南安市）能同时被2、3、5整除的最大三位数是
．
21．（白云区）两个数的乘积一定是这两个数的公倍数．
．（判断对错）
22．（无棣县）两位数“2□”是2和3的公倍数，□里的数是
．这个两位数与16的最大公因数是
．
23．（鞍山）A=2×2×3，B=2×2×2×2．A和B的最大公约数是
，最小公倍数是
．
24．（海门市）两位数“2□”是2和3的公倍数，□里的数是
，这个两位数与36的最大公因数是
．
25．（武汉模拟）甲、乙两数的最大公约数是75，最小公倍数是450．若它们的差最小，则两个数为
和
．
26．（富源县）能同时被2、3、5整除的最大两位数是
，将它分解质因数为
．
27．（合川区）如果a=2×3×7，b=2×3×5，那么a和b的最大公因数是
，最小公倍数是
．
三．解答题（共1小题）
28．（台湾模拟）求最小整数，被三除余二，被五除余三，被七除余四？
B档（提升精练）
一．选择题（共15小题）
1．两个数的（ ）的个数是无限的．
A．
最大公因数
B．
最小公倍数
C．
公因数
D．
公倍数
2．在A×B=12中，12肯定是A、B的（ ）
A．
最小公倍数
B．
最大公因数
C．
公倍数
3．某班的学生不论分成4人一组还是6人一组，都正好分完．下列数据中（ ）可能是这个班的人数．
A．
40
B．
36
C．
30
4．大于而小于的分数有（ ）个．
A．
1
B．
2
C．
无数
5．两个数（不为0的自然数）的积一定是这两个数的（ ）
A．
公倍数
B．
最小公倍数
C．
公约数
D．
最大公约数
6．12是2和6的什么数？（ ）
A．
倍数
B．
公倍数
C．
最小公倍数
7．36是6和9的（ ）
A．
倍数
B．
公倍数
C．
最小公倍数
8．下列说法中，（ ）是错误的．
A．
4是4的倍数
B．
4是4和8的公因数
C．
4是4的最小公倍数
9．下面各数中除以2和除以5都没有余数的是（ ）
A．
284
B．
560
C．
105
D．
883
10．50以内6和8的公倍数有（ ）
A．
24、48
B．
18、24、30
C．
30、48
11．8和6的公倍数有（ ）
A．
1个
B．
4个
C．
无数个
12．同时是2和5的倍数的最小三位数是（ ）
A．
120
B．
100
C．
210
D．
150
13．下面数中（ ）既有因数3，又是4的倍数．
A．
36
B．
68
C．
6
D．
76
14．64是16和8的（ ）
A．
公倍数
B．
因数
C．
最小公倍数
D．
无法确定
15．18和36的公倍数，一定是（ ）
A．
18和36乘积的倍数
B．
18的倍数
C．
既是18的倍数又是36的倍数
二．填空题（共9小题）
16．100以内6和8的公倍数有
，其中最小公倍数是
．
17．一个数既能被2整除，又有约数3，又是5的倍数，这个数最小是
．
18．14×15×ɑ的积（ɑ为非零自然数）一定是6和7的公倍数．
．
19．同时是2和5的倍数的最大两位数是
，157至少加上
才是3的倍数．
20．12既是12的最大公因数，又是12的最小公倍数．
．
21．a除b的商是6（a、b都是自然数），则a、b的最大公约数是
，最小公倍数是
A．a
B．b
C.6
D.1．
22．五（1）班学生不到60人，进行队列表演，每行12人或者每行16人都正好每行同样多人，这个班的学生共有
人．
23．36是12和18的
A．公因数
B．公倍数
C．最大公因数
D．最小公倍数．
24．50以内6和8的公倍数有
．
三．解答题（共4小题）
25．6年级1班大约有50人左右，排座位时老师发现刚好可以排成6排或8排，求6年级1班的学生人数．
26．求下列各题中两数的公倍数
（1）8和12．
（2）42和14
（3）16和24．
27．同时具有因数2、3、5的最小的两位数是30．
．
28．如果甲能整除乙，那么乙一定是甲、乙的公倍数．
．
C档（跨越导练）
一．选择题（共4小题）
1．一个盒子里有红、白、黑三色珠子共27个，其中红色珠子的个数占白色珠子的，那么盒子里最多有（ ）颗红珠子．
A．
3
B．
6
C．
8
D．
18
2．38至少加上（ ），所得的和能同时被2和5整除．
A．
1
B．
2
C．
7
3．下列各组数中，（ ）是2和5的公倍数．
A．
10、15、20、25、30
B．
10、50、1250、540
C．
50、65、128、240
4．有一个比20小的数，它既是3的倍数，又是4的倍数，这个数是（ ）
A．
18
B．
16
C．
12
D．
15
二．填空题（共24小题）
5．任意两个数的乘积一定是这两个数的公倍数．
．（判断对错）
6．一个两位数既是6的倍数，又是9的倍数，那么这个数最大是
，最小是
．
7．四（1）班的人数是2的倍数，又是3的倍数，比50多、比60少，四（1）班有
人．
8．100以内6和8的公倍数有
．
9．要使60□既是2的倍数，又是3的倍数，那么□里可以填
．
10．找出下面各组数的公因数．
10和12
7和14
4和9
22和33
14和15
9和36
30和12
25和50
24和60
．
11．先在空格里画“√”，再填空．
1
2
3
4
5
6
3的因数
4的因数
6的因数
（1）3和4的公因数有
，最大公因数是
．
（2）3和6的公因数有
，最大公因数是
．
（3）4和6的公因数有
，最大公因数是
．
12．有一筐鸡蛋，当两个两个取、三个三个取、四个四个取、五个五个取时，筐内最后都是剩一个鸡蛋；当七个七个取出时，筐里最后一个也不剩．已知筐里的鸡蛋不足400个，那么筐内原来共有
个鸡蛋．
13．五年级两个班的学生一起排队出操，如果9人排一行，多出一个人；如果10人排一行，同样多出一个人．这两个班最少共有
人．
14．除以2、5、3余数都是1的数中最大的两位数是
．
15．一盒糖果可以平均分给2，3，4，5或6个小朋友，这盒糖果最少有
块．
16．一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3．这样的三位数共
个．
17．求一个最小的自然数，使它除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4．这个数是
．
18．已知三个连续自然数的最小公倍数是360，这三个数是
．
19．小朋友们做游戏，若3人分成一组，则最后余下2人；若4人分成一组，则最后余下3人；若5人分成一组，则最后余下4人．那么一起做游戏的小朋友至少有
人．
20．既有因数3又是5的倍数的最大两位奇数是
，最小三位数是
．同时是2、3和5的倍数的最小两位数是
，最小三位数是
．
21．在30以内（不包括30）2和3的公倍数有
；28和70的最大公因数是
，它们的最小公倍数是
．
22．两个数的公因数的个数是
，公倍数的个数是
．
A、无限的
B、有限的
C、只有1个
D、无法确定．
23．A和B是相邻的两个自然数，它们的公倍数一定是A和B的乘积．
．
24．几个数共有的
叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫
．
25．填上“＞”“＜”或“=”
2.700
2.7
8千克
7800克
2千米56米
2.56千米
6.060
6.60．
26．两个数的公倍数的个数是无限的，那么两个数的公因数的个数也是无限的．
．
27．14×15×ɑ的积（ɑ为非零自然数）一定是6和7的公倍数．
．
28．a除b的商是6（a、b都是自然数），则a、b的最大公约数是
，最小公倍数是
A．a
B．b
C.6
D.1．
三．解答题（共1小题）
29．两个自然数的公因数一定比它们的公倍数小．
．
成长足迹
课后检测
学习（课程）顾问签字：
负责人签字：
教学主管签字：
主管签字时间：
耐心
细心
责任心
