(共27张PPT)
13.1.2
定理与证明
数学华师版
八年级上
1、什么是命题？怎样分类？
命题:判断一件事情的语句叫命题。
(1)命题的结构:命题由题设和结论两部分构成，常可写成“如果..，那么...”的形式。
(2)命题的分类:
正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
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2、怎样判断命题的真假？
判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用逻辑推理的方法证明(公理和定理都是真命题)
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。
复习导入
复习导入
命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等；⑤两个锐角的和是锐角．其中真命题是(
)
A.
①②
B.
①③
C.
③④
D.
③⑤
解：对顶角相等，①是真命题；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，
②是真命题；
相等的角不一定是对顶角，③是假命题；
两直线平行，同位角相等，④是假命题；
两个锐角的和是锐角或直角或钝角，⑤是假命题．
故选A．
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新知讲解
两点确定一条直线;
两点之间，线段最短;
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
公认的真命题
有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理(
theorem).
新知讲解
新知讲解
(1)一位同学在钻研数学题时发现:
2+1=3,
2x3+1=7,
2x3x5+1=31,
2x3x5x7+1=211.
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从
质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定
也是质数，他的结论正确吗?
新知讲解
计算一下2
x3x5x7x11+1
与2x3x5x7x11x13+1，你发现了什么?
解：∵2×3×5×7×11×13+1=30031，
30031=59×509，
∴30031是合数，故他的结论不正确．
新知讲解
(2)如图13.1.1所示，一位同学在画图时发现:三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗?
图13.1.1
新知讲解
画一个钝角三角形试试看.
A
C
B
钝角三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的外部
新知讲解
(3)
我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七
边形等的内角和,得到一个结论：n边形的内角和等于
(n-2)
x
180°，这个结论正确吗?是否有一个多边形的
内角和不满足这一规律?
正确
根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明(
proof).
新知讲解
A
C
新知讲解
已知:如图13.
1.2，在△ABC中，∠C=
90°.
求证:∠A+∠B=
90°.
证明:∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角
和等于180°)
,
又∵∠C=90°(已知)，
∴∠A+∠B=180°-∠C
=90°(等式的性质).
B
新知讲解
变式
如图，若∠1=∠C，AB//CE，则∠A=∠C.请用推理的方法说明它是真命题．
证明：∵AB//CE(已知)，
∴∠1=∠A(两直线平行，同位角相等)，
∵∠1=∠C(已知)，
∴∠A=∠C(等量代换)．
所以此命题是真命题．
证明真命题的步骤：
(1)根据题意画出图形;
(2)根据题设和结论，结合图形，写出已知和求证;
(3)经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程.
证明假命题的方法一
举反例
新知讲解
课堂练习
1、下列说法中错误的是(
)
A.
所有的命题都是定理
B.
定理是真命题
C.
有的定理可作为证明其他定理的依据
D.
证实命题正确与否的推理过程叫证明
课堂练习
解：A.只有经过推理判断为正确的命题才可以是定理，故本选项错误；
B.定理是真命题，故本选项正确；
C.有的定理可以作为证明其他定理的依据，故本选项正确；
D.证实命题正确与否的推理过程叫证明，故本选项正确．
故选A．
课堂练习
2、给出下列几个命题，其中真命题的个数是(
)
①若a>b则ac2>bc2
②三条直线a，b，c，若a//b，b//c则a//c
③内错角相等
④若直线l1⊥l2，l1⊥l3，则l2//l3
⑤垂线段最短
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
课堂练习
解：①若a>b则ac2>bc2，a，b可能有一个为零，所以是假命题;
②三条直线a，b，c，若a//b，b//c则a//c，是真命题;
③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，是假命题;
④在同一平面内，三条直线l1、l2、l3，若直线l1⊥l2，l1⊥l3，则l2//l3，是假命题;
⑤直线外一点到这条直线的所有线段中垂线段最短，是假命题．即命题②是真命题，
故答案为A．
拓展提高
3、如图，现有以下3句话：①AB//CD；②∠B=∠C；③∠E=∠F.请以其中两句话为条件，第三句话为结论构造命题．
(1)你构造的是哪几个命题？
(2)你构造的命题是真命题还是假命题？请选择一个加以证明．
拓展提高
解：(1)命题1：条件①②，结论③；命题2：条件①③，结论②；命题3：条件②③，结论①．
(2)三个命题都是真命题．选择命题1
证明：∵AB//CD，
∴∠B=∠CDF．
∵∠B=∠C，∴∠C=∠CDF，
∴CE//BF，
∴∠E=∠F．
课堂总结
1、什么是定理？
有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理
2、什么是证明？
根据条件定义以及基本事实定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明
板书设计
课题：13.1.2
定理与证明
?
教师板演区
?
学生展示区
一、定理
二、证明
三、例题
作业布置
基础作业：
课本P58练习第1题
练习册基础
能力作业：
课本P58练习第2题中小学教育资源及组卷应用平台
华师版数学八年级上13.1.2定理与证明导学案
课题
13.1.2定理与证明
单元
第13章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1理解基本事实、定理等概念.
2.理解证明的概念，并会对真命题进行证明.
重点
难点
理解证明的概念，并会对真命题进行证明.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
预习课本，完成下列各题：
1、
下列语句正确的是(
)．
A.
所有命题都有逆命题
B.
所有定理都有逆定理
C.
真命题的逆命题一定是真命题
D.
假命题的逆命题一定是假命题
2、
完成下列证明．
如图，在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角．
证明：假设结论不成立，
则∠B是_________或_________．
当∠B是_________时，
则__________________，
这与_______________________矛盾；
当∠B是_________时，
则__________________，
这与__________________矛盾．
综上所述，假设不成立．
所以∠B一定是锐角．
合
作
探
究
探究一：
两点确定一条直线;
两点之间，线段最短;
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理(
theorem).
(1)一位同学在钻研数学题时发现:
2+1=3,
2x3+1=7,
2x3x5+1=31,
2x3x5x7+1=211.
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从
质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定
也是质数，他的结论正确吗?
计算一下2
x3x5x7x11+1与2x3x5x7x11x13+1，你发现了什么?
(2)如图13.1.1所示，一位同学在画图时发现:三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗?
图13.1.1
画一个钝角三角形试试看.
(3)
我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和,得到一个结论：n边形的内角和等于(n-2)
x
180°，这个结论正确吗?是否有一个多边形的内角和不满足这一规律?
根据条件定义以及基本事实定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明(
proof).
探究二：
已知:如图13.
1.2，在OABC中，∠C=
90°.求证:∠A+∠B=
90°.
注意：如果要证明一个文字语言叙述的证明题,而没有给出图形、已知、求证,
我们要证明这个命题，必须:
1.首先必须根据命题的要求准确的画出图形，标出字母.
2.再根据要求按照图中所标字母写出数学语言表示的已知和求证.
3.如果命题已给出已知和求证,就可以按照所学有关公理、
定理、性质等直接进行证明
当
堂
检
测
1、下列说法中错误的是(
)
A.
所有的命题都是定理
B.
定理是真命题
C.
有的定理可作为证明其他定理的依据
D.
证实命题正确与否的推理过程叫证明
2、给出下列几个命题，其中真命题的个数是(
)
①若a>b则ac2>bc2
②三条直线a，b，c，若a//b，b//c则a//c
③内错角相等
④若直线l1⊥l2，l1⊥l3，则l2//l3
⑤垂线段最短
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
3、如图，现有以下3句话：①AB//CD；②∠B=∠C；③∠E=∠F.请以其中两句话为条件，第三句话为结论构造命题．
(1)你构造的是哪几个命题？
(2)你构造的命题是真命题还是假命题？请选择一个加以证明．
课
堂
小
结
1、什么是定理？
2、什么是证明？
参考答案
自主学习：
1、解：A、每个命题都有逆命题，所以A选项正确；
B、每个定理不一定有逆定理，所以B选项错误；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，所以C选项错误；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，所以D选项错误．
故选A．
2、证明：假设结论不成立，则是直角或钝角．
当是直角时，
则，
这与三角形内角和定理矛盾；
当是钝角时，
则，
这与三角形内角和定理矛盾．
综上所述，假设不成立．
所以一定是锐角．
故答案为直角；钝角；直角；；三角形内角和定理；钝角；；三角形内角和定理．
合作探究：
探究一：
(1)解：∵2×3×5×7×11×13+1=30031，
30031=59×509，
∴30031是合数，故他的结论不正确．
(2)
钝角三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的外部
正确
探究二：
证明:∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)
,
又:∠C=90°(已知)，
∠A+∠B=180°-∠C
=90°(等式的性质).
当堂检测：
1、解：A.只有经过推理判断为正确的命题才可以是定理，故本选项错误；
B.定理是真命题，故本选项正确；
C.有的定理可以作为证明其他定理的依据，故本选项正确；
D.证实命题正确与否的推理过程叫证明，故本选项正确．
故选A．
2、解：①若a>b则ac2>bc2，a，b可能有一个为零，所以是假命题;
②三条直线a，b，c，若a//b，b//c则a//c，是真命题;
③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，是假命题;
④在同一平面内，三条直线l1、l2、l3，若直线l1⊥l2，l1⊥l3，则l2//l3，是假命题;
⑤直线外一点到这条直线的所有线段中垂线段最短，是假命题．即命题②是真命题，
故答案为A．
3、解：(1)命题1：条件①②，结论③；命题2：条件①③，结论②；命题3：条件②③，结论①．
(2)三个命题都是真命题．选择命题1
证明：∵AB//CD，
∴∠B=∠CDF．
∵∠B=∠C，∴∠C=∠CDF，
∴CE//BF，
∴∠E=∠F．
课堂小结：
1、有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理
2、根据条件定义以及基本事实定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明
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精品试卷·第
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