探索规律（三）
一、教学目标
【知识与技能】
理解和掌握商不变性质，会灵活运用商不变性质解题。
【过程与方法】
使学生理解和掌握被除数、除数同时扩大(或缩小)相同的倍数，商不变的性质。
培养学生初步的抽象概括能力，并能应用“商不变的性质”能口算整十整百的除法。
【情感态度与价值观】
培养学生合作意识，在合作中体现团队精神，继续激发学生的数学学习兴趣，培养对数学的亲近感。
二、教学重难点
【重点】
商不变性质的理解、掌握和应用。
【难点】
正确理解“同时”、“同一个数”、“0除外”。
三、教学过程
(一)导入新课
设置情景引入课题
有一年萝卜获得了大丰收，兔妈妈领着孩子们在收萝卜，孩子们干得热火朝天，很快就收完了。为了奖励孩子们，兔妈妈奖给16只白兔32个香蕉，8只灰兔16个香蕉，4只黑兔8个香蕉，黑兔不高兴的说妈妈偏心眼。
小朋友们动脑筋想一想：兔妈妈偏心眼了吗?为什么?你是怎样列式的?这就是我们今天要研究的新问题“商不变的性质”(板书)
(二)生成新知
1.计算下面两组题，你能发现什么?
教师让学生进行计算，引导学生有次序地观察，并交流各自的发现。
教师进行总结：(1)除数不变，被除数乘几，商也乘几。
(2)被除数不变，除数乘几，商反而除以几。
提问：从下往上观察，你又能发现什么?
教师引导学生观察交流，并作出总结：
(1)除数不变，被除数除以几，商也除以几。
(2)被除数不变，除数除以几，商反而乘以几。
2.计算并观察下面的题
你发现了什么规律?
学生进行计算、观察与交流，教师作出总结并板书
(1)从上往下观察：被除数和除数都乘以一个相同的数，商不变。
(2)从下往上观察：被除数和除数都除以一个相同的数，商不变。
3.给出两个算式
同时乘以0或同时除以0，行不行?
学生进行观察、交流讨论。
教师总结：同乘或同除以的数不能是0.
综合上述各种结论，教师作出最终总结并板书：
被除数和除数同时乘以或除以相同的数(零除外)，它们的商不变。这叫做商不变的性质。
(三)深化新知
提问：乘以几也可以说是扩大几倍，除以几也可以说是缩小几倍。那么商不变的性质还可以怎么表述?
答：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数(零除外)，它们的商不变。
(四)应用新知
2.两个数相除的商是20，如果被除数和除数都乘以8，那么商是
.
3.被除数缩小5倍，要使商不变，除数应(
)
A.缩小5倍
B.乘以5
C.扩大5倍
D.减少5
(五)小结作业
小结：通过这节课的学习，你有什么收获?
你对今天的学习还有什么疑问吗?
作业：课本课后相关习题
四、板书设计
商不变的性质
定义：被除数和除数同时乘或者除以相同的数（0除外），他们的商不变。
要点：同时
同一个数
0除外（西师版）四年级上册：
探索规律（一）
教学目标：
1.能借助计算器探索出乘法算式的一些简单规律；
2.通过观察、比较、猜测、验证、推理、交流等数学活动；让学生经历探索规律的过程，培养初步的逻辑思维能力和推理能力。
教学重点：
能借助计算器探索出乘法算式的一些简单规律。
教学难点：
通过观察、比较、猜测、验证、推理、交流等数学活动；让学生经历探索规律的过程，培养初步的逻辑思维能力和推理能力。
教具学具准备：
计算器、导学单、PPT课件、视频展示台
教学过程；
一、复习旧知，激趣引入；：
11×11=
11×12=
11×13=
11×14=
11×35=
11×26=
11×57=
11×82=
想：上面的8道乘法运算都有什么共同的特征？这类11×（）=（）的乘法有什么规律？你是怎么发现这个规律的？
教师：数学计算中很多这样的运算，在它们的运算结果中我们会发现很多奇妙的规律呢？学生自由猜测。
教师：今天我们就来探索规律。板书课题：探索规律
二、探索规律
（一）教学例1
1、出示导学单，了解自学要求：
2、学生完成导学单
3、学生汇报结果，教师板书：
1×1=1
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
教师：认真观察上面的因数及最后的积，你发现了什么规律？（如：两个因数有什么特征？积的位数与因数的个数有什么关系？等）
学生1：我发现当算式中两个因数相等，而且每个数位上的数字都是1时，两个一位数相乘，积是一位数；两个两位数相乘，积是三位数，两个三位数相乘，积是五位数；两个四位数相乘，积是七位数。也就是积的位数总比两个因数位数的和少一位。
教师：你是怎样发现这个规律的？
引导学生说出：是用每个算式的积和它们的因数相比得到的规律。
教师：观察、比较是我们在寻找规律中用得比较多的方法，还有没有不一样的发现？
学生2：我发现它们的积很有趣，你看1×1=1，每个因数里有1个1，积就是1；11×11=121每个因数里有2个1，积从左到右就从1开始排到2，然后又排回1；111×111=12321每个因数里有3个1，积就从1排到3再排回到1??
教师：也就是说如果因数中有几个1，积就从1开始从左到右排到几，然后又排回到1。如果每个因数里有4个1，积就从1排到4，即1234，再接着排回来321，组成积1234321。
学生3：我还发现从第二个算式1111×11111的积。
学生：11111×11111=123454321。
教师：你是怎样想的？学生只要能用自己的语言表述清楚就可以了。
教师：我们用这个规律推测11111×11111的积是否正确，还是用计算器来验证一下。学生验证后发现确实正确，证明学生发现的规律是科学的。
（4）总结学习方法：观察、比较、猜想、验证、运用
（5）小练习：
（1）用计算器计算：
9×7=
99×97=
999×997=
9999×9997=
（2）你发现了什么规律？是怎样发现这个规律的？
（3）用你总结的规律来推测：999999×999997=
（4）用计算器进行验证上：999999×999997=
（二）教学例2。
教师：刚才我们探索了乘法算式的规律，下面再来看看这几组除法算式。
出示例2中的算式：
2424÷101=
2424÷202=
2424÷404=
4848÷101=
4848÷202=
4848÷404=
教师：我们前面是怎样探索乘法算式的规律的？
学生：先有计算器算出算式的结果，再用观察、比较的方法来发现规律。
教师：我们就用同样的方法来探索除法算式的规律。
学生用计算器算出得数，以小组为单位合作探索规律，然后组织汇报。
让学生观察：
424÷101=24
2424÷202=12
2424÷404=64
848÷101=48
4848÷202=24
4848÷404=12
学生1：我们组把这些算式横着比较，发现每一排算式的被除数都没有变，而除数则从左往右依次扩大，再比较商，发现商从左往右依次缩小相同的倍数。
学生2：我们组是竖着比的，竖着又可以看出是除数不变，被除数在扩大，商随被除数的扩大而扩大相同的倍数。如果这里学生没有发现被除数、除数和商之间的关系，以及组成上的共同规律，教师可以进行引导，如果有学生发现，就让他说说有怎样的关系。
下面按有学生发现这个规律设计。
学生3：我们组还有不同的发现，因为2424÷101=24，它的商是被除数的后两位“24”，同样4848÷101=48的商也是被除数的后两位“48”，我们认为像这一类算式还有一个规律就是它的商就是被除数的后两位。
教师：那么根据这个规律可不可以推测出2424÷202=，2424÷404=，4848÷202=，4848÷404=的商呢？
学生3：可以。
教师：怎么推测？
学生：从第一组得到的当被除数不变，除数扩大多少倍，商就缩小多少倍的规律，我们就可以知道2424÷202的商就是2424÷101的商缩小2倍，也就是12??
教师随学生回答板书的这些规律。
学生用规律计算余下的一组算式：
9696÷101
9696÷202，9696÷404，
再组织学生用计算器检验。
教师：得到什么结论？
学生：我们发现的规律都是正确的。
三、巩固拓展：
1、根据123456789×9=111111111，直接写出下列算式的得数。
123456789×18=
123456789×27=
123456789×45=
123456789×63=
123456789×72=
123456789×81=
请将依据上题，把规律补充完整：在乘法算式中，一个因数不变，另一个因数
.
2、请根据552÷46=12，直接写出下列算式的得数。
552÷92=
552÷138=
552÷184=
1104÷46=
1656÷46=
2208÷46=
四、总结提升：在今天的学习中你有什么收获？
五、数学中还有很多规律等待着我们去探索与发现。让我们从观察，计算
比较，猜测，验证入手，找出规律，将数学这门用“简单的办法解决复杂的问题的学科”玩在手中。
板书设计：
探索规律
一观察，
二计算
三比较
四猜测
五验证
六规律
11乘以两位数：两边一拉，中间相加探索规律
教学目标：
1.能借助计算器进行比较复杂的除法运算，探索乘除法算式的简单规律
2.培养学生的观察、比较、概括、迁移、推理能力，积累数学活动经验。
教学重难点：
【教学重点】
发现并运用积的变化规律。
【教学难点】
积的变化规律的探究策略。
教学准备：计算器、题单、课件、卡片
教学过程：
一.激趣导入
1.师：听说咱们班同学的记忆力超强，是不是？（是）现在我们进行一个记忆力比赛，怎么样？男生一组，女生一组，看谁能在10秒钟内记住这20个数字，（课件出示）开始！
(
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
)
(
1
，
2
，
4
，
7
，
5
，
8
，
3
，
6
，
9
，
4
，
1
，
0
，
4
，
8
，
2
，
9
，
0
，
3
，
6
，
7
)
2.师宣布结果：女生获胜！
结果引发男生冲突：比赛不公平！师追问为什么？（因为女生的数字有规律）如无冲突，师问：男生有意见吗？（有）指名说。
师：女生记的这组数字有规律，记忆起来比较容易。今天我们就继续来探索算式中的规律。板书课题：探索规律
二.教学例1
1.课件直接出示例1
2.师：请看例1，有序地观察这几组算式，你有什么发现？同桌互相交流。
生1:因数的位数在增加。
生2:积的位数也在增加。
师相机板书：因数，积
3.师小结：刚才这组乘法算式，我们观察的顺序是（从上往下），我们观察了什么（因数和积的变化规律）我们发现：（课件出示）：课件内容：从上往下看：
因数：
1.）全部由数字“1”组成；
2）因数的位数在变；
积：
中间数字跟因数的什么有关系？
通过观察、比较，我们发现：因数有几个1，积就从1排到几，再接着排回1。
4.师：根据上面的规律，写出11111
11111的积。
7.师：拿出你的计算器，马上验证。
8.生练习反馈后随即让大家用计算器进行验证.师：怎么样？生：对。
9.及时练习。题单出示课堂活动第2题
用计算器计算
9
7
99
97
999
997
9999
9997
根据上面的规律，写出999999
999997的积。
师：请你们用刚才学到的方法，完成题单第一题。
10.师：指名三位同学每人依次用计算器计算一道题，其他同学在题单上填写答案。
11师:根据上面的规律，完成最后一题。
12.做得快的学生完成后，订正答案，师追问：你的方法是？生：我找到的规律是：每个积中的9和7的个数一样，第2个因数有几个9，积
师：看来找准规律后会让我们计算更（方便、快捷）！
三.教学例2
1.师过渡语：刚才我们利用观察、比较的方法探索了乘法算式的规律，这样的方法在除法算式中同样适用，请看例2。（板书：除法算式）
2.课件出示例2
3.师：请同学们用计算器算出其余三道题的答案，仔细观察，你发现了什么规律？小组内讨论。
4.小组讨论.
5.生自由汇报
横看……
竖看……
斜看……
师注意引导学生说出“观察、比较”这些字样，并根据回答随机板书：被除数、除数、商
6.师小结：同学们说得很好，我们一起来回顾一下。（课件出示3条规律）
学生齐读
7.师：过渡语：对于有规律的题，找准规律后，速度上往往可以超越计算器，不信？我们再来个比赛怎么样？
比赛规则：前面4位女生使用计算器，其余同学用学到的规律，看谁第一个做对，就获胜！
师：请看题单第2题，比赛开始！（课件出示）
根据552/46=12，直接写出下列各题的商。
552/92=
552/138=
552/184=
1104/46=
1656/46=
2208/46=
8.师宣布比赛结果，课件显示正确答案订正。
师：通过比赛，用规律解题让我们超越了计算器！
9.师：孩子们，其实生活中还有很多事物也存在一定规律。譬如：日历中的规律，高铁座位号、四季交替的自然规律……通过实践，我们体会到只要找到规律，解决问题便会事半功倍！所以我们要有一双会发现规律的眼睛！
下面我们来运用规律解决问题！
四.巩固练习。
五.课堂小结：这节课你有什么收获？
1.探索规律的方法：观察、比较、验证
2.乘法算式中……
除法算式中……
五、板书设计
探索规律
方法：
观察
比较
乘法算式
因数…
积…
除法算式
被除数…除数…商…
意义：
方便
快捷
题单设计
小题单（随堂练习）
巩固练习
一.根据规律填空。
1.
101
14=1414
202
14=2828
303
14=4242
404
14=（
）
2.
99999
11=1099989
99999
12=1199988
99999
13=1299987
99999
14=（
）
二.先用计算器计算，再根据规律写出两个具有这一规律的算式。
81/9=
9801/99=
998001/999=
99980001/999=
（
）
（
）探索规律
教学目标
借助计算器探索积的变化规律和商的变化规律，并知道这些规律在计算和解决实际问题中的具体应用。
经历观察、比较、综合、归纳等数学思维活动，进一步体验探索数学规律、发现数学结论的基本方法，培养抽象概括能力及善于观察、勤于思考、勇于探索的良好习惯。
教学重难点
教学重点：
能借助计算器探索出乘法算式的一些简单规律。
教学难点：
通过观察、比较、猜测、验证、推理、交流等数学活动；让学生经历探索规律的过程，培养初步的逻辑思维能力和推理能力。
教学过程
课前对话
师：静息。
生：休息
师：抬头
生：做好
师：真乖！孩子们，今天我们在这里上课，用到了一件平时不常用的工具
生：计算器
师：对，为了不影响我们上课，老师希望：我让你们用时你们就拿出来，不用时，就让它安静的躺在桌角，可以吗？
生：可以
师：好，我们练习一下。拿出计算器（生做）放好计算器（生做）
师：真棒！准备好上课了吗？（值日生）
复习引入
师：孩子们，早就听说四年级10班的孩子个个思维灵活，数学学得特别好，是这样吗？
生：是
师：好，考考你们！（手势）找规律填空
师：第一题，谁来说说你的答案？
生1：15.18，规律是前一个数加3等于后一个数
师：说得真好！第二题
生：13.21规律是前两个数相加等于后一个数
师：回答得真不错！下一题
生：3.15规律是……
师：你的声音真洪亮！第四题
生：前一个数除以2等于后一个数
师：非常正确，最后一题
生：
师：你回答得真不错！看来苏南小学四年级10班的孩子都有一双善于观察的眼睛，回答问题声音很洪亮，我喜欢！今天我们就来继续探索规律！（板书：探索规律）
。
探索积与因数的规律
师：老师这里有一个算式，8个1乘8个1，谁知道的数是多少？（课件出示11111111×11111111）
师：我们先观察这个算式，这两个因数有什么特别的地方？
生：两个因数相等，且每个数位上的数字都是1.
师：你的观察真仔细！并且每个因数都有几个1？
生：8个1
师：哇！8个1，好大呀，不好研究，怎么办？
生：那就把数字变小一点研究（要是学生说不出来，师接着说那我们就把数字变小一点研究好不好？）
师：那我们就从最小的算式……
生：1×1
师：接下来又是那个算式？
生：11×11
师：在接下来…
生：111×111
师：好，请拿出题单，用你喜欢的方式算出这三个算式的得数。
师：算好的同学请用坐姿告诉我。谁来说说你的答案。
生：第一个算式的积是1，第二个121，第三个12321
师：和他一样的请举手。观察这些算式，你有什么发现？（停顿3秒）把你的发现跟同桌交流一下。
师：谁来说说你的发现？
生1：第一个算式是1，第二个算式的积中间是2，第三个中间是3
师：这是你的发现，还有吗？
生2：积的两边都是1
师：你的意思是说积从1开始又回到了1，是吗？还有要补充的吗？
生3：第一个是1，第二个从1到2又回到1，第三个从1到3又回到1
师：你说的很不错！但如果能把积的规律跟因数结合起来就更完美了！
生4：两个因数都有3个1，积就从1写到3又回到1
师：你的回答真完美！谁听清楚了？
生5：重复
师：谁还会说？
生6：重复
师：也就是说两个因数里都有几个1，积就从1写到几又回到1（带着学生慢说）
那4个1×4个1呢？
生1：1234321
师：你们认为呢？
生：对
师：你们的推理是正确的吗？请拿出计算器验证一下，你们的答案是？
生：是1234321
师：看来我们的推理是正确的！那刚刚的11111111×11111111大家能解决了吗？
生2：能！123456787654321
师：同意吗？1111111×1111111呢？
生3：1234567654321
师：同意吗？这个算式只给出了积是12345654321，你知道算式是什么吗？
生4：111111×111111
师：同意吗？最后11111×11111呢？大家一起说
生：123454321
师：同学们真是太能干了！这么复杂的算式，同学们却通过观察、比较数的特点（板书：观察、比较）推理得出了结果（板书：推理）并且我们还用计算器验证了推理的合理性（板书：验证）这些都是我们在探索规律中常用的方法，接下来请同学们用这些方法来探究这些算式的规律。（出示练习一）
师：请一位同学读一读这道题的要求，明白了吗？请独立解决。
师：做完的同学请用坐姿告诉我，说说你的答案
生：63.9603.996003.99960003.999996000003
师：针对最后一题，几个9？几个0？
同意的请举手，你有什么发现？
生1：每个积里都有6和3
师：这是你的发现，还有吗？
生2：第二个因数里有几个9，积的前面就有几个9，6和3的中间就有几个0
师：你的回答真完美！谁听清楚了？
生3：重复
师：你们明白了吗？（明白）
师：也就是说最后这个算是的第二个因数里有几个9？（5个）积的前面就有（5个）9，6和3的中间就有（5个）0
师：看来同学们的收货越来越多了，刚刚我们探索的是乘法算式，接下来我们一起来研究除法。
师：接下来我们一起玩一个游戏，请同学们拿出计算器放桌子中间，手放好，老师出示算式后才能按计算器，准备好了吗？
生：准备好啦！
师：开始（出示算式）你算得最快，坐的最直，你来说。
生1：24
师：对吗？
生：对
师：第二题，你最先做好，你说
生2：48
师：对吗？
生：对
师：第三题
生3：96
师：对吗？
生：对
师：咦，老师发现，有的孩子没有用计算器却很快算出了得数，看来同学们对这道题已经有了一定的发现，请带着你的发现，用你喜欢的方式算出这些题的得数。
师：请用行动告诉我你已经完成。谁来说说第二竖排的得数？
生1：12.24.48.
师：是这样吗？
生：是
师：第三竖排呢？
生：6.12.24
师：是这样吗？
生：是
师：观察这些算式，你发现了什么？拿你的发现说给你的同桌听
谁来说说你的发现？
生1：我发现第一排被除数都是2424，除数从101→202，扩大了2倍，202→404也扩大2倍，积就缩小了2倍。
师：你是怎么看的？
生1：横着看的
师：从左往右还是从右往左？
生1：从左往右
师：好！那我们就从左往右看，被除数都是2424，也就是说被除数（不变），除数扩大2倍，我们就说乘2，商缩小2倍，我们说除以了2。
师：谁还会把从左往右的规律说一说？
生2：从左往右看，被除数不变，除数乘2，商就除以2
师：说得真好，谁听清楚了？
生3：重复
师：谁还说？
生4：重复
师：孩子们真棒！请把你们自己发现的规律读一读。（生齐读）
师：横着看，你还可以怎么观察？
生5：从右往左，被除数不变，除数除以2，商就乘2
师：你说的真好！谁听清楚了？
生6：重复
师：你说的也很好，请大家把你们发现的规律读一读（齐读）
师：你还有发现吗？
生7：我竖着从上到下看，除数不变，被除数乘2，商也乘2。
师：你的回答很完美！谁听清楚了？
生8：重复
师：请大家把你们的发现读一读（齐读）
师：竖着看，还可以怎么观察？
生9：从下往上除数不变，被除数除以几商就除以几
师：说的真好，谁还谁说？
生10：重复
师：请把你们的发现读一读（齐读）
师：你还有发现吗？
生11：斜着看……
师：你说的很好，但这个规律我们下节课会研究，这节课暂不研究。你们还有发现吗？
生12：2424÷101，就是24÷1
师：你真是个爱动脑筋的孩子！孩子们的发现真多啊！你们是用什么方法找到这些规律的？
生：观察、比较、推理、验证
师：同学们真是太厉害了！请你们用刚刚学到的这些规律来解决下面的问题。（练习二）
师：请大家读一读题。好，独立完成
师：谁来说说第一题的答案？
生1：6
师：你是怎么算的？
生1：被除数不变，除数乘2，商就除以2
师：同意吗？（同意）
……
师：看来同学们今天的收获很大，谁来说说你学到了什么？
生：……
师：孩子们说的都很棒！在我们的数学王国里还有许多非常神奇的运算，下面就请大家欣赏一些有关数学的美。
师：这是我们刚刚学习的神奇的1，把1变成9又会有什么特点呢？
这是我们学过的杨辉三角，美丽极了！
混合运算也能形成金字塔，一座，两座
这些都是我们平时最常见的数字，大家可别小瞧它们，团结起来，魔力可大了！不信你瞧
！它们用一个加法竖式形成了一座美丽的帆船，交换数字后又形成另一座帆船！
同学们神奇吗？在神奇的数学王国里，有无数的宝藏等着我们去挖掘，只要我们多学习多积累，就一定能探索出更多的奥秘！
好，这节课就上到这里，下课！
